Processing math: 100%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Демпфування

Повчально, в цей момент, розглянути хвилі в системах з силами тертя. Ми відклали це до цих пір, тому що буде легше зрозуміти, що відбувається в системах з демпфуванням зараз, коли ми обговорювали бігучі хвилі.

Ключовим спостереженням є те, що в інваріантній системі перекладу навіть при наявності демпфування нормальні режими нескінченної системи точно такі ж, як і без демпфування, оскільки вони все ще визначаються інваріантністю перекладу. Нормальні режими все ще мають формуe±ikx, що характеризується кутовим хвильовим числомk. Відрізняється лише дисперсійне співвідношення. Щоб побачити, як це відбувається детально, давайте переосмислимо аргументи глави 5.

Дисперсійне відношення для системи без демпфування визначається розв'язком рівняння власних значень[ω2+M1K]Ak=0

деAk нормальний режим з числом хвиліk,Akjeijka,

з тимчасовою залежністюeiωt. 5 Ми вже знаємо, щоAk це звичайний режим, через незмінність перекладу. З цього випливає, що вона є власнимвекторомM1K. Власне значення є деякою функцієюk. Ми будемо називати йогоω20(k), щобM1KAk=ω20(k)Ak

Ця функціяω20(k) визначає співвідношення дисперсії для системи без демпфування, оскільки рівняння власних значень (8.75) тепер передбачаєω2=ω20(k).

Тепер ми можемо змінити обговорення вище, щоб включити демпфування в нескінченну інваріантну систему перекладу. При наявності демпфування рівняння руху виглядає такMd2dt2ψ(t)=MΓddtψ(t)Kψ(t),

деMΓ - матриця, яка описує залежне від швидкості демпфування. Тоді для нормального режимуψ(t)=Akeiωt,

рівняння власних значень тепер виглядає як[ω2iΓω+M1K]Ak=0.

Тепер, як і в (8.77) вище, через інваріантність перекладу ми знаємо, щоAk є власним вектором обохM1K іΓ,M1KAk=ω20(k)Ak,ΓAk=γ(k)Ak.

Потім, як зазначено вище, рівняння власних значень стає дисперсійним співвідношеннямω2=ω20(k)iγ(k)ω.

Для всіхkγ(k)0, тому що, як ми побачимо в (8.84) нижче, сила є силою тертя. Якбиγ(k) були негативні для будь-якогоk, то «сила тертя» подавала б енергію в систему замість того, щоб її гасити. Відзначимо такожΓ=γI, що якщоγ(k)=γ, то, незалежно відk. Однак в цілому демпфірування буде залежати відk. Режими з різнимиk можуть затухнути по-різному.

У (8.83) ми бачимо нову особливість перекладу інваріантних систем з демпфуванням. Різниця лише в тому, що дисперсійне відношення стає складним. Обидваω20(k) іγ(k) реальні по-справжньомуk. Через явнеi в (8.83)ω абоk (або обидва) повинні бути складними, щоб задовольнити рівняння руху.

Вільні коливання

Для вільних коливань кутові хвильові числаk, допустимих режимів визначаються граничними умовами. Як правило, допустиміk значення дійсні іω20(k) є позитивними (що відповідає стійкій рівновазі при відсутності демпфування). Тоді режими вільних коливань аналогічні вільним коливанням затухаючого осцилятора, розглянутого в главі 2. Насправді, якщо підставитиαiω іΓγ(k) в (2.5), то отримаємо саме (8.83). Таким чином, ми можемо взяти на себе рішення з (2.6),iω=γ(k)2±γ(k)24ω20(k).

Це описує рішення, яке вимирає експоненціально в часі. Чи коливається він або вимирає плавно, залежить від співвідношенняγ(k) доω0(k), як обговорюється в главі 2.

Примусове коливання

clipboard_e05b8a71c51e5ed00284b6daa7ff9eca7.png8-3 — 8-5
Тепер розглянемо вимушене коливання, при якому ми вбиваємо один кінець трансляції інваріантної системи з кутовою частотоюω. Після того, як вільні коливання згасли, ми залишаємося з коливанням на єдиній реальній кутовій частотіω. Як завжди, в задачах вимушених коливань ми думаємо про реальне зміщення кінця системи як про реальну частину складного переміщення, пропорційногоeiωt. Тоді застосовується співвідношення дисперсії (8.83). Тепер співвідношення дисперсії визначаєk, іk має бути складним.

