9.7: Ефект Допплера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74397

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ефект Допплера - це фізичне явище, яке більшість людей переживали багато разів: коли до вас наближається рухоме джерело звуку (скажімо, швидка допомога, а точніше його сирена), його висота звуку звучить помітно вище, ніж після того, як він пройшов повз вас і віддаляється. Ефект обумовлений тим, що спостережувана довжина хвилі (а отже, частота/висота тону) звуку відповідає відстані між двома точками рівної фази (тобто двома послідовними хвильовими фронтами). Зрештою, ефект Допплера, таким чином, виникає у зміні системи відліку (ті самі кадри, з якими ми стикалися в розділі 4.3): те, що ви чуєте, дійсно відрізняється від того, що чує водій швидкої допомоги. Останнє легко: водій не рухається по відношенню до сирени, тому (и) він просто чує її з будь-якою частотою, яку він випромінює. Однак для стаціонарного спостерігача швидка допомога рухається між випромінюванням першого та другого гребеня хвилі, і тому їх відстань (а отже, і спостережувана довжина/частота) змінюється (рис.\(\PageIndex{1}\)).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ефект Допплера. Джерело випромінює хвилі з фіксованим часовим інтервалом\(\Delta t\) між послідовними хвильовими фронтами. (а) Для спостерігачів, які нерухомі щодо джерела, відстань між хвильовими фронтами (червоним кольором) фіксована, тому вони вимірюють ту ж довжину хвилі, що і та, що випромінюється джерелом. (b) Якщо джерело рухається по відношенню до спостерігачів (тут праворуч), спостерігачі вимірюють різну відстань між прибулими хвильовими фронтами - стиснуті (так коротша довжина хвилі/вища частота), якщо джерело наближається (зелена крапка), розширюється, якщо джерело відступає (фіолетова точка).

Християнський допплер

Крістіан Доплер (1803-1853) був австрійським фізиком. Доплер був професором фізики в Празі, де він розробив уявлення про те, що спостережувана частота хвилі залежить від відносної швидкості джерела і спостерігача, тепер відомий як ефект Допплера. Доплер використовував цей принцип для пояснення спостережуваних кольорів двійкових зірок. Принцип був розроблений самостійно французьким фізиком Арманом Фізо (1819-1896), і тому іноді називають ефектом Допплера-Физо. У 1847 році Доплер переїхав до Сельмебанія в Угорщині, але був змушений знову покинути незабаром після цього через політичні заворушення в 1848 році, перейшовши до Віденського університету. Під час візиту до Венеції в 1853 році допплер помер від легеневої хвороби, у віці всього 49 років.

Ілюстрація\(\PageIndex{2}\): Християнський Доплер [24].

Ернст Мах

Ернст Мах (1838-1916) був австрійським фізиком. Мах був професором математики, а пізніше фізики в Граці, Празі та Відні. Його експериментальна робота була зосереджена на властивостях хвиль, особливо в світлі, а також на ефекті Доплера як у світлі, так і в звуці. У 1888 році Мах використовував фотографію для зйомки ударних хвиль, створених надзвуковою кулею. Крім фізики, Мах дуже цікавився філософією, утримуючи позицію, що реальні тільки відчуття. Отже, Мах відмовився визнати, що атоми є реальними, оскільки їх не можна було спостерігати безпосередньо в той час; саме робота Ейнштейна 1905 року над броунівським рухом врешті-решт довела його неправильність. Відношення швидкості об'єкта до швидкості звуку тепер відоме як число Маха в його честь.

Розрахунок зсуву довжини хвилі нескладний. Назвемо швидкість звуку\(v\) і швидкість джерела\(u\). Часовий інтервал між двома хвильовими фронтами, що випромінюються джерелом, дорівнює\(\Delta t\). У цьому часовому інтервалі перші хвильові фронти проходять відстань\(\Delta s=v \Delta t\), тоді як джерело проходить відстань\(\Delta x=u \Delta t\). Для спостерігача, до якого наближається джерело, фактична відстань між двома випромінюваними хвильовими фронтами таким чином

\[\begin{align*} \Delta x^{\prime} &=\Delta s-\Delta x \\[4pt] &=(v-u) \Delta t \end{align*}\]

Фактична відстань між хвильовими фронтами - це спостережувана довжина хвилі\(\lambda _{obs}\), тоді як випромінювана довжина хвилі

\[\lambda=\Delta s=v \Delta t,\]

тому ці два пов'язані через

\[\lambda_{\mathrm{obs}}=\frac{v-u}{v} \lambda \label{9.19}\]

Для джерела, який віддаляється, ми просто перевернути знак\(u\); природно, для стаціонарного джерела у нас є\(\lambda _{obs} = \lambda\). Зауважте, що ми також могли б розглянути стаціонарне джерело і рухомий спостерігач: ефект буде точно таким же, де в Equation\ ref {9.19} ми визначаємо рух до джерела як позитивний напрямок.

Ефект Допплера зазвичай виражається через частоту замість довжини хвилі, але це тривіальний крок від Equation\ ref {9.19}, як\(f_{\mathrm{obs}}=v / \lambda_{\mathrm{obs}}\) і\(f=v / \lambda\), який дає:

\[f_{\mathrm{obs}}=\frac{v}{v-u} f\]

Хоча ми обговорювали ефект Допплера тут у контексті звукових хвиль, він виникає для будь-якого виду хвиль - особливо також світла. Ми знову зіткнемося з цим, коли ми обговоримо хвилі в спеціальній відносності (де швидкості стають порівнянними з швидкістю світла) у Розділі 15.3. Зверніть увагу, що Equation\ ref {9.19} передбачає, що довжина хвилі дорівнює нулю, якщо швидкість джерела дорівнює швидкості випромінюваних хвиль. Цей випадок проілюстрований на малюнку\(\PageIndex{4a}\), на якому видно, що хвильові фронти накопичуються. Для джерела, що рухається швидше, ніж швидкість хвилі (рис.\(\PageIndex{4b}\)), хвилі слідують за джерелом, створюючи конічну ударну хвилю, з кутом відкриття, заданим

\[\sin \theta=\frac{v T}{u T}=\frac{v}{u}\]

І носова хвиля човна, і звуковий бум надзвукового струменя є прикладами ударних хвиль.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): джерело випромінює хвильові фронти з фіксованим часовим інтервалом\(\Delta t\). (а) Якщо джерело рухається з тією ж швидкістю, що і випромінювана хвиля, всі хвильові фронти стикаються, створюючи ударну хвилю. (б) Для джерела, що рухається швидше, ніж швидкість хвиль, всі хвилі рухаються позаду джерела, створюючи конічний (ударний) фронт хвилі (як ви, можливо, чули після того, як побачивши реактивний винищувач проходить над головою). Синя точка вказує на поточне положення джерела, зелена точка, що один період тому, червона точка два періоди тому.