15.18: Допплерівський ефект

Загальновідомо, що формула ефекту Допплера в звуці відрізняється залежно від того, чи є це джерело або спостерігач, який знаходиться в русі. Відповідь на питання «Чому це повинно бути?» до того, що «О, це просто так алгебра працює» очевидно незадовільно, тому я спробую пояснити, чому фізично існує різниця. Потім, коли ви досконально зрозуміли, що спостерігач у русі - це зовсім інша ситуація від джерела в русі, і формули повинні бути різними, ми розглянемо ефект Доплера у світлі, і повернемося до квадратного, коли виявимо, що формули джерела в русі і спостерігача в русі однакові!

Цей розділ про ефект Допплера, ймовірно, буде досить довшим, ніж потрібно, тільки тому, що деякі аспекти мене зацікавили - але якщо ви знайдете його занадто довгим, просто пропустіть частини, які не представляють для вас особливого інтересу. До них, швидше за все, увійдуть частини балістичного ефекту Допплера.

Для початку розберемося з ефектом Допплера в звуці. Всі швидкості повинні бути дуже маленькими в порівнянні зі швидкістю світла, так що нам не потрібно турбувати себе перетвореннями Лоренца. Для початку розберемося з спостерігачем в русі (рис. XV. 24).

Коли джерело знаходиться в стані спокою, він випромінює концентричні однаково розташовані сферичні хвильові фронти з деякою частотою. Коли спостерігач рухається до джерела, він буде пропускати ці хвильові фронти з більшою частотою, ніж частота, на якій вони були випромінювані, і це є причиною ефекту Допплера зі стаціонарним джерелом і рухомим спостерігачем.

Тепер ми розглянемо ситуацію з джерелом в русі. (Малюнок XV.25).

Тут ми бачимо, що хвильові фронти не однаково розташовані, а стискаються перед рухом джерела, і з цієї причини вони пройдуть стаціонарний спостерігач з більшою частотою, ніж частота, на якій вони були випромінювані. Таким чином, природа ефекту трохи відрізняється залежно від того, чи є це джерело чи спостерігач, який знаходиться в русі, і, таким чином, не слід очікувати, що однакові рівняння описують дві ситуації.

Ми перейдемо найближчим часом, щоб кількісно обговорити ефект та розробити відповідні рівняння. Припустимо, що читач знайомий зі звичайним співвідношенням, що з'єднує довжину хвилі, частоту і швидкість хвилі. Тим не менш, я запишу відношення великим шрифтом, три рази, просто щоб переконатися:

ШВИДКІСТЬ = ЧАСТОТА% ДОВЖИНА ХВИЛІ

ЧАСТОТА = ШВИДКІСТЬ ÷ ДОВЖИНА ХВИЛІ

ДОВЖИНА ХВИЛІ = ШВИДКІСТЬ ÷ ЧАСТОТА

Я почну з ефекту Допплера в звуці, де швидкість сигналу постійна по відношенню до середовища, ніж передає звук - зазвичай повітря. Я дам необхідні формули для джерела та спостерігача кожного в русі. Якщо ви хочете формули для тієї чи іншої стаціонарної, ви просто ставите одну зі швидкостей, рівну нулю. Швидкості джерела\( S\) і спостерігача\( O\) щодо повітря будуть позначатися відповідно\( \nu_{1}\) і\( \nu_{2}\) і буде позначатися швидкість звуку в повітрі\( c\). Ситуація показана на малюнку XV.26.

Відповідні формули наведені нижче:

Те, як ми працюємо з цією таблицею, полягає лише в тому, щоб слідувати стрілкам. Починаючи з лівого верхнього краю, припускаємо, що джерело випромінює сигнал частоти\( \nu_{0}\). Швидкість сигналу щодо джерела є\( c-v_{1}\), і тому довжина хвилі дорівнює\( \frac{(c-v_{1})}{\nu_{0}}\). Довжина хвилі однакова для спостерігача (ми припускаємо, що всі швидкості дуже набагато менше швидкості світла, тому коефіцієнт Лоренца фактично дорівнює 1.) Швидкість звуку щодо спостерігача є\( c-v_{2}\), і тому частота, почута спостерігачем, є останнім (праворуч вгорі) запис таблиці.

