8.5: Демпфування
Повчально, в цей момент, розглянути хвилі в системах з силами тертя. Ми відклали це до цих пір, тому що буде легше зрозуміти, що відбувається в системах з демпфуванням зараз, коли ми обговорювали бігучі хвилі.
Ключовим спостереженням є те, що в інваріантній системі перекладу навіть при наявності демпфування нормальні режими нескінченної системи точно такі ж, як і без демпфування, оскільки вони все ще визначаються інваріантністю перекладу. Нормальні режими все ще мають формуe±ikx, що характеризується кутовим хвильовим числомk. Відрізняється лише дисперсійне співвідношення. Щоб побачити, як це відбувається детально, давайте переосмислимо аргументи глави 5.
Дисперсійне відношення для системи без демпфування визначається розв'язком рівняння власних значень[−ω2+M−1K]Ak=0
деAk нормальний режим з числом хвиліk,Akj∝eijka,
з тимчасовою залежністюe−iωt. 5 Ми вже знаємо, щоAk це звичайний режим, через незмінність перекладу. З цього випливає, що вона є власнимвекторомM−1K. Власне значення є деякою функцієюk. Ми будемо називати йогоω20(k), щобM−1KAk=ω20(k)Ak
Ця функціяω20(k) визначає співвідношення дисперсії для системи без демпфування, оскільки рівняння власних значень (8.75) тепер передбачаєω2=ω20(k).
Тепер ми можемо змінити обговорення вище, щоб включити демпфування в нескінченну інваріантну систему перекладу. При наявності демпфування рівняння руху виглядає такMd2dt2ψ(t)=−MΓddtψ(t)−Kψ(t),
деMΓ - матриця, яка описує залежне від швидкості демпфування. Тоді для нормального режимуψ(t)=Ake−iωt,
рівняння власних значень тепер виглядає як[−ω2−iΓω+M−1K]Ak=0.
Тепер, як і в (8.77) вище, через інваріантність перекладу ми знаємо, щоAk є власним вектором обохM−1K іΓ,M−1KAk=ω20(k)Ak,ΓAk=γ(k)Ak.
Потім, як зазначено вище, рівняння власних значень стає дисперсійним співвідношеннямω2=ω20(k)−iγ(k)ω.
Для всіхkγ(k)≥0, тому що, як ми побачимо в (8.84) нижче, сила є силою тертя. Якбиγ(k) були негативні для будь-якогоk, то «сила тертя» подавала б енергію в систему замість того, щоб її гасити. Відзначимо такожΓ=γI, що якщоγ(k)=γ, то, незалежно відk. Однак в цілому демпфірування буде залежати відk. Режими з різнимиk можуть затухнути по-різному.
У (8.83) ми бачимо нову особливість перекладу інваріантних систем з демпфуванням. Різниця лише в тому, що дисперсійне відношення стає складним. Обидваω20(k) іγ(k) реальні по-справжньомуk. Через явнеi в (8.83)ω абоk (або обидва) повинні бути складними, щоб задовольнити рівняння руху.
Вільні коливання
Для вільних коливань кутові хвильові числаk, допустимих режимів визначаються граничними умовами. Як правило, допустиміk значення дійсні іω20(k) є позитивними (що відповідає стійкій рівновазі при відсутності демпфування). Тоді режими вільних коливань аналогічні вільним коливанням затухаючого осцилятора, розглянутого в главі 2. Насправді, якщо підставитиα→−iω іΓ→γ(k) в (2.5), то отримаємо саме (8.83). Таким чином, ми можемо взяти на себе рішення з (2.6),−iω=−γ(k)2±√γ(k)24−ω20(k).
Це описує рішення, яке вимирає експоненціально в часі. Чи коливається він або вимирає плавно, залежить від співвідношенняγ(k) доω0(k), як обговорюється в главі 2.
Примусове коливання
8-3 — 8-5
Тепер розглянемо вимушене коливання, при якому ми вбиваємо один кінець трансляції інваріантної системи з кутовою частотоюω. Після того, як вільні коливання згасли, ми залишаємося з коливанням на єдиній реальній кутовій частотіω. Як завжди, в задачах вимушених коливань ми думаємо про реальне зміщення кінця системи як про реальну частину складного переміщення, пропорційногоe−iωt. Тоді застосовується співвідношення дисперсії (8.83). Тепер співвідношення дисперсії визначаєk, іk має бути складним.
