12.1: Подорожуючі хвилі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74701

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У нашому вивченні механіки ми досі мали справу з частиноподібними об'єктами (об'єктами, які мають лише поступальну енергію) та розширеними, жорсткими об'єктами, які також можуть мати енергію обертання. Однак ми неявно припустили, що всі досліджувані нами об'єкти мали певну внутрішню структуру або були певною мірою деформуються, коли ми дозволяли можливість їх зберігання інших форм енергії, таких як хімічна або термічна.

У цій главі розглядається дуже поширений тип організованого (на відміну від некогерентного) руху, що проявляється розширеними пружними об'єктами, а саме хвильовим рухом. (Часто «об'єкт», в якому відбувається рух хвилі, називають «середовищем».) Хвилі можуть бути «подорожуючими» або «стоячими», і ми почнемо з мандрівного виду, оскільки саме вони найбільш чітко демонструють характеристики, зазвичай пов'язані з рухом хвиль.

Біжить хвиля в середовищі - це порушення середовища, яке поширюється через неї, в певному напрямку і з певною швидкістю. Під «порушенням» ми зазвичай маємо на увазі зміщення частин, що складають середовище, подалі від їх спокою або положення рівноваги. Ідея тут полягає в тому, щоб розглядати кожну частину пружного середовища як потенційно осцилятор, який з'єднується з сусідніми частинами, натискаючи або натягуючи на них (наприклад, як моделювати це математично, див. Розширений розділ 12.6 в кінці цієї глави). Коли біжить хвиля досягає певного місця в середовищі, вона приводить цю частину середовища в рух, надаючи їй деяку енергію та імпульс, який він потім переходить на сусідню частину, і так далі вниз по лінії.

Ви можете побачити приклад того, як це працює в slinky. Почніть з того, що трохи розтягуючи слінкі, потім захопіть кілька котушок, з'єднайте їх на одному кінці і відпустіть їх. Ви повинні побачити «імпульс стиснення», що рухається вниз по стрункому, з дуже невеликим спотворенням; можливо, ви навіть зможете побачити, як він відбивається на іншому кінці і повертається, перш ніж вся його енергія розсіюється.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Поздовжній (стиснення) хвильовий імпульс, що рухається вниз стрункою.

Імпульс стиснення в слінкі на малюнку\(\PageIndex{1}\) є прикладом того, що називається поздовжньою хвилею, тому що зміщення частин, що складають середовище (кільця, в даному випадку), відбувається по тому ж просторовому виміру, по якому рухається хвиля (горизонтальний напрямок, на малюнку). Найважливішими прикладами поздовжніх хвиль є звукові хвилі, які працюють трохи як поздовжні хвилі на slinky: область повітря (або якесь інше середовище) стискається, і коли вона розширюється, вона штовхає на сусідню область, змушуючи її стискати та передаючи порушення вздовж. У процесі зазвичай утворюються області розрідження (де щільність опускається нижче її середнього значення) поряд з областями стиснення (підвищеної щільності).

Протилежністю поздовжньої хвилі є поперечна хвиля, при якій зміщення частин середовища відбувається в напрямку, перпендикулярному напрямку руху хвилі. Насправді також відносно легко виробляти поперечну хвилю на стрункому: знову ж таки, просто трохи розтягніть її і дайте одному кінці енергійний струс вгору і вниз. Однак трохи важко намалювати отриманий імпульс на довгій пружині з усіма витками, тому на малюнку\(\PageIndex{2}\) нижче я намалював поперечний хвильовий імпульс на струні, який ви можете виробляти таким же чином. (Струни мають і інші переваги: їх також легше описати математично, і вони дуже актуальні, особливо для виробництва музичних звуків.)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Поперечний хвильовий імпульс, що рухається вниз по струні. Цей імпульс можна генерувати, надаючи кінцю струни сильне тремтіння, при цьому тримаючи струну натягнутою. (Ви також можете зробити це на slinky.)

