8.5: Демпфування

Повчально, в цей момент, розглянути хвилі в системах з силами тертя. Ми відклали це до цих пір, тому що буде легше зрозуміти, що відбувається в системах з демпфуванням зараз, коли ми обговорювали бігучі хвилі.

Ключовим спостереженням є те, що в інваріантній системі перекладу навіть при наявності демпфування нормальні режими нескінченної системи точно такі ж, як і без демпфування, оскільки вони все ще визначаються інваріантністю перекладу. Нормальні режими все ще мають форму\(e^{\pm i k x}\), що характеризується кутовим хвильовим числом\(k\). Відрізняється лише дисперсійне співвідношення. Щоб побачити, як це відбувається детально, давайте переосмислимо аргументи глави 5.

Дисперсійне відношення для системи без демпфування визначається розв'язком рівняння власних значень\[\left[-\omega^{2}+M^{-1} K\right] A^{k}=0\]

де\(A^{k}\) нормальний режим з числом хвилі\(k\),\[A_{j}^{k} \propto e^{i j k a} ,\]

з тимчасовою залежністю\(e^{-i \omega t}\). ⁵ Ми вже знаємо, що\(A^{k}\) це звичайний режим, через незмінність перекладу. З цього випливає, що вона є власнимвектором\(M^{- 1} K\). Власне значення є деякою функцією\(k\). Ми будемо називати його\(\omega_{0}^{2}(k)\), щоб\[M^{-1} K A^{k}=\omega_{0}^{2}(k) A^{k}\]

Ця функція\(\omega_{0}^{2}(k)\) визначає співвідношення дисперсії для системи без демпфування, оскільки рівняння власних значень (8.75) тепер передбачає\[\omega^{2}=\omega_{0}^{2}(k) .\]

Тепер ми можемо змінити обговорення вище, щоб включити демпфування в нескінченну інваріантну систему перекладу. При наявності демпфування рівняння руху виглядає так\[M \frac{d^{2}}{d t^{2}} \psi(t)=-M \Gamma \frac{d}{d t} \psi(t)-K \psi(t) ,\]

де\(M \Gamma\) - матриця, яка описує залежне від швидкості демпфування. Тоді для нормального режиму\[\psi(t)=A^{k} e^{-i \omega t} ,\]

рівняння власних значень тепер виглядає як\[\left[-\omega^{2}-i \Gamma \omega+M^{-1} K\right] A^{k}=0 .\]

Тепер, як і в (8.77) вище, через інваріантність перекладу ми знаємо, що\(A^{k}\) є власним вектором обох\(M^{- 1}K\) і\(\Gamma\),\[M^{-1} K A^{k}=\omega_{0}^{2}(k) A^{k}, \quad \Gamma A^{k}=\gamma(k) A^{k} .\]

Потім, як зазначено вище, рівняння власних значень стає дисперсійним співвідношенням\[\omega^{2}=\omega_{0}^{2}(k)-i \gamma(k) \omega .\]

Для всіх\(k\)\(\gamma (k) \geq 0\), тому що, як ми побачимо в (8.84) нижче, сила є силою тертя. Якби\(\gamma(k)\) були негативні для будь-якого\(k\), то «сила тертя» подавала б енергію в систему замість того, щоб її гасити. Відзначимо також\(\Gamma = \gamma I\), що якщо\(\gamma(k) = \gamma\), то, незалежно від\(k\). Однак в цілому демпфірування буде залежати від\(k\). Режими з різними\(k\) можуть затухнути по-різному.

У (8.83) ми бачимо нову особливість перекладу інваріантних систем з демпфуванням. Різниця лише в тому, що дисперсійне відношення стає складним. Обидва\(\omega_{0}^{2}(k)\) і\(\gamma(k)\) реальні по-справжньому\(k\). Через явне\(i\) в (8.83)\(\omega\) або\(k\) (або обидва) повинні бути складними, щоб задовольнити рівняння руху.

Вільні коливання

Для вільних коливань кутові хвильові числа\(k\), допустимих режимів визначаються граничними умовами. Як правило, допустимі\(k\) значення дійсні і\(\omega_{0}^{2}(k)\) є позитивними (що відповідає стійкій рівновазі при відсутності демпфування). Тоді режими вільних коливань аналогічні вільним коливанням затухаючого осцилятора, розглянутого в главі 2. Насправді, якщо підставити\(\alpha \rightarrow-i \omega\) і\(\Gamma \rightarrow \gamma(k)\) в (2.5), то отримаємо саме (8.83). Таким чином, ми можемо взяти на себе рішення з (2.6),\[-i \omega=-\frac{\gamma(k)}{2} \pm \sqrt{\frac{\gamma(k)^{2}}{4}-\omega_{0}^{2}(k)} .\]

Це описує рішення, яке вимирає експоненціально в часі. Чи коливається він або вимирає плавно, залежить від співвідношення\(\gamma(k)\) до\(\omega_{0}(k)\), як обговорюється в главі 2.

Примусове коливання

8-3 — 8-5
Тепер розглянемо вимушене коливання, при якому ми вбиваємо один кінець трансляції інваріантної системи з кутовою частотою\(\omega\). Після того, як вільні коливання згасли, ми залишаємося з коливанням на єдиній реальній кутовій частоті\(\omega\). Як завжди, в задачах вимушених коливань ми думаємо про реальне зміщення кінця системи як про реальну частину складного переміщення, пропорційного\(e^{-i \omega t}\). Тоді застосовується співвідношення дисперсії (8.83). Тепер співвідношення дисперсії визначає\(k\), і\(k\) має бути складним.