Можливо, ви помітили, що жодне з дисперсійних відносин, які ми вивчали до цих пір, не залежить від знакаk. Це не випадковість. Причина в тому, що всі досліджувані нами системи мають властивість відбивної симетрії. Ми могли бxx змінитися, не впливаючи на фізику. Насправді інваріантна система перекладу, яка не мала цієї симетрії, була б трохи своєрідною. Поки система інваріантна під відображеннямиxx, співвідношення дисперсії не може залежати від знакаk. Причина в тому, що колиxx, режимeikx переходить вeikx. Якщоxx це симетрія, то ці два режими з кутовими хвильовими числамиk іk повинні бути фізично еквівалентними, а тому повинні мати однакову частоту. При цьому два рішення для фіксованогоω повинні мати вигляд:k=±(kr+iki)

Через± знак, ми можемо вибратиkr>0 в (8.85).

У системах з силами тертя ми завжди знаходимоki0 for kr>0.

Причину цього легко помітити, якщо розглядати біжучі хвилі, які мають виглядeiωte±i(kr+iki)x

абоei(±krxωt)ekix.

З (8.88) повинно бути очевидно, що відбувається. Коли± є+, хвиля йде в+x напрямку, тому знак реальної експоненціальної такий, що амплітуда хвилі зменшується зіx збільшенням. Хвиля витікає, як вона подорожує! Це те, що повинно відбуватися з силою тертя. Інший знак вимагатиме джерела енергії в середовищі, щоб амплітуда хвилі зростала експоненціально, коли хвиля рухається. Частина нескінченної затухаючої біжучої хвилі анімована в програмі 8-3.

Форма, (8.88) має деякі цікаві наслідки для задач вимушеного коливання при наявності демпфування. У затухаючих, дискретних системах навіть в нормальному режимі частини системи не всі коливаються по фазі. У затухаючих, безперервних системах різниця між біжучими та стоячими хвилями стає розмитим.

Розглянемо задачу вимушеного коливання для поперечного коливання струни з одним кінцем,x=0 нерухомим, а іншим кінцем,x=L приведеним на частотіω. Не матиме значення до кінця нашого аналізу, чи є рядок безперервна, або має бісер з поділом такий, щоna=L для цілого числаn. Граничними умовами єψ(L,t)=Acosωt,ψ(0,t)=0.

Як завжди, ми розглядаємоψ(x,t) як реальну частину складного переміщення˜ψ(x,t), задовольняючи˜ψ(L,t)=Aeiωt,˜ψ(0,t)=0.

Якщоk для даної кутовоїω частоти задається (8.85), то відповідні режими нескінченної системи такі в (8.87), і ми повинні знайти лінійну комбінацію цих двох, яка задовольняє (8.89). Відповідь:˜ψ(x,t)=A[(ei(kr+iki)xei(kr+iki)xei(kr+iki)Lei(kr+iki)L)eiωt].

Коефіцієнт в дужках будується так, щоб зникнути приx=0 і дорівнювати 1 atx=L.

Для безперервного рядка рішення (8.91) анімовано в програмі 8-4. Цікаво, що слід помітити з цього приводу, це те, що ближче доx=L кінця рішення виглядає як біжить хвиля. Причина полягає в тому, що тут реальні експоненціальні фактори в (8.91) посилюють ліву рухому хвилю і придушують праву хвилю, що рухається, так що рішення є дуже майже біжучою хвилею, що рухається вліво. З іншого бокуx=0, поблизу реальні експоненціальні фактори можна порівняти, і рішення є дуже майже стоячою хвилею. Ми обговоримо більш складну поведінку посередині в наступному розділі.

Те ж рішення працює і для бісерної нитки (хоча співвідношення дисперсії буде різним). Приклад показаний в анімації в програмі 8-5. Тут ви можете дуже чітко бачити, що частини системи не всі в фазі.

______________________
5 При наявності демпфування має значення знак i. Наведені нижче відносини виглядали б інакше, якби ми використовували eiωt, і ми не могли б використовувати cos ωt або sin ωt.