27.5: Стисливість рідини

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Коли тиск рівномірний з усіх боків об'єкта в рідині, тиск буде стискати об'єкт, що призводить до меншого обсягу. Коли ми збільшуємо тиск $ΔP$ на матеріал об'єму $v_{o}$ , тоді обсяг матеріалу зміниться на $ΔV < 0$ і, отже, щільність матеріалу також зміниться. Визначте об'ємне напруження по збільшенню зміни тиску

$\sigma_{B} \equiv \Delta P \nonumber$

Визначте об'ємну деформацію за співвідношенням

$\varepsilon_{B} \equiv \frac{\Delta V}{V_{0}} \nonumber$

Для багатьох матеріалів, при невеликих перепадах тиску, об'ємна напруга лінійно пропорційна об'ємної деформації,

$\Delta P=-B \frac{\Delta V}{V_{0}} \label{27.5.3}$

де константа пропорційності $B$ називається об'ємним модулем. Одиницею СІ для об'ємного модуля є паскаль. Якщо об'ємний модуль матеріалу дуже великий, велика зміна тиску призведе до лише невеликої зміни обсягу. У такому випадку матеріал називають нестисливим. У таблиці 27.2 модуль об'ємної пружності наведено в таблицю для різних матеріалів. $\text {Table 27.2 Bulk Modulus for Various Materials} \nonumber$

\ [\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Матеріал} &\ text {Об'ємний модуль,} Y\ текст {, (Па)}
\\ hline\ текст {Алмаз} & 4.4\ раз 10^ {11}
\\ hline\ текст {залізо} & 1.6\ раз 10^ {11}
\ hline\ текст {нікель} і 1.7\ раз 10^ {11}\ \
\ hline\ текст {сталь} & 1.6\ раз 10^ {11}\
\ hline\ текст {мідь} & 1.4\ раз 10^ {11}\
\ hline\ текст {латунь} & 6.0\ раз 10^ {10}\
\ hline\ текст {Алюміній} & 7,5\ раз 10^ {10}\
\ hline\ текст {Корона} & 5.0\ раз 10^ {10}\
\ hline\ текст {Lead} & 4.1\ раз 10^ {10}\\ hline
\ begin {масив} {l}
\ text {Вода (значення збільшується}\
\ текст {при більш високому тиску)}
\ кінець {масив} & 2,2\\ раз 10^ {9}\
\ hline\ почати {масив} {л}
\ текст {повітря (адіабатичний об'єм}\
\ текст {модуль)}
\ кінець {масив} & 1.42\ times 10^ {5}\\ hline
\ begin {масив} {l}
\ text {повітря (ізотермічний об'єм}
\\ текст {модуль)}
\ кінець {масив} & 1.01\ раз 10^ {5}\
\ hline
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Приклад 27.3: Стисливість води

Визначте відсоток зменшення фіксованого обсягу води на глибині 4 км, де різниця тисків дорівнює 40 МПа, по відношенню до рівня моря.

Рішення

Об'ємний модуль води дорівнює $2.2 \times 10^{9} \text Pa$ . З рівняння\ ref {27.5.3},

$\frac{\Delta V}{V_{0}}=-\frac{\Delta P}{B}=-\frac{40 \times 10^{6} \mathrm{Pa}}{2.2 \times 10^{9} \mathrm{Pa}}=-0.018. \nonumber$

Спостерігається лише зменшення обсягу на 1,8%. Вода по суті нестислива навіть на великих глибині океану, виправдовуючи наше припущення, що щільність води рівномірна в океані в прикладі 27.1.