8.4: Лінії електропередачі
Ми бачили, що трансляція інваріантної системи індукторів і конденсаторів може переносити хвилі. Давайте запитаємо, що відбувається, коли ми беремо межу континууму такої системи. Це дасть цікаве уявлення про електромагнітні хвилі. Співвідношення дисперсії для системи Рис5.23 задається (5.75),ω2=4LaCasin2ka2.
деLa іCa - індуктивність і ємність індукторів і конденсаторів для системи з поділомa між сусідніми частинами. Щоб взяти межу континууму, ми повинні замінити індуктивність і ємність,La іCa, за величинами, які ми очікуємо мати кінцеві межі якa→0. Ми очікуємо від аналогії (5.69) міжLC ланцюгами і системами пружин і мас, і обговорення на початку глави 7 про межу континууму системи мас і пружин, що відповідні величини будуть:\ [\ begin {aligned}
&\ rho_ {L}\ rightarrow\ frac { L_ {a}} {a}\ quad\ text {індуктивність на одиницю довжини}\
&K_ {a} a\ rightarrow\ frac {a} {a} {C_ {a}}\ quad\ text {ємність на одиницю довжини}
\ кінець {вирівняний}\]
Ці дві величини можна обчислити безпосередньо з індуктивності та ємності кінцевої довжини системиℓ, яка містить багато окремих одиниць. Індуктивності з'єднані послідовно, тому окремі індуктивності додають, щоб дати загальну індуктивність. Таким чином, якщо довжинаℓna така, що якщо кінцева система міститьn індуктори, загальна індуктивність дорівнюєL=nLa. ТодіLℓ=Laa
Ємності працюють однаково, оскільки вони з'єднані паралельно, а паралельні ємності додають. Таким чиномCℓ=Caa.
Тому, приймаючи лімітa→0 станом на (8.49), ми можемо написатиLa=aLℓ,Ca=aCℓ.
Це дає наступне співвідношення дисперсії:ω2=ℓ2LC4sin2ka2a2→ℓ2LCk2.
Безперервна система, подібна до цієї з фіксованою індуктивністю та ємністю на одиницю довжини, називається лінією електропередачі. Ми назвемо (8.54) відношення дисперсії для безопорної лінії електропередачі. Лінія електропередачі може використовуватися для надсилання електричних хвиль, так само, як безперервна струна передає механічні хвилі. У безперервній системі змінна зміщення, зміщений заряд, стає функцією положення вздовж лінії електропередачі. Якщо лінія електропередачі розтягнута вz напрямку, ми можемо описати заряди на лінії електропередачі функцієюQ(z,t), яка є зарядом, який був зміщений через точкуz на лінії електропередачі в той часt. Похідна часуQ(z,t) - це струм у точціz та часіt:I(z,t)=∂Q(z,t)∂t.
Паралельна пластина лінії електропередачі
Варто опрацювати конкретний приклад ЛЕП. Приклад, який ми будемо використовувати, - це дві довгі паралельні провідні смуги. Уявіть собі нескінченну систему, в якій смуги розтягнуті паралельно один одному в площинях постійноїy, що йде до нескінченності вz напрямку. Припустимо, що смужки досить тонкі, щоб ми могли знехтувати їх товщиною. Припустимо далі, що ширина смугw,, набагато більше, ніж поділ,s. Перетин цієї лінії електропередачі вx−y площині показано на малюнку8.9. На малюнкуz напрямок виходить з площини паперу, до вас. Будемо відстежувати рух зарядів у верхньому провіднику і припустимо, що нижній провідник заземлений (при напрузі, зафіксованому приV=0).
Малюнок8.9: Перетин лінії електропередачі вx−y площині.
Ми знайдемо співвідношення дисперсії лінії електропередачі, обчисливши ємність і індуктивність частини лінії довжиниℓ. Корисно буде зробити це з використанням енергетичних міркувань. Припустимо, що є зарядQ, рівномірно поширюється по верхній пластині конденсатора, і струмI, що протікає рівномірно зx−y площини вz напрямку по верхньому провіднику (і назад в площину по нижньому провіднику). Енергія, що зберігається в довжиніℓ, лінії електропередачі12CQ2+12LI2,
деC іL є ємність і індуктивність. 4
Енергія фактично зберігається в електричному і магнітному полах, що виробляються зарядом і струмом. У цій конфігурації електричне і магнітне поля майже повністю знаходяться між двома пластинами шматка лінії електропередачі. ЯкщоQ іI позитивні, то електричне і магнітне поля такі, як показано на малюнку8.10 і малюнку8.11. На малюнку8.10 пунктирна лінія - це перетин коробчатой області, яка може бути використана для обчислення електричного поля, використовуючи закон Гаусса. На8.11 малюнку пунктирний шлях можна використовувати для обчислення магнітного поля, використовуючи закон Ампера. Електричне і магнітне поля приблизно постійні між смугами, але швидко відпадають майже до нуля зовні.
Малюнок8.10: Електричне поле, обумовлене зарядом на лінії електропередачі.
Малюнок8.11: Магнітне поле, обумовлене струмом на лінії електропередачі.