Два особливих випадки:

а. Спостерігач в русі і наближається до нерухомого джерела на швидкості\( v\). \( v_{1}= 0 \)і\( v_{2}=-v\). У цьому випадку частота, яку почує спостерігач, є

\[ \nu=\nu_{0}(1+\frac{v}{c}). \label{15.18.1} \]

б. Джерело в русі і наближається до нерухомого спостерігача на швидкості\( v\). \( v_{1}=v\)і\( v_{2}=0\). У цьому випадку частота, яку почує спостерігач, є

\[ \nu=\frac{\nu_{0}}{(1-\frac{v}{c})}\approx\nu_{0}(1+(\frac{v}{c})+(\frac{v}{c})^{2}+...). \label{15.18.2} \]

Тепер ми можемо розглянути роздуми. Таким чином, припустимо, ви наближаєтеся до цегляної\( v\) стіни зі швидкістю, свистячи ноту частоти\( \nu_{0}\). Якою буде частота відлуння, яке ви чуєте? Давайте зробимо питання трохи більш загальним. Джерело\( S\), випромінюючи свист частоти\( \nu_{0}\), зі швидкістю наближається до цегляної стіни М\( v_{1}\). Окремий спостерігач О наближається до стіни (з тієї ж сторони) зі швидкістю\( v_{2}\). І, для хорошої міри, нехай цегляна стіна рухається зі швидкістю\( v_{3}\). (Читач може помітити в цей момент, що теоретична фізика швидше простіше, ніж експериментальна фізика.) Ситуація показана на малюнку XV.27.

Побудуємо таблицю, аналогічну попередній.

У всі часи швидкість щодо повітря є\( c\).

Відповідь на наше початкове питання, в якому джерело і спостерігач були одне і те ж, а дзеркало (стіна) виявилося нерухомим, знаходимо, поставивши\( v_{1}= v_{2}=v\) і\( v_{3}=0\) в останню (вгорі праворуч) формулу в таблиці. Це призводить до

\[ \nu = \nu_{0} \left( \frac{c+v}{c-v}\right) \approx \nu_{0}(1+2(\frac{v}{c})+2(\frac{v}{c})^{2}+2(\frac{v}{c})^{3}...). \label{15.18.3} \]

Стільки для ефекту Допплера в звуці. Перш ніж перейти до світла, я хочу подивитися на те, що я буду називати ефектом Допплера в балістиці, або «копи і грабіжники». Нетерплячий читач може сміливо пропустити це обговорення балістичного ефекту Доплера. Поліцейський («поліцейський») автомобіль переслідує викрадений автомобіль, керований грабіжниками. Автомобіль поліцейського є «джерелом», а машина грабіжника (а точніше машина, яку вони вкрали, бо вона не їхня) є «спостерігачами». Поліцейський автомобіль («джерело») рухається зі швидкістю,\( v_{1}\) а грабіжники («спостерігач») рухаються на швидкості\( v_{2}\). Копи стріляють кулями («сигналом») у бік грабіжників. (Ніхто не постраждає в цьому думковому експерименті, який все змушує повірити.) Кулі залишають дуло револьвера на швидкості\( c\) (тобто швидкості куль, і не мають нічого спільного зі світлом) щодо револьвера, а значить, рухаються (щодо ліхтарних стовпів на узбіччі дороги) зі швидкістю\( c+v_{1}\) і щодо грабіжників при швидкість\( c+v_{1}-v_{2}\). Поліцейські стріляють кулями з частотою\( \nu_{0}\), і наше завдання полягає в тому, щоб знайти частоту, з якою кулі «отримують» грабіжники. Відстань між кулями - це «довжина хвилі».

Це може бути не дуже важливою вправою, але це не зовсім безглуздо, бо справедливість диктує, що, коли ми розглядаємо (навіть якщо тільки відкинути) можливі правдоподібні механізми поширення світла, ми могли б розглянути, принаймні коротко, так звану «балістичну» теорію поширення світла, в яка швидкість світла через простір дорівнює швидкості, з якою він залишає джерело плюс швидкість джерела. Деякі читачі можуть бути в курсі експерименту Майкельсона-Морлі. Цей експеримент продемонстрував, що світло не поширювався зі швидкістю, яка була постійною по відношенню до деякого всепроникаючого «світлового ефіру» - але слід зазначити, що він нічого не зробив, щоб довести або спростувати «балістичну» теорію поширення світла, оскільки він не вимірював швидкість світла від руху джерела. У минулі роки були зроблені деякі спроби виміряти швидкість світла від рухомих джерел, хоча їх інтерпретація не була вільною від двозначності.