Мабуть, найважливішим (і чудовим) властивістю хвильового руху є те, що він може переносити енергію та імпульс на відносно великі відстані без еквівалентного транспорту речовини. Знову ж таки, подумайте про стрункий: «імпульс» може подорожувати по всій довжині слінкі, несучи з собою імпульс і енергію, але кожне окреме кільце не відходить дуже далеко від свого положення рівноваги. В ідеалі після того, як імпульс пройшов через певне місце в середовищі, відповідна частина середовища повертається в своє рівноважне положення і більше не рухається: вся енергія і імпульс, які вона на мить придбала, передається вперед. Те ж саме (в ідеалі) справедливо і для поперечної хвилі на струні на рис\(\PageIndex{2}\).

Оскільки це має на увазі дуже елементарне введення в хвилі, я розгляну лише цей випадок «ідеального» (технічно відомого як «лінійний і бездисперсійний») поширення хвилі, при якому швидкість хвилі не залежить від форми або розміру збурень. У цьому випадку порушення зберігає свою «форму» під час подорожі, як я намагався проілюструвати на малюнках\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\).

Функція «Форма хвилі »- Зсув і швидкість середовища

У тонкому, те, що я називаю «частинами» середовища, дуже чітко видно (вони, природно, окремі кільця); у «однорідному» середовищі (той, у якому немає видимих частин) спосіб описати хвилю полягає в тому, щоб розбити середовище, на вашу думку, на нескінченно багато дрібних частин або «частинок» (як ми робили для розширених систем (весь семестр), і запишіть рівняння, які говорять нам, як рухається кожна частина. Фізично ви повинні думати про кожну з цих «частинок» як про досить велику, щоб містити багато молекул, але досить малу, щоб її положення в середовищі могло бути представлено математичною точкою.

Стандартним способом позначення кожної «частинки» середовища є вектор положення її положення рівноваги (місце, де частка сидить в спокої при відсутності хвилі). При наявності хвилі частка, яка спочатку перебувала в стані спокою в точці,\(\vec{r}\) зазнає зміщення, яке я збираюся представляти вектором\(\vec{\xi}\) (де\(\xi\) грецька буква «xi»). Це зміщення, як правило, буде функцією часу, і воно також може бути різним для різних частинок, тому це також буде функція\(\vec{r}\), рівноважне положення частинки, яку ми розглядаємо. Положення частинки під впливом хвилі стає тоді

\[ \vec{r}+\vec{\xi}(\vec{r}, t) \label{eq:12.1} .\]

Це дуже загальне, і йому можна надати більш просту форму для простих випадків. Наприклад, для поперечної хвилі на рядку, ми можемо позначити кожну частину рядка в спокої за її\(x\) координатою, а потім прийняти зміщення, щоб лежати вздовж\(y\) осі; вектор положення, потім, може бути записаний у вигляді компонента як\( (x, \xi(x, t), 0) \). Аналогічно можна розглядати «плоску» звукову хвилю як поздовжню хвилю, що йде в\(x\) напрямку, де щільність середовища не залежить від\(y\) і\(z\) (тобто постійна на площинях, перпендикулярних напрямку поширення). У цьому випадку координата рівноваги\(x\) може бути використана для позначення цілого «зрізу» середовища, і положення цього зрізу, вздовж\(x\) осі, в той час\(t\) буде задано\(x+\xi(x, t)\). В обох цих випадках вектор зміщення\(\xi\) зводиться до єдиної ненульової складової (вздовж\(x\) осі\(y\) або відповідно), яка може, звичайно, бути позитивною або негативною. Я обмежуся беззаперечно цими простими випадками і ставитися\(\xi\) до скаляра з цього моменту.

