9.2: Хвильове рівняння

Як і у всіх явищах класичної механіки, рух частинок у хвилі, наприклад маси на пружині на малюнку 9.1.1, регулюються законами руху Ньютона та різними законами сили. У цьому розділі ми будемо використовувати ці закони, щоб вивести рівняння руху для самої хвилі, що в цілому застосовується до хвильових явищ. Для цього розглянемо ряд частинок однакової маси,$m$ з'єднаних пружинами постійної пружини$k$, знову ж таки, як на малюнку 9.1.1a, і припустимо, що в спокої відстань між будь-якими двома масами h. нехай положення частинки$i$ буде$x$, і$u$ відстань, що частка знаходиться далеко від свого положення спокою; тоді$u=x_{\text {rest }}-x$ є функцією як положення, так$x$ і часу$t$. Припустимо, частка$i$ перемістилася вліво, тоді вона відчує відновлювальну силу вправо за рахунок двох джерел: стиснутої пружини зліва, і розширеної пружини праворуч. Загальна сила вправо потім дається:

$$\begin{align} F_{i} &=F_{i+1 \rightarrow i}-F_{i-1 \rightarrow i} \\ &=k[u(x+h, t)-u(x, t)]-k[u(x, t)-u(x-h, t)] \\ &=k[u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)] \label{9.3} \end{align}$$

Рівняння\ ref {9.3} дає чисту силу на частинку$i$, яка за другим законом руху Ньютона (Рівняння 2.1.5) дорівнює масі частинки на її прискорення. Прискорення - це друга похідна за часом положення$x$, але оскільки положення рівноваги є постійною, воно також є другою похідною за часом відстані від положення рівноваги$u(x,t)$, і ми маємо:

$$F_{\mathrm{net}}=m \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=k[u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)] \label{9.4}$$

Рівняння\ ref {9.4} тримає для частинки$i$, але так само добре для частинки$i+1$, або$i-10$. Ми можемо отримати рівняння для$N$ частинок, просто додавши їх окремі рівняння, що ми можемо зробити тому, що ці рівняння є лінійними.Таким чином, ми знаходимо для рядка частинок довжини$L=Nh$ руки загальної маси$M=N m$:

$$\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=\frac{K L^{2}}{M} \frac{u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)}{h^{2}} \label{9.5}.$$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Синусоїдальна поперечна хвиля в просторі (a) та часі (b). Відстань між двома послідовними максимумами (або будь-якими двома послідовними точками з рівною фазою) - це довжина$\lambda$ хвилі. Максимальним зміщенням є амплітуда А, а час, який потрібен одній точці, щоб пройти повне коливання, - це період T.

$K = k/N$Ось ефективна постійна пружини N пружин послідовно. Тепер уважно подивіться на дріб з правого боку Equation\ ref {9.5}: якщо взяти межу$h \rightarrow 0$, це друга похідна по відношенню до x. проте, прийняття$h$ до нуля також приймає$L$ нуль - що ми можемо протидіяти, одночасно беручи$N \rightarrow \infty$,$u(x,t)$ таким чином, що їх продукт L залишився колишнім. Те, що ми закінчуємо, - це рядок нескінченно багатьох частинок, з'єднаних нескінченно багатьма пружинами - так континуум частинок і пружин, для яких рівняння руху задається хвильовим рівнянням:

$$\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=v_{\mathrm{w}}^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} \label{9.6}$$

У Equation\ ref {9.6},$v_{\mathrm{w}}=\sqrt{\frac{K L^{2}}{M}}$ (іноді також позначається c) - швидкість хвилі.

Для хвилі в тугому струні одновимірний опис є точним, і ми можемо співвіднести наші величини$K, L$ і$M$ до більш звичним властивостям струни: її натяг$T = KL$ з розмірністю сили (це знову ж таки просто закон Гука) і її масою на одиницю довжини$\mu = \frac{M}{L}$, тому ми дістати

$$v_{\mathrm{string}}=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

У двох-трьох вимірах просторова похідна в Equation\ ref {9.6} стає оператором Лапласа, а хвильове рівняння задається:

$$\frac{\partial^{2} u(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t^{2}}=v_{\mathrm{w}}^{2} \nabla^{2} u(\boldsymbol{x}, t) \label{9.8}$$

Як видно з написання Equation\ ref {9.8} через сферичні координати, якщо хвиля радіальна (тобто залежить тільки від відстані до джерела$r$, а не від кута), величина$ru(r)$ підпорядковується одновимірному хвильовому рівнянню, тому ми можемо записати рівняння для$u(r)$ негайно. Важливим додатком є звукові хвилі, які рівномірно поширюються в однорідному середовищі. Щоб знайти їх швидкість, ми характеризуємо середовище аналогічним чином, як ми це робили для струни: беремо масу на одиницю об'єму, яка є просто щільністю$\rho$, і об'ємний модуль середовища, який є мірою опору середовища стисненню (тобто свого роду тривимірного аналог постійної пружини), визначається як:

$$B=-V \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} V}=\rho \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho}$$

де$p$ - тиск (сила на одиницю площі) і$V$ обсяг. Об'ємний модуль також іноді позначається як$K$. Розміри об'ємного модуля - це тиск, або сила на одиницю площі, а щільність - маса на одиницю об'єму, тому їх співвідношення має розмір швидкості в квадраті, а швидкість звуку задається:

$$v_{\text {sound }}=\sqrt{\frac{B}{\rho}}$$

Рівняння\ ref {9.8} описує хвилю, що характеризується одновимірним зміщенням (поздовжнім або поперечним) у трьох вимірах. Взагалі хвиля може мати складові обох, а сам зміщення стає векторною величиною,$\boldsymbol{u} (x,t)$. У такому випадку тривимірне хвильове рівняння набуває більш складного вигляду:

$$\rho \frac{\partial^{2} \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t^{2}}=\boldsymbol{f}+\left(B+\frac{4}{3} G\right) \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t))-G \nabla \times(\nabla \times \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)) \label{9.11}$$

де$\boldsymbol{f}$ - рушійна сила (на одиницю об'єму),$B$ знову ж таки модуль$G$ об'єму та модуль зсуву матеріалу. Рівняння\ ref {9.11} використовується для опису сейсмічних хвиль на Землі та ультразвукових хвиль, за допомогою яких тверді матеріали досліджуються на наявність дефектів.