8.2: Затухаючий гармонічний осцилятор

Малюнок$\PageIndex{1}$: Позиція як функція часу для чотирьох типів коливань: негасне ($\zeta = 0$, синє), недогашене ($0 < \zeta < 1$, помаранчеве), критично затухаюче ($\zeta = 1$, зелене) і перегашене ($\zeta > 1$, червоне). У всіх випадках початковими умовами є$x(0) = 1$ і$v(0) = 0$.

Поки ми не враховували демпфування наших гармонійних осциляторів, що, звичайно, не дуже реалістично. Основне джерело гасіння маси на пружині обумовлено перетягуванням маси при її переміщенні по повітрю (або будь-якої рідини, або газу, або рідини). Для відносно низьких швидкостей зусилля перетягування в масштабі об'єкта лінійно зі швидкістю об'єкта, як показано законом Стокса (Рівняння 2.2.5). Для об'єкта довільної форми, що рухається через довільну рідину$F_{\mathrm{drag}}=-\gamma \dot{x}$, ми напишемо, з$\gamma$ коефіцієнтом опору, і, звичайно, протилежним напрямку руху. Додавання цього до сили пружини дає рівняння руху затухаючого гармонічного осцилятора:

$$m \ddot{x}=-\gamma \dot{x}-k x \label{dampedharmosc}$$

Тепер у нас є два числа, які визначають рух: незагашену частоту$\omega_{0}=\sqrt{k / m}$ і коефіцієнт загасання$\zeta=\gamma / 2 \sqrt{m k}$. З точки зору цих параметрів ми можемо переписати Equation\ ref {dampedharmosc} як:

$$\ddot{x}+2 \zeta \omega_{0} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 \label{rewritten}$$

Рішення рівняння\ ref {rewrited} сильно залежить від значення$\zeta$, див. Рис. Ми можемо знайти його ², підставивши Ансац$x(t)=e^{\lambda t}$, який дає характеристичне рівняння для$\lambda$:

$$\lambda^{2}+2 \zeta \omega_{0} \lambda+\omega_{0}^{2}=0$$

тому

$$\lambda=-\zeta \omega_{0} \pm \omega_{0} \sqrt{\zeta^{2}-1} \label{lambda}$$

Для$\zeta < 1$, існує два складних рішення для$\lambda$, і ми знаходимо, що$x(t)$ зазнає коливання з експоненціально зменшується амплітудою:

$$x(t)=e^{-\zeta \omega_{0} t}\left[A \cos \left(\omega_{d} t\right)+B \sin \left(\omega_{d} t\right)\right]$$

де$\omega_{d}=\omega_{0} \sqrt{1-\zeta^{2}}$ і А і В випливають з початкових умов. Оскільки все ще існує коливання, цей тип руху називається недогашеним. На відміну від цього, якщо$\zeta > 1$, коріння$\lambda_{ \pm}$ в Equation\ ref {lambda} є дійсними, і ми отримуємо якісно іншу, перегашену поведінку, в якій x повертається до 0 з експоненціальним розпадом без будь-яких коливань:

$$x(t)=A e^{\lambda_{+} t}+B e^{\lambda_{-} t}=e^{-\zeta \omega_{0} t}\left[A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right]$$

де$\Omega=\omega_{0} \sqrt{\zeta^{2}-1}$. Природно граничний випадок - це коли$\zeta = 1$, який є критично затухаючим осцилятором - найшвидший повернення до 0 без коливань. Оскільки в цьому випадку Equation\ ref {lambda} має тільки один корінь, ми знову отримуємо якісно інше рішення:

$$x(t)=(A+B t) e^{-\omega_{0} t}$$

Три різні випадки і незгасане коливання показані на малюнку 8.2.1.

² Див. Додаток A.3.2 для математичних подробиць про те, як розв'язувати загальні рівняння цього типу.