У цих умовах функція\(\xi(x, t)\) (яку часто називають хвильовою функцією) дає нам форму «хвилі зміщення», тобто зміщення кожної частини середовища, позначеного її рівновагою\(x\) -координатою, в будь-який момент часу. Відповідно, взяття похідної\(\xi\) дає нам швидкість відповідної частини середовища:

\[ v_{\operatorname{med}}=\frac{d \xi}{d t} \label{eq:12.2} .\]

Це теж, в загальному, вектор (по напрямку руху хвилі, якщо хвиля поздовжня, або перпендикулярно їй, якщо хвиля поперечна). Це теж функція часу, і взагалі буде відрізнятися від швидкості самої хвилі, яку ми взяли за постійну, і яку я буду позначати\(c\) замість цього.

Гармонічні хвилі

Важливим класом хвиль є ті, для яких хвильова функція синусоїдальна. Це означає, що різні частини середовища виконують простий гармонійний рух, все з однаковою частотою, але кожна (загалом) з різною фазою. Зокрема, для синусоїдальної хвилі ми маємо

\[ \xi(x, t)=\xi_{0} \sin \left[\frac{2 \pi x}{\lambda}-2 \pi f t\right] \label{eq:12.3} .\]

У Equation (\ ref {eq:12.3})\(f\) розшифровується як частота і відіграє ту ж роль, що і в попередньому розділі: він говорить нам, як часто (тобто скільки разів в секунду) відповідна частина середовища коливається навколо свого положення рівноваги. Константа\(\xi_0\) - це всього лише амплітуда коливання (те, що ми звикли називати\(A\) в попередньому розділі). Постійна\(\lambda\), з іншого боку, іноді відома як «просторовий період» або, найчастіше, довжина хвилі: вона говорить вам, як далеко вам доведеться пройти вздовж\(x\) осі, від заданої точки\(x\), щоб знайти іншу, яка виконує те ж коливання з однакова амплітуда і фаза.

Пара знімків гармонійної хвилі показані на малюнку\(\PageIndex{3}\). На малюнку показано зміщення\(\xi\), у два різні часи, і як функція координати, яка\(x\) використовується для позначення частин, на які ми розбили середовище (як пояснено в попередньому підрозділі). Таким чином, хвиля, яку він представляє, може однаково добре бути поздовжньою або поперечною. Якщо вона поперечна, як хвиля на рядку, то ви можете думати про те, що є по суті просто\(y\), а потім крива переміщення (синя лінія) просто дає вам форму рядка.\(\xi\) Якщо ж хвиля поздовжня, то трохи складніше візуалізувати те, що відбувається саме з сюжету\(\xi (x, t)\). Це те, що я намагався зробити з ділянками щільності внизу фігури.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Вгорі: два знімки біжучої гармонічної хвилі при\(t\) = 0 (тверде тіло) і при\(t = \Delta t\) (пунктирне). Величина\(\xi\) - це зміщення типової частинки середовища в кожній точці\(x\) (хвиля рухається в позитивному\(x\) напрямку). Одиниці для обох\(x\) і\(\xi\) є довільними. Дно: Відповідні щільності, для випадку поздовжньої хвилі.

Уявіть, що хвиля поздовжня, і розглянемо\(x = \pi\) точку на кривій\(t\) = 0 (перший нуль, не рахуючи початку). Частка середовища безпосередньо ліворуч від цієї точки має позитивне зміщення, тобто вона штовхається до\(x = \pi\), тоді як зріз праворуч має негативне зміщення - що означає, що він також висувається до\(x = \pi\). Тому ми очікуємо, що щільність середовища буде найвищою навколо цієї точки, тоді як навколо\(x = 2\pi\) протилежного відбувається: частинки ліворуч штовхаються вліво, а ті, що праворуч, штовхаються вправо, що призводить до області низької щільності. Графік щільності з міткою\(t\) = 0 намагається показати це за допомогою градацій сірого, де темніші та світліші відповідають областям більшої та меншої щільності відповідно. Пізніше області високої та низької щільності перемістилися на відстань\(c\Delta t\) вправо, як показано на другому графіку щільності.\(t = \Delta t\)