Щільність заряду на верхній пластині приблизно рівномірна і задається загальним зарядом, поділеним на площуwℓ,σ≈Qwℓ.
Потім можна застосувати закон Гаусса до невеликої коробчатої області, перетин якої показано на малюнку8.10 і зробити висновок, що електричне поле всередині задаєтьсяEy≈−Qϵ0wℓ
Щільність енергії, що зберігається в електричному полі між пластинами, томуuE=ϵ02E2≈Q22ϵ0w2ℓ2.
Загальна енергія, накопичена в електричному полі, потім отримуютьuE шляхом множення на обсяг між пластинами, що дає12sϵ0wℓQ2
таким чином (порівняно з (8.56))C=ϵ0wℓs.
Аналогічним чином ми можемо обчислити індуктивність. Закон Ампера, застосований до шляху, що охоплює верхній провідник (як показано на малюнку 8.11), даєBx≈μ0Iw.
Щільність енергії, що зберігається в магнітному полі між пластинами, томуuB=12μ0B2≈μ0I22w2.
Загальна енергія, що зберігається в магнітному полі, потім отримуютьuB шляхом множення на обсяг між пластинами, що дає12μ0sℓwI2
таким чином (порівняно з (8.56))L=μ0sℓw.
Тепер ми можемо поставити (8.61) і (8.65) в (8.54), щоб отримати співвідношення дисперсії для цієї лінії електропередачі:ω2=1μ0ϵ0k2=c2k2,
cде швидкість світла!
Хвилі в лінії електропередачі
Співвідношення дисперсії (8.66) виглядає підозріло як співвідношення дисперсії для електромагнітних хвиль. Насправді електричне і магнітне поля між смугами ЛЕП мають саме форму електромагнітної хвилі. Щоб побачити це явно, давайте подивимося на біжучу хвилю на лінії електропередачі, і розглянемо зарядQ(z,t), зміщений черезz, з незведеним комплексомt експоненціальноїz і залежністю,Q(z,t)=qei(kz−ωt).
Ця хвиля рухається в позитивномуz напрямку, назустріч вам на схемі малюнка8.9.
У будь-який фіксований часt та положення електричні та магнітні поля всередині лінії електропередачі виглядають такz, як показано на малюнку8.10 та малюнку8.11 (або обидва можуть вказувати у зворотному напрямку). Ми можемо знайти магнітне поле так само, як ми робили вище, тому що струм в будь-якій точці вздовж лінії задається (8.55), такBx(z,t)≈μ0I(z,t)w=μ0w∂∂tQ(z,t)=−iμ0ωqwei(kz−ωt).
Щоб знайти електричне поле як функціюz іt, нам потрібна щільність заряду по лінії. Як тільки ми це отримаємо, ми можемо знайти електричне поле, використовуючи закон Гаусса, як зазначено вище. Ненульова щільність заряду виникає, якщо величина зміщеного заряду змінюється в залежності відz. Найпростіше знайти щільність заряду, повернувшись в дискретну систему, розглянуту в розділі 5, і до (5.72). Мовою, якою ми позначаємо частини системи за їх положеннями, зарядqj, в дискретній системі стаєq(z,t) кудиz=ja. Якa→0, це відповідає лінійної щільності заряду уздовж лінії передачіρ(z,t)=q(z,t)a.
У цій мові (5.72) стаєq(z,t)=Q(z,t)−Q(z+a,t),
деQ(z,t) заряд зміщений через індуктор положенняz в момент часуt. Поєднання (8.69) і (8.70) даєρ(z,l)=Q(z,t)−Q(z+a,t)a.
Беручи ліміт, якa→0 даєρ(z,t)=−∂∂zQ(z,t)=−ikqei(kz−ωt).
Ця лінійна щільність заряду розподіляється по ширині верхньої смуги в лінії передачі, даючи поверхневу щільність зарядуσ(z,t)=ρ(z,t)w=−ikqwei(kz−ωt).
Тепер електричне поле із закону ГауссаEy=−σ(z,t)ϵ0=ikqϵ0wei(kz−ωt).
Порівнюючи (8.68) з (8.74), можна побачити, що (8.45) задоволений, так що ця пара електричних і магнітних полів утворює частину біжить електромагнітної площини хвилі.
Те, що тут відбувається, полягає в тому, що роль зарядів і струмів в смугах лінії електропередачі полягає в обмеженні електромагнітних хвиль. Без провідників неможливо було б зробити шматок плоської хвилі, як ми побачимо набагато докладніше в главі 13.
Тим часом зверніть увагу, що до режиму зω=0 іk=0 потрібно ставитися обережно, як і доω=k=0 режиму бісерної нитки, розглянутого в главі 5. Режим, в якому зміщений заряд пропорційнийz (див. (5.41)), описує ситуацію, при якій заряджається вся нескінченна лінія передачі. Це не дуже цікаво в кінцевому випадку. Однак важливий режим, який не залежить відz, але збільшується з часом, пропорційний.t Це описує ситуацію, при якій по провідникам протікає постійний струм. Усередині ЛЕП, в даному випадку, знаходиться постійне магнітне поле.
____________________
4 Див. Холідей і Резник, частина 2.