8.3: Керований гармонічний осцилятор

Маса на пружині, зміщена з положення рівноваги, коливатиметься про цю рівновагу протягом усього часу, якщо вона не затухає, або розслабиться до цієї рівноваги при затуханні. Його амплітуда буде залишатися постійною в першому випадку, а в другому - монотонно зменшуватися. Однак якщо давати масі періодичний невеликий поштовх в потрібний момент її коливального циклу, то її амплітуда може збільшуватися, а то і розходитися. Щоб побачити, як це працює, ми вивчаємо керований генератор, де ми застосовуємо періодичну рушійну силу

\[F_{\mathrm{D}}(t)=F_{\mathrm{D}} \cos \left(\omega_{\mathrm{D}} t\right)=\frac{1}{2} F_{\mathrm{D}}\left(e^{i \omega_{\mathrm{D}} t}+e^{-i \omega_{\mathrm{D}} t}\right).\]

Додавши цю рушійну силу до рівняння руху 8.2.1 затухаючого гармонічного осцилятора, отримаємо:

\[\ddot{x}+2 \omega_{0} \zeta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m}\left(e^{i \omega_{\mathrm{D}} t}+e^{-i \omega_{\mathrm{D}} t}\right) \label{drivenharmosc}\]

Ми вже знаємо однорідне рішення Equation\ ref {drivenharmosc} - це просто затухаючий осцилятор знову, тому в залежності від значення\(\zeta\), ми отримуємо один з трьох можливих рішень попереднього розділу. Щоб знайти конкретне рішення, спочатку відзначимо, що ми можемо розділити термін водіння на дві частини - якщо у нас є конкретне рішення для кожної з коливальних експоненціальних, ми можемо просто додати їх. Крім того, ці експоненціальні самі по собі дуже схожі на недогащені рішення, тому вони можуть зробити хорошу здогадку для конкретного рішення. Тому для правого боку\(\left(F_{\mathrm{D}} / 2 m\right) e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}\) ми намагаємося\(x_{\mathrm{p}}=A e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}\). Підставивши це в Equation\ ref {drivenharmosc} відповідною правою стороною, отримуємо:

\[A\left(-\omega_{\mathrm{D}}^{2} \pm 2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}+\omega_{0}^{2}\right) e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m} e^{ \pm i \omega_{\mathrm{D}} t}\]

тому ми знаходимо, що ми дійсно маємо рішення, якщо амплітуда задається

\[A\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m\left(\omega_{0}^{2} \pm 2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\]

Повний конкретний розв'язок Рівняння\ ref {drivenharmosc} задається

\[\begin{aligned} x_{\mathrm{p}}(t) &=\frac{F_{\mathrm{D}}}{2 m}\left[\frac{e^{i \omega_{\mathrm{D}} t}}{\omega_{0}^{2}+2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}}+\frac{e^{-i \omega_{\mathrm{D}} t}}{\omega_{0}^{2}-2 i \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}}\right] \\ &=\frac{F_{\mathrm{D}}}{m}\left[\frac{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right) \cos \left(\omega_{\mathrm{D}} t\right)+2 \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}} \sin \left(\omega_{\mathrm{D}} t\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)^{2}+4 \omega_{0}^{2} \zeta^{2} \omega_{\mathrm{D}}^{2}}\right] \\ &=\frac{F_{\mathrm{D}}}{m R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)} \cos \left(\omega_{\mathrm{D}} t-\phi\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\right) \end{aligned}\]

де коефіцієнт\(R(\omega_{\mathrm{D}})\) в амплітуді визначається

\[R^{2}\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)=\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)^{2}+4 \omega_{0}^{2} \zeta^{2} \omega_{\mathrm{D}}^{2}\]

і фазу\(\phi\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\) по\(\cos \phi=\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right) / R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right), \sin \phi=2 \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}} / R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\), так

\[\tan \left(\phi\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\right)=\frac{2 \omega_{0} \zeta \omega_{\mathrm{D}}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right)}\]

Резонанс, великий відгук гармонічного генератора на малу рушійну силу, виникає при\(x_{\mathrm{p}}(t)\) вибухах, або\(R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\) йде в нуль. Це не завжди відбувається, але\(R\left(\omega_{\mathrm{D}}\right)\) може досягти мінімуму, при якому амплітуда стає великою:

\[0=\frac{\mathrm{d} R^{2}}{\mathrm{d} \omega_{\mathrm{D}}}=-4\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{D}}^{2}\right) \omega_{\mathrm{D}}+8 \omega_{0}^{2} \zeta^{2} \omega_{\mathrm{D}}\]

який знаходиться на

\[\omega_{\mathrm{D}}^{2}=\omega_{0}^{2}-2 \omega_{0}^{2} \zeta^{2}\]

або\(\omega_{\mathrm{D}} \simeq \omega_{0}\) якщо коефіцієнт\(\zeta\) загасання невеликий. Зверніть увагу, що в цьому ж межі (малому\(\zeta\)) ми знаходимо, що коли\(\omega_{\mathrm{D}} \simeq \omega_{0}\)\(\tan \phi \rightarrow \infty\), так\(\phi \rightarrow \pi / 2\). Тому в цьому випадку водіння відбувається поза фазою з реакцією, тобто ви сильніше натискаєте, коли маса знаходиться в точці максимальної швидкості, збільшуючи цю швидкість ще більше і призводить до збільшення амплітуди. На практиці це те, що роблять діти, коли сидять на гойдалках: вони відкидають ноги, коли проходять через найнижчу точку (максимальну швидкість), рухаючись назад, і кидають ноги вперед в тій же точці, коли рухаються вперед, збільшуючи швидкість і, таким чином, амплітуду.