Незалежно від того, чи є хвиля поздовжньою або поперечною, якщо вона гармонічна, просторова картина буде повторюватися на кожній довжині хвилі; ви можете думати про довжину хвилі\(\lambda\) як відстань між двома послідовними гребенями (або двома послідовними жолобами) функції переміщення, як показано на малюнку. Якщо хвиля рухається зі швидкістю\(c\), спостерігач, що сидить у фіксованій точці,\(x\) побачить, як порушення проходить через цю точку, частинки рухаються вгору і вниз (або назад і вперед), і рух повторюється після того, як хвиля пройшла відстань\(\lambda\), тобто через деякий час \(\lambda/c\). Це означає, що період коливання в кожній точці дорівнює\(T = \lambda/c\), і відповідна частота\(f = 1/T = c/ \lambda\):

\[ f=\frac{c}{\lambda} \label{eq:12.4} .\]

Це найосновніше рівняння для гармонійних хвиль. Використовуючи його, рівняння (\ ref {eq:12.3}) можна переписати як

\[ \xi(x, t)=\xi_{0} \sin \left[\frac{2 \pi}{\lambda}(x-c t)\right] \label{eq:12.5} .\]

Це говорить про те, що якщо ми хочемо мати хвилю, що рухається вліво, все, що нам потрібно зробити, це змінити знак терміна пропорційний\(c\), що дійсно так.

На відміну від швидкості хвилі, яка є постійною, швидкість будь-якої частини середовища, з положенням рівноваги\(x\), в той час\(t\), може бути розрахована з Eqs. (\ ref {еква:12.2}) і (\ ref {еква:12.3}) бути

\[ v_{m e d}(x, t)=2 \pi f \xi_{0} \cos \left[\frac{2 \pi x}{\lambda}-2 \pi f t\right]=\omega \xi_{0} \cos \left[\frac{2 \pi x}{\lambda}-2 \pi f t\right] \label{eq:12.6} \]

(Де я ввів кутову частоту\(\omega = 2\pi f\)). Знову ж таки, це знайомий результат з теорії простого гармонічного руху: швидкість «90 градусів поза фазою» зі зміщенням, тому вона максимальна або мінімальна, де зміщення дорівнює нулю (тобто коли частка проходить через своє положення рівноваги в тому чи іншому напрямку).

Зверніть увагу, що результат (\ ref {eq:12.6}) передбачає, що для поздовжньої хвилі «хвиля швидкості» знаходиться у фазі з «хвилею щільності»: тобто середня швидкість велика і позитивна, де щільність найбільша, і велика і негативна, де щільність найменша (порівняйте ділянки щільності в Малюнок\(\PageIndex{3}\)). Якщо ми думаємо про імпульс об'ємного елемента в середовищі як пропорційний добутку миттєвої щільності та швидкості, ми бачимо, що для цієї хвилі, яка рухається в позитивному\(x\) напрямку, існує більше «позитивного імпульсу», ніж «негативний імпульс» в середовищі при будь-якому заданому час (звичайно, якби хвиля рухалася в протилежному напрямку, знак\(v_{med}\) у рівнянні (\ ref {eq:12.6}) був би негативним, і ми б знайшли протилежний результат). Це підтверджує наше очікування, що хвиля несе чисту кількість імпульсу у напрямку поширення. Детальний розрахунок (який виходить за рамки цієї книги) показує, що середнє за часом «щільність імпульсу» (імпульс на одиницю об'єму) можна записати як

\[ \frac{p}{V}=\frac{1}{2 c} \rho_{0} \omega^{2} \xi_{0}^{2} \label{eq:12.7} \]

де\(\rho_{0}\) - середня масова щільність середовища (маса на одиницю об'єму). Цікаво, що цей результат відноситься і до поперечної завивці!