Тепер я будую таблицю, яка показує «частоту», «швидкість» та «довжину хвилі» для балістичного поширення точно так само, як і для звуку.

Щоб не витрачати більше часу на «балістичне» поширення, ніж це виправдано його важливістю, я просто дозволю читачеві витрачати стільки часу або стільки ж мало часу на роздуми над цим столом, як він або вона хоче. Можна відзначити лише один невеликий момент, а саме, що формули для «спостерігача в русі» та «джерела в русі» однакові.

Для повноти, а не для будь-якого важливого застосування, я також побудую тут таблицю для «відображення». Джерело куль наближається до дзеркала зі швидкістю\( v_{1}\). An observer is also approaching the mirror, from the same side, at speed \( v_{2}\). And the mirror is moving at speed \( v_{3}\), and reflection is elastic (the coefficient of restitution is 1.) You are free to put as many of these speeds equal to zero as you wish.

The entries for “speed” give the speed relative to the source or mirror or observer. The speed relative to stationary lampposts at the side of the road is \( c+v_{1}\) before reflection and \( c+v_{1}-2v_{3}\) after reflection.

We now move on to the only aspect of the Doppler effect that is really relevant to this chapter, namely the Doppler effect in light. In the previous two situations I have been able to assume that all speeds were negligible compared with the speed of light, and we have not had to concern ourselves with relativistic effects. Here, however, the signal is light and is propagated at the speed of light, and this speed is the same whether referred to the reference frame in which the source is stationary or the observer is stationary. Further, the Doppler effect is noticeable only if source or observer are moving at speeds comparable to that of light. We shall see that the difference between the frequency of a signal relative to an observer and the frequency relative to the source is the result of two effects, which, while they may be treated separately, are both operative and in that sense inseparable. These two effects are the Doppler effect proper, which is a result of the changing distance between source and observer, and the relativistic dilation of time.

I am going to use the symbol \( T\) to denote the time interval between passage of consecutive crests of an electromagnetic wave. I’ll call this the period. This is merely the reciprocal of the frequency \( \nu\). I am going to start by considering a situation in which a source and an observer a receding from each other at a speed \( v\). I have drawn this in Figure XV.27, which is referred to a frame in which the observer is at rest. The speed of light is \( c\).

Let us suppose that \( S\) emits an electromagnetic wave of period \( T_{0}=\frac{1}{\nu_{0}}\) referred to the frame in which \( S\) is at rest. We are going to have to think about four distinct periods or frequencies:

1. The time interval between the emission of consecutive crests by \( S\) referred to the reference frame in which \( S\) is at rest. This is the period \( T_{0}\) and the frequency \( \nu_{0}\) that we have just mentioned.

2. The time interval between the emission of consecutive crests by \( S\) referred to the reference frame in which \( O\) is at rest. By the relativistic formula for the dilation of time this is

\[ \gamma T_{0} \quad or \quad \frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}. \label{15.18.4} \]

3. The time interval between the reception of consecutive crests by \( O\) as a result of the increasing distance between \( O\) and \( S\) (the “true” Doppler effect, as distinct from time dilation) referred to the reference frame in which \( S\) is at rest. This is

\[ T_{0}(1+\frac{v}{c}). \label{15.18.5} \]

4. The time interval between the reception of consecutive crests by \( O\) as a result of the increasing distance between \( O\) and \( S\) (the “true” Doppler effect, as distinct from time dilation) referred to the reference frame in which \( O\) is at rest. This is

\[ \gamma \quad \text{times} \quad T_{0}\left(1+\frac{v}{c}\right). \label{15.18.6} \]

This, of course, is what \( O\) “observes”, and, when you do the trivial algebra, you find that this is

\[ T=T_{0}\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}, \label{15.18.7} \]

or, in terms of frequency,

\[ \nu=\nu_{0}\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}. \label{15.18.8} \]

If source and observer approach each other at speed \( v\), the result is

\[ \nu=\nu_{0}\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}. \label{15.18.9} \]

The factor \( \sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}\) is often denoted by the symbol \( k\), and indeed that was the symbol \( I\) used in Section 15.3 (see Equation 15.3.3).

Exercise \(\PageIndex{1}\)

Expand Equation \( \ref{15.18.9}\) by the binomial theorem as far as \( (\frac{v}{c})^{2}\) and compare the result with Equations \( \ref{15.18.1}\) and \( \ref{15.18.2}\).

