8.2: Затухаючий гармонічний осцилятор

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74436

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Позиція як функція часу для чотирьох типів коливань: негасне (\(\zeta = 0\), синє), недогашене (\(0 < \zeta < 1\), помаранчеве), критично затухаюче (\(\zeta = 1\), зелене) і перегашене (\(\zeta > 1\), червоне). У всіх випадках початковими умовами є\(x(0) = 1\) і\(v(0) = 0\).

Поки ми не враховували демпфування наших гармонійних осциляторів, що, звичайно, не дуже реалістично. Основне джерело гасіння маси на пружині обумовлено перетягуванням маси при її переміщенні по повітрю (або будь-якої рідини, або газу, або рідини). Для відносно низьких швидкостей зусилля перетягування в масштабі об'єкта лінійно зі швидкістю об'єкта, як показано законом Стокса (Рівняння 2.2.5). Для об'єкта довільної форми, що рухається через довільну рідину\(F_{\mathrm{drag}}=-\gamma \dot{x}\), ми напишемо, з\(\gamma\) коефіцієнтом опору, і, звичайно, протилежним напрямку руху. Додавання цього до сили пружини дає рівняння руху затухаючого гармонічного осцилятора:

\[m \ddot{x}=-\gamma \dot{x}-k x \label{dampedharmosc}\]

Тепер у нас є два числа, які визначають рух: незагашену частоту\(\omega_{0}=\sqrt{k / m}\) і коефіцієнт загасання\(\zeta=\gamma / 2 \sqrt{m k}\). З точки зору цих параметрів ми можемо переписати Equation\ ref {dampedharmosc} як:

\[\ddot{x}+2 \zeta \omega_{0} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 \label{rewritten}\]

Рішення рівняння\ ref {rewrited} сильно залежить від значення\(\zeta\), див. Рис. Ми можемо знайти його ², підставивши Ансац\(x(t)=e^{\lambda t}\), який дає характеристичне рівняння для\(\lambda\):

\[\lambda^{2}+2 \zeta \omega_{0} \lambda+\omega_{0}^{2}=0\]

тому

\[\lambda=-\zeta \omega_{0} \pm \omega_{0} \sqrt{\zeta^{2}-1} \label{lambda}\]

Для\(\zeta < 1\), існує два складних рішення для\(\lambda\), і ми знаходимо, що\(x(t)\) зазнає коливання з експоненціально зменшується амплітудою:

\[x(t)=e^{-\zeta \omega_{0} t}\left[A \cos \left(\omega_{d} t\right)+B \sin \left(\omega_{d} t\right)\right]\]

де\(\omega_{d}=\omega_{0} \sqrt{1-\zeta^{2}}\) і А і В випливають з початкових умов. Оскільки все ще існує коливання, цей тип руху називається недогашеним. На відміну від цього, якщо\(\zeta > 1\), коріння\(\lambda_{ \pm}\) в Equation\ ref {lambda} є дійсними, і ми отримуємо якісно іншу, перегашену поведінку, в якій x повертається до 0 з експоненціальним розпадом без будь-яких коливань:

\[x(t)=A e^{\lambda_{+} t}+B e^{\lambda_{-} t}=e^{-\zeta \omega_{0} t}\left[A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right]\]

де\(\Omega=\omega_{0} \sqrt{\zeta^{2}-1}\). Природно граничний випадок - це коли\(\zeta = 1\), який є критично затухаючим осцилятором - найшвидший повернення до 0 без коливань. Оскільки в цьому випадку Equation\ ref {lambda} має тільки один корінь, ми знову отримуємо якісно інше рішення:

\[x(t)=(A+B t) e^{-\omega_{0} t}\]

Три різні випадки і незгасане коливання показані на малюнку 8.2.1.

² Див. Додаток A.3.2 для математичних подробиць про те, як розв'язувати загальні рівняння цього типу.