Як згадувалося у вступі, хвиля також несе енергію. Рівняння (\ ref {eq:12.6}) може бути використано для обчислення кінетичної енергії невеликої області середовища (з об'ємом\(V\) і щільністю\(\rho_{0}\), а отже\(m=\rho_{0} V\)) та її середнього часу. Це виявляється рівним середнім за часом пружної потенційної енергії тієї ж частини середовища (нагадаємо, що у нас був такий же результат для гармонійних осциляторів в попередньому розділі). Зрештою, загальна усереднена за часом щільність енергії (енергії на одиницю об'єму) в області середовища, зайнятого хвилею, задається

\[ \frac{E}{V}=\frac{1}{2} \rho_{0} \omega^{2} \xi_{0}^{2} \label{eq:12.8} .\]

Порівнюючи (\ ref {eq:12.7}) і (\ ref {eq:12.8}), ви можете побачити, що

\[ \frac{E}{V}=\frac{c p}{V} \label{eq:12.9} .\]

Цей зв'язок між енергією та щільністю імпульсу (один раз\(c\) раз інший) є надзвичайно загальним результатом, який застосовується до всіляких хвиль, включаючи електромагнітні хвилі!

Швидкість хвилі

Ви можете запитати, від чого залежить швидкість хвилі в матеріальному середовищі? Відповідь, якісно кажучи, полягає в тому, що\(c\) завжди закінчується чимось формою

\[ c \sim \sqrt{\frac{\text { stiffness }}{\text { inertia }}} \label{eq:12.10} \]

де «жорсткість» - це якась міра того, наскільки жорсткий матеріал (наскільки важко його стиснути або, у випадку поперечної хвилі, зсунути), тоді як «інерція» означає якусь щільність маси.

Для поперечної хвилі на струні, наприклад, знаходимо

\[ c=\sqrt{\frac{F t}{\mu}} \label{eq:12.11} \]

де\(F^t\) напруга в струні і\(\mu\) не «знижена маса» чого-небудь (вибачте за плутанину!) , але поширений спосіб запису «маси на одиницю довжини» рядка. Ми також могли б просто написати\(\mu = M/L\)\(M\), де загальна маса рядка і\(L\) його довжина. Зверніть увагу, що натяг є мірою жорсткості струни, тому це, дійсно, загального вигляду (\ ref {eq:12.10}). Для двох струн під однаковим натягом, але з різною щільністю хвиля буде рухатися повільніше на більш щільній.

Для звукової хвилі в рідині (рідини або газу) зазвичай пишуть швидкість звуку

\[ c=\sqrt{\frac{B}{\rho_{0}}} \label{eq:12.12} \]

де\(\rho_0\) - регулярна щільність (маса на одиницю об'єму), і\(B\) є так званим об'ємним модулем, що дає опір рідини зміні об'єму\(P\) при подачі на неї тиску:\(B = P/(\Delta V /V )\). Отже, ще раз отримуємо щось виду (\ ref {eq:12.10}). У цьому випадку, однак, ми виявляємо, що для багатьох рідин щільність і жорсткість пов'язані, тому вони збільшуються разом, а це означає, що ми не можемо просто припустити, що швидкість звуку буде автоматично меншою в більш щільному середовищі. Для газів це працює добре: швидкість звуку в більш легкому газі, як гелій, більше, ніж у повітрі, тоді як у більш щільному газі, подібному гексафториду сірки, швидкість звуку менше, ніж у повітрі ¹. Однак якщо порівнювати швидкість звуку у воді зі швидкістю звуку в повітрі, то виявите, що у воді вона набагато більше, так як воду стискати набагато важче, ніж повітря: в цьому випадку збільшення жорсткості більше, ніж компенсує збільшення щільності.

Те ж саме відбувається, якщо перейти від рідини, як вода, до твердої, де швидкість звуку задається

\[ c=\sqrt{\frac{Y}{\rho_{0}}} \label{eq:12.13} \]

де\(Y\), знову ж таки, міра жорсткості матеріалу, звана модулем Юнга. Оскільки тверду речовину, як правило, ще важче стискати, ніж рідина, швидкість звуку в твердих тілах, таких як метали, набагато більша, ніж у воді, незважаючи на те, що вони також щільніші. Для довідки швидкість звуку в сталі становила б близько\(c\) = 5000 м/с; у воді - близько 1500 м/с; а в повітрі «тільки» близько 340 м/с.

