8.E: Коливання (вправи)

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

8.1

Об'єкт піддається простому гармонійному руху амплітуди $A$ і кутової $\omega$ частоти навколо точки рівноваги $x = 0$ . Знайти швидкість $v$ об'єкта в перерахунку $A, \omega$ , і $x$ . Підказка: використовуйте збереження енергії.

8.2

Диск радіусу $R$ і маси $M$ підвішений на шарнірі десь між його центром і краєм, див. Малюнок нижче. Для якої точки повороту (тобто, яка відстань $d$ ) період цього фізичного маятника буде мінімальним (або еквівалентно частоті максимум)? Ви можете знайти одну з теорем, які ми довели в розділі 5, корисною для відповіді на це питання.

Проблема 8.2.jpg

8.3

На малюнку 8.4 показана поширена сучасна конструкція гойдалок, також представлена в Задачі 2.10. Крім балки з двома сидіннями, ця гойдалка містить також дві однакові пружини (з постійною пружини $10 kN/m$ ), які з'єднують балку з землею. Відстань між шкворнем і кожною з пружин дорівнює $30.0 cm$ , відстань між шкворнем і кожним з сидінь дорівнює $1.50 m$ . Двоє дітей сидять на двох кріслах. Обидва діти пару раз штовхаються об землю, ставлячи гойдалки коливальним рухом з амплітудою $50.0 cm$ . У дітей $t = 0$ припиняють бити ногами. Сюжет на малюнку c показує висоту одного з сидінь як функція часу після цього.

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Гойдалка з двома пружинами.

При якому типі руху гойдалки після того, як діти перестають бити ногами?
Ви можете змоделювати гойдалки з двома дітьми як просту масу на пружині, з постійною пружини вдвічі більше, ніж індивідуальна пружина в гойдалках. Використовуючи графік на малюнку c, оцініть ефективну масу цієї системи.
Через деякий час діти відновлюють ногами, повільно доводячи свою амплітуду назад до $50.0 cm$ . Використовуючи масово-пружинну систему (b), оцініть кількість енергії, яку діти повинні вкладати за період, щоб досягти цього.

8.4

Блок з масовим $m_1 = 1.5 kg$ блоком підтримується поверхнею без тертя і кріпиться до горизонтальної пружини постійної $k = 22 N/m$ , як показано на малюнку. Блок коливається з амплітудою $10.0 cm$ , виконуючи просте гармонійне рух.

Знайти $\omega$ частоту коливань блоку.
Запишіть рівняння для положення блоку як функції часу, в такому вигляді $x(t)$ , щоб він знаходився в крайньому правому положенні в $t = 0$ .

Другий блок маси $0.80 kg$ рухається з правого на $2.5 m/s$ і потрапляє в перший блок в $t = 0$ , тобто коли він знаходиться в крайньому правому положенні. Потім два блоки злипаються і продовжують рухатися як один.

Яка кількість/кількості зберігаються під час зіткнення?
Визначте частоту руху двох блоків після зіткнення.
Визначте амплітуду руху двох блоків після зіткнення.

8.5

Припустимо, ви опинилися на невідомій планеті, не маючи нічого, крім фізичного маятника і секундоміра. Ви визначили властивості маятника назад на Землі, і знайшли $m = 2.0 kg, h = 0.50 m$ і $I = 3.0 kg \cdot m^2$ . Не маючи нічого кращого робити, ви вимірюєте час, який займає ваш маятник, щоб завершити 50 циклів, і виявляєте, що цей час дорівнює $170 s$ . Використовуйте цю інформацію, щоб обчислити значення прискорення гравітації $g$ на вашому новому домашньому світі.

8.6

Для затухаючого гармонічного осцилятора, керованого синусоїдальною силою (як у рівнянні 8.3.1), знайдіть середню потужність, розсіяну за (рушійний) період. Підказка: використовувати $P = F \cdot v$ .

8.7

Розглянемо систему з двох зв'язаних гармонійних осциляторів, де один (з масою $2m$ і постійною пружини $2k$ ) підвішений до стелі, а інший (з постійною масою $m$ і пружини $k$ ) підвішений до першого, як показано на малюнку.

Знайдіть рівняння руху цієї системи зв'язаних осциляторів і запишіть його в матричному вигляді. Для кожної маси використовуйте координати, в яких нуль знаходиться в положенні рівноваги.
Знайдіть частоти нормальних режимів цієї зв'язаної системи.