Можливо, ви помітили, що жодне з дисперсійних відносин, які ми вивчали до цих пір, не залежить від знакаk. Це не випадковість. Причина в тому, що всі досліджувані нами системи мають властивість відбивної симетрії. Ми могли бx→−x змінитися, не впливаючи на фізику. Насправді інваріантна система перекладу, яка не мала цієї симетрії, була б трохи своєрідною. Поки система інваріантна під відображеннямиx→−x, співвідношення дисперсії не може залежати від знакаk. Причина в тому, що колиx→−x, режимeikx переходить вe−ikx. Якщоx→−x це симетрія, то ці два режими з кутовими хвильовими числамиk і−k повинні бути фізично еквівалентними, а тому повинні мати однакову частоту. При цьому два рішення для фіксованогоω повинні мати вигляд:k=±(kr+iki)
Через± знак, ми можемо вибратиkr>0 в (8.85).
У системах з силами тертя ми завжди знаходимоki≥0 for kr>0.
Причину цього легко помітити, якщо розглядати біжучі хвилі, які мають виглядe−iωte±i(kr+iki)x
абоei(±krx−ωt)e∓kix.
З (8.88) повинно бути очевидно, що відбувається. Коли± є+, хвиля йде в+x напрямку, тому знак реальної експоненціальної такий, що амплітуда хвилі зменшується зіx збільшенням. Хвиля витікає, як вона подорожує! Це те, що повинно відбуватися з силою тертя. Інший знак вимагатиме джерела енергії в середовищі, щоб амплітуда хвилі зростала експоненціально, коли хвиля рухається. Частина нескінченної затухаючої біжучої хвилі анімована в програмі 8-3.
Форма, (8.88) має деякі цікаві наслідки для задач вимушеного коливання при наявності демпфування. У затухаючих, дискретних системах навіть в нормальному режимі частини системи не всі коливаються по фазі. У затухаючих, безперервних системах різниця між біжучими та стоячими хвилями стає розмитим.
Розглянемо задачу вимушеного коливання для поперечного коливання струни з одним кінцем,x=0 нерухомим, а іншим кінцем,x=L приведеним на частотіω. Не матиме значення до кінця нашого аналізу, чи є рядок безперервна, або має бісер з поділом такий, щоna=L для цілого числаn. Граничними умовами єψ(L,t)=Acosωt,ψ(0,t)=0.
Як завжди, ми розглядаємоψ(x,t) як реальну частину складного переміщення˜ψ(x,t), задовольняючи˜ψ(L,t)=Ae−iωt,˜ψ(0,t)=0.
Якщоk для даної кутовоїω частоти задається (8.85), то відповідні режими нескінченної системи такі в (8.87), і ми повинні знайти лінійну комбінацію цих двох, яка задовольняє (8.89). Відповідь:˜ψ(x,t)=A[(ei(kr+iki)x−e−i(kr+iki)xei(kr+iki)L−e−i(kr+iki)L)e−iωt].
Коефіцієнт в дужках будується так, щоб зникнути приx=0 і дорівнювати 1 atx=L.
Для безперервного рядка рішення (8.91) анімовано в програмі 8-4. Цікаво, що слід помітити з цього приводу, це те, що ближче доx=L кінця рішення виглядає як біжить хвиля. Причина полягає в тому, що тут реальні експоненціальні фактори в (8.91) посилюють ліву рухому хвилю і придушують праву хвилю, що рухається, так що рішення є дуже майже біжучою хвилею, що рухається вліво. З іншого бокуx=0, поблизу реальні експоненціальні фактори можна порівняти, і рішення є дуже майже стоячою хвилею. Ми обговоримо більш складну поведінку посередині в наступному розділі.
Те ж рішення працює і для бісерної нитки (хоча співвідношення дисперсії буде різним). Приклад показаний в анімації в програмі 8-5. Тут ви можете дуже чітко бачити, що частини системи не всі в фазі.
______________________
5 При наявності демпфування має значення знак i. Наведені нижче відносини виглядали б інакше, якби ми використовували eiωt, і ми не могли б використовувати cos ωt або sin ωt.