¹ Цей ефект може бути використаний для отримання «смішних голосів» через співвідношення\(f = c/\lambda\) (Equation (\ ref {eq:12.4})), який буде розглянуто більш детально в розділі про стоячі хвилі.

Відбиття і пропускання хвиль на середній межі

Припустимо, що у вас є два різних пружних середовища, з'єднаних якимось чином на спільній межі, і у вас є хвиля в першому середовищі, що рухається до кордону. Прикладами носіїв, пов'язаних таким чином, можуть бути дві різні струни, пов'язані між собою, або дві пружини з різними пружинними константами, з'єднаними на кінцях; або, для звукових хвиль, це може бути просто щось на зразок води з повітрям над нею: хвиля стиснення в повітрі, що рухається до поверхні води, буде штовхати на поверхню і налаштувати там звукову хвилю, і навпаки.

Перше, що слід помітити, це те, що якщо падаюча хвиля має частоту\(f\), це призведе до того, що межа середовища, коли вона прибуде туди, коливатися на цій частоті. В результаті цього хвиля, яка встановлюється у другому середовищі, яку ми називаємо переданою хвилею, також матиме таку ж частоту\(f\). Знову подумайте про дві струни, пов'язані між собою, тому перша струна «ганяє» другу на частоті\(f\); або звук на кордоні повітря-вода, керуючи (штовхаючи) поверхню води на частоті\(f\).

Отже, падаючі і передані хвилі матимуть однакову частоту, але зрозуміло, що якщо швидкості хвиль у двох середовищах різні, вони не можуть мати однакову довжину хвилі: оскільки відношення (\ ref {eq:12.4}) має триматися, ми матимемо\(\lambda_1 = c_1/f\), і\(\lambda_2 = c_2/f\). Таким чином, якщо періодична хвиля перейде з більш повільного в більш швидке середовище, її довжина хвилі збільшиться, а якщо вона перейде від більш швидкої до більш повільної, то довжина хвилі зменшиться.

Фізично легко зрозуміти, чому це відбувається, і як це має бути навіть для неперіодичних хвиль, тобто хвильових імпульсів: імпульс, що йде в більш швидке середовище, буде розширюватися в довжину (розтягуватися), тоді як імпульс, що йде в більш повільне середовище, стане більш вузьким (стиснутим). Уявіть, наприклад, кілька людей, що йдуть в черзі, розділених однаковою відстанню\(d\), все в одному темпі, поки не досягнуть лінії, за якою вони повинні почати бігати. Коли перша людина досягає лінії, він починає бігати, а ось другий все ще ходить, тому до моменту досягнення другого лінії перший збільшив відстань від другої. Те ж саме станеться між другим і третім, і так далі: оригінальний «пучок» стане розкладеним. (Якщо ви дивитеся автомобільні гонки, швидше за все, ви бачили, що такого роду речі трапляються вже!)

Окрім встановлення переданої хвилі, з властивостями, які я щойно обговорював, падаюча хвиля майже завжди призведе до того, що відбита хвиля починає рухатися в першому середовищі, рухаючись назад від кордону. Відбита хвиля також має ту ж частоту, що і падаюча, і оскільки вона рухається в одному середовищі, вона також матиме таку ж довжину хвилі. Тому неперіодичний імпульс при відображенні не буде розтягнутий і не стискається, але він буде «повернутий» спиною до фронту, оскільки перша частина, яка досягла межі, також повинна бути першою, хто залишив. Див. Малюнок\(\PageIndex{4}\) (верхня частина) для прикладу.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Відображення і передача імпульсу на межі, де з'єднуються дві струни різної щільності. (Ситуації «До» і «після» показані для кожного випадку.) Верхній малюнок: струна справа менш щільна, тому імпульс рухається швидше (натяг на обох струн має бути однаковим). Відбитий імпульс вертикально, але зворотний зліва направо. Нижня цифра: струна праворуч більш щільна, тому переданий імпульс рухається повільніше. Відбитий імпульс перевертається зліва направо і перевертається догори дном.

