8.1: Коливальний рух

Гармонічний осцилятор

Ми вже стикалися з двома прикладами коливального руху - обертальним рухом глави 5, і системою маси на пружині в розділі 2.3 (див. Рис. Останній є квінтесенціальним генератором фізики, відомим як гармонічний осцилятор. Коротко повторюючи, ми отримуємо його рівняння руху, враховуючи масу$m$, яку тягне безмасова ідеальна пружина постійної пружини$k$. Прирівнявши отриману силу пружини (закон Гука) до чистої сили в другому законі руху Ньютона, отримаємо:

$$m \ddot{x}=-k x \label{hookes}$$

Гармонічний генератор характеризується своєю власною частотою$\omega _0$:

$$\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

як слід легко розмірними аргументами (або, звичайно, шляхом вирішення диференціального рівняння). Оскільки Equation\ ref {hookes} є другим порядком, його рішення має дві невідомі; крім того, оскільки воно має бути мінусом власної похідної, ми легко бачимо, що це має бути лінійна комбінація синусів і косинусів (для формального похідного див. Додаток A.3.2). Ми можемо написати рішення двома різними способами:

$$\begin{align} x(t) &=x(0) \cos \left(\omega_{0} t\right)+\frac{v(0)}{\omega_{0}} \sin \left(\omega_{0} t\right) \\ &=A \cos \left(\omega_{0} t+\phi\right) \end{align}$$

де фаза$\phi$ задана$\tan \phi=-\frac{1}{\omega} \frac{v(0)}{x(0)}$ і амплітуда$A$ по$A=\frac{x(0)}{\cos \phi}$. Не дивно, оскільки вони обидва прості періодичні рухи, існує пряма залежність між гармонічним осцилятором з власною частотою та точкою на диску$\omega _0$, що обертається з рівномірною кутовою швидкістю$\omega _0$ в xy-площині - рух гармонічного осцилятора - це рух диска, що проектується на осі x (або y).

крутильний осцилятор

Торсіонний генератор є обертальним аналогом гармонічного генератора - уявіть диск з моментом інерції,$I$ підвішений безмасовим мотузком без тертя, який має постійну кручення$\kappa$, тобто сила крутити мотузку задається$F=-\kappa \theta$, з$\theta$ кутом закручування. Викликаючи обертальний аналог другого закону руху Ньютона, Рівняння 5.4.1, ми легко знаходимо для рівняння руху крутильного генератора:

$$I \ddot{\theta}=-\kappa \theta$$

так що крутильний генератор дійсно є точним обертальним аналогом гармонічного генератора, і має власну частоту$\omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}$

Крістіан Гюйгенс

Крістіан Гюйгенс (1629-1695) був голландським фізиком і астрономом, і однією з головних фігур наукової революції. Гюйгенс винайшов маятникові годинник в 1656 році, які зробили революцію в хронометражі і залишалися найбільш точними годинами протягом 300 років. Гюйгенс також першим кинув закони фізики в математичній формі, записавши ранню (квадратичну) версію другого закону руху Ньютона, рівняння доцентрової сили (ур. 5.2.1) та правильну форму законів пружних зіткнень (розділ 4.7). Спостерігаючи два маятникових годинника на одній стіні, Гюйгенс зауважив, що вони синхронізуються (див. Розділ 8.4). Вивчення Гюйгенса оптики змусило його сформулювати хвильову теорію світла, яка може правильно передбачати дифракцію світла. В астрономії він виявив першу особливість на поверхні Марса, найбільшу Місяць Сатурна (Титану), і що раніше спостережувані «зміни форми» Сатурна були обумовлені наявністю його кілець. Зонд Гюйгенса, який приземлився на Титані в 2005 році, був дуже доречно названий на його честь.

Ілюстрація$\PageIndex{1}$: 1671 портрет Гюйгенса Каспара Нетшера [23].

Маятник

Маятник - це об'єкт, який підвішений на горизонтальному кілочку через будь-яку точку,$x_{\mathrm{P}}$ крім центру маси$x_{\mathrm{CM}}$ (він не буде коливатися, якщо ви закріплюєте його в центрі маси). Якщо центр маси маятника витягнути убік, гравітація буде надавати крутний момент навколо положення кілочка, відтягуючи маятник назад вниз. Якщо відстань між$x_{\mathrm{P}}$ і$x_{\mathrm{CM}}$ є$L$, а лінія, що з'єднує їх, робить кут$\theta$ з вертикальним наскрізним$x_{\mathrm{P}}$, то крутний момент, що чиниться гравітацією навколо$x_{\mathrm{P}}$ дорівнює$-m g L \sin \theta$, де як зазвичай m - маса маятника. Тепер знову викликаючи Рівняння 5.4.1, можемо записати для рівняння руху маятника (з I моментом його інерції близько$x_{\mathrm{P}}$):

$$I \ddot{\theta}=-m g L \sin \theta \label{pendulum}$$

На жаль, ми не можемо вирішити рівняння\ ref {маятник}. Однак для малих кутів ми можемо Тейлор-розширити синус і записати$\sin \theta \approx \theta$, що повертає нас до рівняння гармонічного осцилятора. З цього ми знаходимо, що для цього маятника (званого фізичним маятником) власна частота є$\omega_{0}=\sqrt{\frac{m g L }{I}}$. Для особливого випадку, що маятник складається з маси,$m$ підвішеної на безмасової мотузці довжини$L$ (простий маятник), ми маємо$I = mL^2$ і таким чином$\omega _0 = \sqrt{g}{L}$.

Коливання в потенційному енергетичному ландшафті

Потенційна енергія, пов'язана з масою на пружині, має дуже простий вигляд:$U_{\mathrm{s}}(x)=\frac{1}{2} k x^{2}$ (див. Рівняння 3.3.7). Таким чином, потенційний енергетичний ландшафт гармонічного осцилятора має форму параболи. Тепер це форма, з якою ми стикаємося дуже часто: форма майже кожного пейзажу приблизно мінімально нагадує параболу ¹. Щоб зрозуміти, чому це так, просто Тейлор-розширити потенційну енергію приблизно на мінімум$x_0$: тому що функція має мінімум на$x_{0}, U^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, а розширення Тейлора дає

$$U(x)=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) x^{2}+\mathscr{O}\left(x^{3}\right) \label{poteland}$$

Навколо мінімуму в потенційній енергії, будь-яка потенційна енергія, таким чином, нагадує гармонічний осцилятор. Будь-яка частинка, розміщена в такому потенційному енергетичному ландшафті, близькому до мінімуму (тобто частка, на яку сила діє близько до точки, де сила зникає), отже, має тенденцію коливатися. Порівнюючи Equation\ ref {poteland} з потенційною енергією гармонічного осцилятора, ми можемо одразу прочитати, що результуючий коливальний рух ідентичний коливальному руху гармонічного осцилятора з постійною пружини$k=U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)$. Частка, що виділяється, близька до мінімуму потенційної енергії, таким чином, коливається з частотою$\omega=\sqrt{U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) / m}$.

¹ Єдиним винятком є функції форми$x^{2n}$ для n > 1.