I make it

\[ \nu = \nu_{0}(1+(\frac{v}{c})+\frac{1}{2}(\frac{v}{c})^{2}...). \label{15.18.10} \]

Exercise \(\PageIndex{2}\)

An observer \( O\) sends an electromagnetic signal of frequency \( \nu_{0}\) at speed \( c\) to a mirror that is receding at speed \( v\). When the reflected signal arrives back at the observer, what is its frequency (to first order in \( \frac{v}{c}\))? Is it \( \nu_{0}(1-\frac{v}{c})\) or is it \( \nu_{0}(1-\frac{2v}{c})\)?

Я можу придумати навідки про два застосування цього. Якщо ви досліджуєте сонячний спектр Фраунгофера, що відбивається від екваторіальної кінцівки обертової планети, і ви спостерігаєте дробову зміну\( \frac{\Delta\nu}{\nu_{0}}\) частоти лінії спектра, це скаже вам\( \frac{v}{c}\) або\( \frac{2v}{c}\), де\( v\) екваторіальна швидкість поверхні планети? А якщо поліцейський направляє радіолокаційний промінь на ваш автомобіль, чи говорить йому частота зворотного променя швидкість вашого автомобіля, або вдвічі її швидкість? Ви можете спробувати аргументувати цю справу в суді - або, краще, дотримуватися обмеження швидкості, щоб не було необхідності робити це. Відповідь, до речі, є\( \nu_{0}(1-\frac{2v}{c})\).

Червоний зсув. Коли галактика віддаляється від нас, спектральна лінія лабораторної довжини хвилі\( \lambda_{0}\) буде мати частоту для спостерігача\( \lambda=k\lambda_{0}\). Дробове збільшення довжини хвилі\( \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda_{0}}\), як правило, дається символ\( z\), який, очевидно, дорівнює\( k-1\). (Тільки для першого порядку в\( \beta\) це приблизно дорівнює\( \beta\). Важливо відзначити, що визначення\( z\) є\( \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda_{0}}\), а ні\( \frac{v}{c}\).

Примітка щодо термінології: Якщо джерело відступає від спостерігача, спостерігається зміщення світла до довших довжин хвиль, а якщо воно наближається до спостерігача, світло зміщується в бік коротших довжин хвиль. Традиційно зсув до довших довжин хвиль називається «червоним зрушенням», а зсув у бік коротших довжин хвиль називається «синім зрушенням». Зверніть увагу, однак, що якщо інфрачервоне джерело наближається до спостерігача, його світло зміщується в бік червоного, а якщо ультрафіолетове джерело відступає від спостерігача, його світло зміщується в бік синього! Тим не менш, я продовжуватиму в цьому розділі посилатися на зрушення на довші та коротші довжини хвиль як червоні зрушення та сині зрушення відповідно.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Червона галактика R довжиною хвилі 680.0 нм і зелена галактика G довжиною хвилі 520,0 нм знаходяться на протилежних боках спостерігача X, обидва відступають від нього/її. Спостерігачу довжина хвилі червоної галактики здається 820,0 нм, а довжина хвилі зеленої галактики виявляється 640,0 нм. Яка довжина хвилі зеленої галактики, як видно з червоної галактики?

Рішення

Нам кажуть, що\( k\) для червоної галактики це 82/68 = 1,20588, або\( z\) = 0,20588, і що\( k\) для зеленої галактики\( k\) це 64/52 = 1,23077, або\( z\) = 0,23077. Через підготовку, яку ми зробили в розділі 15.3, ми можемо миттєво перетворити їх на\( \phi\). Таким чином, для червоної галактики\( \phi\) = 0,187212 і для зеленої галактики\( \phi\) = 0,207639. Сума їх становить 0.394851. Ми можемо миттєво перетворити це в\( k = 1.48416\) або\( z = 0.48416.\). Таким чином, як видно з R, довжина хвилі G становить 771,8 нм.

Альтернативно.

Показати, що коефіцієнт k поєднується як

\[ k_{1} \oplus k_{2} =k_{1}k_{2} \label{15.18.11} \]

і переконайтеся, що\( \frac{82}{68}\times\frac{64}{52}=1.48416\). Показати також, що коефіцієнт redshift\( z\) поєднується як

\[ z_{1} \oplus z_{2} =z_{1}z_{2}+z_{1}+z_{2}. \label{15.18.12} \]