9.2: Хвильове рівняння

Як і у всіх явищах класичної механіки, рух частинок у хвилі, наприклад маси на пружині на малюнку 9.1.1, регулюються законами руху Ньютона та різними законами сили. У цьому розділі ми будемо використовувати ці закони, щоб вивести рівняння руху для самої хвилі, що в цілому застосовується до хвильових явищ. Для цього розглянемо ряд частинок однакової маси,\(m\) з'єднаних пружинами постійної пружини\(k\), знову ж таки, як на малюнку 9.1.1a, і припустимо, що в спокої відстань між будь-якими двома масами h. нехай положення частинки\(i\) буде\(x\), і\(u\) відстань, що частка знаходиться далеко від свого положення спокою; тоді\(u=x_{\text {rest }}-x\) є функцією як положення, так\(x\) і часу\(t\). Припустимо, частка\(i\) перемістилася вліво, тоді вона відчує відновлювальну силу вправо за рахунок двох джерел: стиснутої пружини зліва, і розширеної пружини праворуч. Загальна сила вправо потім дається:

\[\begin{align} F_{i} &=F_{i+1 \rightarrow i}-F_{i-1 \rightarrow i} \\ &=k[u(x+h, t)-u(x, t)]-k[u(x, t)-u(x-h, t)] \\ &=k[u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)] \label{9.3} \end{align}\]

Рівняння\ ref {9.3} дає чисту силу на частинку\(i\), яка за другим законом руху Ньютона (Рівняння 2.1.5) дорівнює масі частинки на її прискорення. Прискорення - це друга похідна за часом положення\(x\), але оскільки положення рівноваги є постійною, воно також є другою похідною за часом відстані від положення рівноваги\(u(x,t)\), і ми маємо:

\[F_{\mathrm{net}}=m \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=k[u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)] \label{9.4}\]

Рівняння\ ref {9.4} тримає для частинки\(i\), але так само добре для частинки\(i+1\), або\(i-10\). Ми можемо отримати рівняння для\(N\) частинок, просто додавши їх окремі рівняння, що ми можемо зробити тому, що ці рівняння є лінійними.Таким чином, ми знаходимо для рядка частинок довжини\(L=Nh\) руки загальної маси\(M=N m\):

\[\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=\frac{K L^{2}}{M} \frac{u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)}{h^{2}} \label{9.5}.\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Синусоїдальна поперечна хвиля в просторі (a) та часі (b). Відстань між двома послідовними максимумами (або будь-якими двома послідовними точками з рівною фазою) - це довжина\(\lambda\) хвилі. Максимальним зміщенням є амплітуда А, а час, який потрібен одній точці, щоб пройти повне коливання, - це період T.

\(K = k/N\)Ось ефективна постійна пружини N пружин послідовно. Тепер уважно подивіться на дріб з правого боку Equation\ ref {9.5}: якщо взяти межу\(h \rightarrow 0\), це друга похідна по відношенню до x. проте, прийняття\(h\) до нуля також приймає\(L\) нуль - що ми можемо протидіяти, одночасно беручи\(N \rightarrow \infty\),\(u(x,t)\) таким чином, що їх продукт L залишився колишнім. Те, що ми закінчуємо, - це рядок нескінченно багатьох частинок, з'єднаних нескінченно багатьма пружинами - так континуум частинок і пружин, для яких рівняння руху задається хвильовим рівнянням:

\[\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=v_{\mathrm{w}}^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} \label{9.6}\]

У Equation\ ref {9.6},\(v_{\mathrm{w}}=\sqrt{\frac{K L^{2}}{M}}\) (іноді також позначається c) - швидкість хвилі.

Для хвилі в тугому струні одновимірний опис є точним, і ми можемо співвіднести наші величини\(K, L\) і\(M\) до більш звичним властивостям струни: її натяг\(T = KL\) з розмірністю сили (це знову ж таки просто закон Гука) і її масою на одиницю довжини\(\mu = \frac{M}{L}\), тому ми дістати

\[v_{\mathrm{string}}=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

У двох-трьох вимірах просторова похідна в Equation\ ref {9.6} стає оператором Лапласа, а хвильове рівняння задається:

\[\frac{\partial^{2} u(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t^{2}}=v_{\mathrm{w}}^{2} \nabla^{2} u(\boldsymbol{x}, t) \label{9.8}\]

Як видно з написання Equation\ ref {9.8} через сферичні координати, якщо хвиля радіальна (тобто залежить тільки від відстані до джерела\(r\), а не від кута), величина\(ru(r)\) підпорядковується одновимірному хвильовому рівнянню, тому ми можемо записати рівняння для\(u(r)\) негайно. Важливим додатком є звукові хвилі, які рівномірно поширюються в однорідному середовищі. Щоб знайти їх швидкість, ми характеризуємо середовище аналогічним чином, як ми це робили для струни: беремо масу на одиницю об'єму, яка є просто щільністю\(\rho\), і об'ємний модуль середовища, який є мірою опору середовища стисненню (тобто свого роду тривимірного аналог постійної пружини), визначається як:

\[B=-V \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} V}=\rho \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho}\]

де\(p\) - тиск (сила на одиницю площі) і\(V\) обсяг. Об'ємний модуль також іноді позначається як\(K\). Розміри об'ємного модуля - це тиск, або сила на одиницю площі, а щільність - маса на одиницю об'єму, тому їх співвідношення має розмір швидкості в квадраті, а швидкість звуку задається:

\[v_{\text {sound }}=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\]

Рівняння\ ref {9.8} описує хвилю, що характеризується одновимірним зміщенням (поздовжнім або поперечним) у трьох вимірах. Взагалі хвиля може мати складові обох, а сам зміщення стає векторною величиною,\(\boldsymbol{u} (x,t)\). У такому випадку тривимірне хвильове рівняння набуває більш складного вигляду:

\[\rho \frac{\partial^{2} \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t^{2}}=\boldsymbol{f}+\left(B+\frac{4}{3} G\right) \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t))-G \nabla \times(\nabla \times \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)) \label{9.11}\]

де\(\boldsymbol{f}\) - рушійна сила (на одиницю об'єму),\(B\) знову ж таки модуль\(G\) об'єму та модуль зсуву матеріалу. Рівняння\ ref {9.11} використовується для опису сейсмічних хвиль на Землі та ультразвукових хвиль, за допомогою яких тверді матеріали досліджуються на наявність дефектів.