У чому фізична причина відбитої хвилі? Зрештою, це пов'язано з енергією, що переноситься падаючою хвилею, і чи можливо, що передана хвиля самостійно обробляє вхідний потік енергії чи ні. Як ми бачили раніше (Equation (\ ref {eq:12.8})), енергія на одиницю об'єму в гармонічній хвилі кутової\(\omega\) частоти і амплітуди\(\xi_0\) дорівнює\(E/V = \frac{1}{2} \rho_{0}\omega^{2}\xi^{2}_{0}\). Якщо хвиля рухається зі швидкістю\(c\), то потік енергії (енергія, що транспортується в одиницю часу на одиницю площі) дорівнює\((E/V )c\), що так би мовити

\[ I=\frac{1}{2} c \rho_{0} \omega^{2} \xi_{0}^{2} \label{eq:12.14} .\]

Це часто називають інтенсивністю хвилі. Це може бути записано як\(I=\frac{1}{2} Z \omega^{2} \xi_{0}^{2}\), де я визначив механічний імпеданс середовища (або просто імпеданс) як

\[ Z = c \rho_{0} \label{eq:12.15} \]

(Для струни\(\rho_0\) слід використовувати масу на одиницю довжини\(\mu\) замість маси на одиницю об'єму). Ви можете бачити, що якщо два середовища мають однаковий імпеданс, то потік енергії в середовищі 2 буде точно збігатися з тим, що в середовищі 1, за умови, що падаючі і передані хвилі мають однакові амплітуди. У такому випадку відбита хвиля не буде: навіть якщо два середовища мають різну щільність і швидкості хвиль, якщо вони мають однаковий імпеданс, хвиля буде повністю передаватися.

З іншого боку, якщо носії мають різний опір, то зіставити енергетичний потік буде взагалі неможливо тільки з переданої хвилею, і відбудеться відображення. Це не відразу очевидно, оскільки, схоже, все, що вам потрібно зробити, щоб компенсувати різні імпеданси в рівнянні (\ ref {eq:12.14}), це надати переданій хвилі амплітуду, яка відрізняється від амплітуди падаючої хвилі. Але справа саме в тому, що математично ви не можете цього зробити, не вводячи відбиту хвилю. Це пов'язано з тим, що фактична амплітуда коливань на кордоні повинна бути однаковою з обох сторін, оскільки два середовища з'єднані там, і коливаються разом; Отже, якщо\(\xi_{0, \text { inc }}\) буде відрізнятися від\(\xi_{0, \text { trans }}\), вам потрібно мати іншу хвилю в середовищі 1, відбитої хвилі, щоб застрахуйте це\(\xi_{0, \text { inc }}+\xi_{0, \text { refl }}=\xi_{0, \text { trans }}\).

Інший спосіб побачити це - заглибитися трохи глибше у фізичному значенні імпедансу. Це варто об'їзд, тому що імпеданс в різних формах повторюється в ряді фізики та інженерних проблем. Наприклад, для звукової хвилі в твердому тілі ми можемо бачити з Eqs. (\ ref {eq:12.13}) і (\ ref {eq:12.15}), що\(Z = c\rho_0 = \sqrt{Y \rho_0}\); тому середовище може мати великий імпеданс або будучи дуже жорстким (великим\(Y\)) або дуже щільним (великим\(\rho_0\)) або тим і іншим; так чи інакше, потрібно було б працювати важче, щоб налаштувати хвилю в такому середовищі, ніж в одному з меншим імпедансом. З іншого боку, як тільки хвиля налаштована, вся ця робота зберігається як енергія хвилі, тому хвиля в середовищі з більшим\(Z\) буде також нести більшу кількість енергії (як це також зрозуміло з Рівняння (\ ref {eq:12.14})) ² для заданого зміщення\(\xi_0\).

