9.E: Хвилі (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74416

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

9.1 Звукові хвилі навесні. У розділі 9.2 ми виявили, що швидкість хвилі в струні задається\(v = T / \mu\), з напругою в\(T\) струні і\(\mu\) її масовою щільністю (Рівняння 9.2.7).

Пружина маси m і постійної пружини k має нерозтягнуту довжину\(L_0\). Знайдіть вираз для швидкості поперечних хвиль на цій весні, коли вона розтягнута до довжини\(L\).
Ви вимірюєте швидкість поперечних хвиль в ідеальній пружині під розтягуванням. Ви виявите, що при\(L_1\) певній довжині він має значення\(v\), а\(2L_1\) на довжині швидкість хвилі має значення\(3v\). Знайдіть вираз для нерозтягнутої довжини пружини в плані\(L_1\).
Рівномірний трос висить вертикально під власною вагою. Покажіть, що швидкість хвиль на кабелі\(z\) задається тим\(v = \sqrt{zg}\), де відстань від нижньої частини кабелю. Можна припустити, що розтягнення кабелю досить мало, щоб його масова щільність можна було прийняти рівномірною.
Покажіть, що час, необхідний хвиля для поширення кабелю в (1c)\(t=2 \sqrt{\frac{L}{g}}\), дорівнює\(L\) довжині кабелю.

9.2 У глибокій воді швидкість поверхневих хвиль залежить від їх довжини хвилі:

\[v=\sqrt{\frac{\lambda g}{2 \pi}} \label{9.22}\]

Крім супутникових знімків, морські шторми також можна виявити, спостерігаючи за хвилями на пляжі. Рівняння\ ref {9.22} говорить нам, що найдовші хвилі хвилі будуть подорожувати найшвидше, тому прихід таких хвиль, якщо їх амплітуда висока, є передвістям можливого приходу шторму (тертя між вітром і водою є джерелом хвиль). Таким чином, типовий шторм може бути виявлений з відстані 500 км, і рухатися зі швидкістю 50 км/год Припустимо, виявлені хвилі мають гребені на відстані 200 м один від одного. Оцініть часовий проміжок між виявленням цих хвиль і приходом шторму (в разі, якщо шторм рухається прямо до пляжу).
На мілководді швидкість поверхневих хвиль стає (на перший порядок) незалежною від довжини хвилі, але натомість масштабується з глибиною води\[v=\sqrt{g d}\]. Поруч зі штормами можливим джерелом поверхневих хвиль в океані є підводні землетруси. Хоча шторми, як правило, більш небезпечні в морі, хвилі, породжені землетрусами, більш небезпечні на суші, оскільки вони можуть призвести до цунамі: величезних хвиль, які несуть багато енергії. У відкритому морі амплітуда хвиль, які створять цунамі, може бути скромною, близько 1 м Що буде зі швидкістю, амплітудою і довжиною хвилі цієї хвилі, коли вона наближається до суші?

9.3 Оскільки хвильове рівняння є лінійним, будь-яка лінійна комбінація розв'язків знову є рішенням; це відоме як принцип суперпозиції, див. Розділ 9.4. Ми розглянемо кілька прикладів суперпозиції в цій задачі. Спочатку розглянемо дві одновимірні синусоїдальні біжучі хвилі\(u_{\pm}(x, t)=A \sin (k x \pm \omega t)\)

Яка хвиля рухається в якому напрямку?
Знайти вираз для комбінованої хвилі,\(u(x, t)=u_{+}(x, t)+u_{-}(x, t)\). Ви можете використовувати це\(\sin(\alpha) + \sin (\beta)=2 \sin ((\alpha+\beta) / 2) \cos ((\alpha-\beta) / 2)\).
Комбінована хвиля - стояча хвиля - як можна сказати?
Знайдіть позиції, на яких\(u(x,t) = 0\) для всіх\(t\). Вони відомі як вузли стоячої хвилі.
Знайдіть позиції, при яких\(u(x,t)\) досягає свого максимального значення. Вони відомі як антиноди стоячої хвилі.

Далі розглянемо дві синусоїдальні хвилі, які мають однакову кутову частоту\(\omega\)\(k\), число хвиль та амплітуду\(A\), але вони відрізняються фазою:\[u_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \quad \text { and } \quad u_{2}(x, t)=A \cos (k x-\omega t+\phi)\]

Покажіть, що суперпозиція цих двох хвиль також є простою гармонічною (тобто синусоїдальної) хвилею, і визначте її амплітуду як функцію різниці фаз\(\phi\).

Наостанок розглянемо два джерела звуку, які мають трохи різні частоти. Якщо ви слухаєте їх, ви помітите, що звук періодично збільшується і зменшується в інтенсивності: він демонструє биття, через втручання двох хвиль у часі. У випадку, якщо два джерела можуть бути описані як випромінюючі звук відповідно до простих гармонік з однаковими амплітудами, їх хвилі у вашому положенні можуть бути описані\(u_{1}(t)=A \cos \left(\omega_{1} t\right) \text { and } u_{2}(t)=A \cos \left(\omega_{2} t\right)\).

Знайдіть вираз для отриманої хвилі, яку ви чуєте.
Яку частоту ударів ви чуєте? NB: оскільки людське вухо не чутливе до фази, лише до амплітуди або інтенсивності звуку, ви чуєте лише абсолютне значення оболонки. Який вплив це робить на спостережувану частоту?
Ви ставите трохи води в скляну пляшку з содою і ставите її поруч із камертоном 440 Гц. При ударі обох, ви чуєте частоту биття 4 Гц. Після додавання трохи води в пляшку з содою частота биття збільшилася до 5 Гц. Які початкові та кінцеві частоти пляшки?

9.4 Один з ваших друзів стоїть посередині прямокутного\(10.0 \times 6.0\) м басейну, своїми руками на відстані 1,0 метра один від одного в напрямку, паралельному довгому краю басейну. Він виробляє поверхневі хвилі у воді басейну, коливаючи руками. На краю ви виявите, що в точці, найближчій до вашого друга, вода груба, потім, якщо ви рухаєтеся в сторону, вона знову стає тихим, грубим і знову тихо. Той момент, де вода затихає вдруге, лежить на 1,0 м від вашої початкової точки (обличчям до вашого друга).

Яка довжина хвилі поверхневих хвиль в басейні?
На якій відстані вода затихає вперше?
А на якій відстані ви знаходите бурхливу воду втретє (рахуючи початкову точку)?

9.5 Ефект Допплера - це зсув спостережуваної частоти хвилі через рухомого спостерігача або рухомого джерела, як обговорюється в розділі 9.7. Ми розглянемо звукову хвилю, що випромінюється якимось галасливим джерелом і спостерігається вами.

Якщо ви стоїте на місці і джерело рухається до вас, чи буде частота, яку ви чуєте, буде вище або нижче частоти, що випромінюється джерелом?
Якщо ви рухаєтеся до стаціонарного джерела, чи буде частота, яку ви чуєте, буде вище або нижче частоти, що випромінюється джерелом?
\(f_{obs}\)Спостережувана частота залежить від фактичної частоти, що випромінюється джерелом\(f_{source}\) (очевидно)\(v_{source}\), швидкості джерела, швидкості спостерігача\(v_{obs}\) і швидкості звуку\(v_{sound}\). Візьміть спостерігача, щоб він був нерухомим. Що станеться, якщо джерело також нерухоме? А що робити, якщо джерело рухається зі швидкістю звуку?
Виходячи з ваших відповідей на попередні пункти, вгадайте функціональну форму для брелоків як функцію\(f_{source}\)\(v_{source}\), і\(v_{sound}\).