Можливо, ви помітили, що жодне з дисперсійних відносин, які ми вивчали до цих пір, не залежить від знака\(k\). Це не випадковість. Причина в тому, що всі досліджувані нами системи мають властивість відбивної симетрії. Ми могли б\(x \rightarrow-x\) змінитися, не впливаючи на фізику. Насправді інваріантна система перекладу, яка не мала цієї симетрії, була б трохи своєрідною. Поки система інваріантна під відображеннями\(x \rightarrow-x\), співвідношення дисперсії не може залежати від знака\(k\). Причина в тому, що коли\(x \rightarrow-x\), режим\(e^{i k x}\) переходить в\(e^{-i k x}\). Якщо\(x \rightarrow-x\) це симетрія, то ці два режими з кутовими хвильовими числами\(k\) і\(- k\) повинні бути фізично еквівалентними, а тому повинні мати однакову частоту. При цьому два рішення для фіксованого\(\omega\) повинні мати вигляд:\[k=\pm\left(k_{r}+i k_{i}\right)\]

Через\(\pm\) знак, ми можемо вибрати\(k_{r} > 0\) в (8.85).

У системах з силами тертя ми завжди знаходимо\[k_{i} \geq 0 \text { for } k_{r}>0 .\]

Причину цього легко помітити, якщо розглядати біжучі хвилі, які мають вигляд\[e^{-i \omega t} e^{\pm i\left(k_{r}+i k_{i}\right) x}\]

або\[e^{i\left(\pm k_{r} x-\omega t\right)} e^{\mp k_{i} x} .\]

З (8.88) повинно бути очевидно, що відбувається. Коли\(\pm\) є\(+\), хвиля йде в\(+ x\) напрямку, тому знак реальної експоненціальної такий, що амплітуда хвилі зменшується зі\(x\) збільшенням. Хвиля витікає, як вона подорожує! Це те, що повинно відбуватися з силою тертя. Інший знак вимагатиме джерела енергії в середовищі, щоб амплітуда хвилі зростала експоненціально, коли хвиля рухається. Частина нескінченної затухаючої біжучої хвилі анімована в програмі 8-3.

Форма, (8.88) має деякі цікаві наслідки для задач вимушеного коливання при наявності демпфування. У затухаючих, дискретних системах навіть в нормальному режимі частини системи не всі коливаються по фазі. У затухаючих, безперервних системах різниця між біжучими та стоячими хвилями стає розмитим.

Розглянемо задачу вимушеного коливання для поперечного коливання струни з одним кінцем,\(x = 0\) нерухомим, а іншим кінцем,\(x = L\) приведеним на частоті\(\omega\). Не матиме значення до кінця нашого аналізу, чи є рядок безперервна, або має бісер з поділом такий, що\(n a = L\) для цілого числа\(n\). Граничними умовами є\[\psi(L, t)=A \cos \omega t, \quad \psi(0, t)=0 .\]

Як завжди, ми розглядаємо\(\psi(x, t)\) як реальну частину складного переміщення\(\tilde{\psi}(x, t)\), задовольняючи\[\tilde{\psi}(L, t)=A e^{-i \omega t}, \quad \tilde{\psi}(0, t)=0 .\]

Якщо\(k\) для даної кутової\(\omega\) частоти задається (8.85), то відповідні режими нескінченної системи такі в (8.87), і ми повинні знайти лінійну комбінацію цих двох, яка задовольняє (8.89). Відповідь:\[\tilde{\psi}(x, t)=A\left[\left(\frac{e^{i\left(k_{r}+i k_{i}\right) x}-e^{-i\left(k_{r}+i k_{i}\right) x}}{e^{i\left(k_{r}+i k_{i}\right) L}-e^{-i\left(k_{r}+i k_{i}\right) L}}\right) e^{-i \omega t}\right] .\]

Коефіцієнт в дужках будується так, щоб зникнути при\(x = 0\) і дорівнювати 1 at\(x = L\).

Для безперервного рядка рішення (8.91) анімовано в програмі 8-4. Цікаво, що слід помітити з цього приводу, це те, що ближче до\(x = L\) кінця рішення виглядає як біжить хвиля. Причина полягає в тому, що тут реальні експоненціальні фактори в (8.91) посилюють ліву рухому хвилю і придушують праву хвилю, що рухається, так що рішення є дуже майже біжучою хвилею, що рухається вліво. З іншого боку\(x = 0\), поблизу реальні експоненціальні фактори можна порівняти, і рішення є дуже майже стоячою хвилею. Ми обговоримо більш складну поведінку посередині в наступному розділі.

Те ж рішення працює і для бісерної нитки (хоча співвідношення дисперсії буде різним). Приклад показаний в анімації в програмі 8-5. Тут ви можете дуже чітко бачити, що частини системи не всі в фазі.

______________________
⁵ При наявності демпфування має значення знак i. Наведені нижче відносини виглядали б інакше, якби ми використовували eiωt, і ми не могли б використовувати cos ωt або sin ωt.