Отже, коли хвиля намагається перейти від низького імпедансу до великого середовища імпедансу, їй буде важко налаштувати передану хвилю: амплітуда переданої хвилі буде невеликою (порівняно з амплітудою падаючої хвилі), і єдиним способом задовольнити умову\(\xi_{0, \text { inc }}+\xi_{0, \text { refl }}=\xi_{0, \text { trans }}\) буде встановити відбиту хвилю з негативна амплітуда ³ —in ефект, щоб перевернути відбиту хвилю догори дном, на додаток до зліва направо. Це випадок, проілюстрований на малюнку знизу на малюнку\(\PageIndex{4}\).

І навпаки, ви можете подумати, що хвиля, яка намагається перейти від високого імпедансу до середовища з низьким імпедансом, не матиме жодних проблем із встановленням там переданої хвилі, і це правда - але через низький імпеданс передана хвиля все ще не зможе переносити весь потік енергії сама по собі. В цьому випадку\(\xi_{0,trans}\) буде більше, ніж\(\xi_{0,inc}\), і це також викличе відбиту хвилю в першому середовищі, тільки тепер вона буде «вертикально», тобто\(\xi_{0, \text { refl }}=\xi_{0, \text { trans }}-\xi_{0, \text { inc }}>0\).

Щоб закінчити тему імпедансу, зверніть увагу, що спостереження, яке ми щойно зробили, що імпеданс зазвичай буде йти як квадратний корінь добутку «жорсткості» середовища на його щільність, є цілком загальним. Отже, щільність середовища, як правило, буде хорошим проксі для його імпедансу, принаймні до тих пір, поки коефіцієнт «жорсткості» не залежить від щільності (як для струн, де він просто дорівнює натягу) або, що ще краще, збільшується разом з ним (як це зазвичай буває для звукових хвиль у більшості матеріалів). Таким чином, ви часто чуєте, що відбита хвиля інвертується (перевертається догори дном), коли вона відбивається від більш щільного середовища, без будь-якого посилання на імпеданс - просто зрозуміло, що «щільніше» також означає «більший імпеданс» в цьому випадку. Також зауважте, уздовж цих ліній, що «фіксований кінець», такий як кінець струни, яка прив'язана (або, для звукових хвиль, замкнутий кінець труби органу), по суті еквівалентний середовищу з «нескінченним» імпедансом, в цьому випадку немає переданої хвилі на цьому кінці, і вся енергія відбивається.

Нарешті, вираз,\(\xi_{0,inc} + \xi_{0,refl}\) який я писав раніше, для амплітуди хвилі в першому середовищі, неявно передбачає дуже важливу властивість хвиль, яке є явищем, відомим як інтерференція, або еквівалентно «принцип лінійного суперпозиції». Згідно з цим принципом, коли дві хвилі перекриваються в одній і тій же області простору, сумарне зміщення якраз дорівнює алгебраїчній сумі переміщень, вироблених кожною хвилею окремо. Оскільки зміщення додаються з їх знаками, можна отримати руйнівне втручання, якщо знаки різні, або конструктивне втручання, якщо знаки однакові. Це зіграє важливу роль в момент, коли ми почнемо вивчення стоячих хвиль.

² У цьому відношенні це може допомогти вам думати про імпеданс розширеного середовища як дещо аналог інерції (маси) однієї частинки. Чим більше маса, тим важче прискорити частинку, але як тільки ви надали їй швидкість v, більша маса також несе більше енергії.

³ Кращим способом поставити це було б сказати, що амплітуда є позитивною, як завжди, але відбита хвиля 180\(^{\circ}\) поза фазою з падаючою хвилею, тому амплітуда загальної хвилі на стороні середовища 1 межі є\(\xi_{0,inc} − \xi_{0,refl}\).