4.E: Імпульс (вправи)

4.1 Небесні центри мас Ми говоримо, що Місяць обертається навколо Землі, тому що сила тяжіння Землі тягне на Місяць, викликаючи її на орбіту. Однак за третім законом Ньютона Місяць надає силу назад на Землю. Тому Земля повинна рухатися у відповідь на Місяць. Таким чином, більш точним твердженням буде те, що Місяць і Земля обидва орбіти центру мас системи Земля-Місяць. Корисні значення:$M_E =5.97 \cdot 10^{24} kg, R_E =6.37 \cdot 10^6 m, R_{E, orbit} = 1.50 \cdot 10^{11} m, M_M = 7.35 \cdot 10^{22} kg, R_M = 1.74 \cdot 10^6 m, R_{M, orbit} = 3.84 \cdot 10^{8} m, M_S=1.99 \cdot 10^{30} kg, R_S =6.96 \cdot 10^8 m$

1. Знайти центр мас системи Земля-Місяць (у відповідним чином обраній і чітко визначеній системі координат). Чи лежить цей центр маси всередині Землі?
2. Знайдіть місце розташування центру мас системи Земля-Місяця-Сонце під час повного місяця.
3. Знайдіть місце розташування центру мас системи Земля-Місяця-Сонце, коли Місяць знаходиться в першій чверті.

4.2 Снаряд стріляють з початковою швидкістю 20 м/с, під кутом$60^\circ$ з горизонтальним. У верхній частині траєкторії снаряд вибухає на два фрагменти однакової маси. Один фрагмент, швидкість якого відразу після вибуху дорівнює нулю, опускається на землю вертикально. Як далеко від гармати приземляється інший фрагмент (припускаючи відсутність опору повітря і рівній місцевості)?

4.3 Два гарматних ядра з масами$m_1$ і$m_2$ одночасно стріляють з двох гармат, розташованих на відстані L один від одного.

1. Знайдіть рівняння руху для горизонтальної та вертикальної складових вектора, що описує центр мас гарматних ядер.
2. Покажіть, що рух центру мас - це парабола через простір.

4.4 Центр маси деяких твердих предметів

1. Знайти центр маси рівнобедреного трикутника з базовою шириною w і висотою h (див. Рис.
2. Знайдіть центр маси п'ятикутника з п'ятьма рівними сторонами довжини a, але з відсутнім одним трикутником (див. Рис. Підказка: використовуйте результат з (a).
3. Знайти положення центру мас напівциліндра (половина твердого циліндра, тобто суцільного циліндра, нарізаного навпіл уздовж площини, що містить його вісь симетрії). Підказка: спочатку обчислити центр маси половини твердого диска.

4.5 Собака (чорна крапка на ескізі нижче) масою m стоїть в кінці човна масою M і довжиною L на початковій відстані D від берега. Потім собака йде на інший кінець човна і зупиняється там. Припускаючи ніякого тертя між човном і водою, як далеко собака тоді від берега? (Підказка: Що консервовано?).

4.6 [Для необов'язкового розділу 4.4] Кожне очко тенісного матчу зіграє з одним із гравців. Найбільш часто використовуваний сервіс передбачає, що гравець підкидає м'яч в повітря і б'є його ракеткою. Щоб м'яч рухався якомога швидше, гравці зазвичай розмахують ракетку, щоб надати йому великий імпульс, і доставити максимальний імпульс м'ячу.

Малюнок 4.E.1 показує Серена Вільямс служить під час чемпіонатів Вімблдону 2008. Вільямс широко розглядається як одна з кращих жінок-тенісисток і тримає рекорд більшості тузів (забивши очко з подачі без супротивника торкаючись м'яча) жінка-гравець на турнірі Великого шолома.

Вільямс зріст 175 см. Як видно на малюнку, у верхній частині його траєкторії м'яч приблизно вдвічі перевищує висоту Вільямса над землею. Крім того, оскільки розмах рук людей приблизно такий же, як і їх зріст, а плечі дорослої людини знаходяться приблизно на 5/6 їх зросту, ми можемо оцінити руки Вільямса довжиною близько 75 см, а її плечі - на 145 см над землею. Відстань між точкою, де гравець тримає ракетку і де вони вдарили м'яч, зазвичай становить близько 40 см.

Ілюстрація$\PageIndex{1}$: Серена Вільямс виступає на чемпіонаті Вімблдону 2008 року [18]

1. Знайдіть швидкість спускається м'яча в той момент, коли Вільямс вдарить по ньому, припускаючи, що вона б'є по ньому повністю витягнутою вгору рукою.
2. Особистий рекорд Вільямса по швидкості подачі (швидкість м'яча після того, як він потрапив ракеткою) - 207 км/год Визначте імпульс, який вона доставляла ракеткою на 58,0 г тенісного м'яча, коли вона вдарила по ньому.
3. Припускаючи типовий вага ракетки 360 г, обчисліть зміну швидкості ракетки від безпосередньо до відразу після того, як Вільямс вдарив по м'ячу.
4. Обчисліть величину сили на руці Вільямса в той момент, коли вона вдарить ракеткою по м'ячу.

4,7 Куля 2,75 г вбудовується в блок 1,50 кг, який прикріплений до пружини сили постійної 850 Н/м Максимальне стиснення пружини становить 4,30 см.

1. Визначте початкову швидкість кулі.
2. Знайдіть час, який потрібен системі bulle-block, щоб прийти на відпочинок.

4.8 Лобове зіткнення між двома кульками Куля масою m має швидкість v, коли він здійснює лобове зіткнення з іншою кулькою маси M, яка спочатку знаходиться в стані спокою. Після зіткнення куля масою m відскакує прямо назад по своєму шляху з 2/3 своєї початкової кінетичної енергії. Ми припускаємо, що зіткнення абсолютно еластичне.

1. Намалюйте ситуацію до і після зіткнення, вказуючи напрямки швидкості, і значення (якщо відомі, дайте символи інакше).
2. Запишіть всі застосовні закони збереження для цього випадку.
3. З законів збереження вирішуйте для маси М кулі, який спочатку знаходиться в стані спокою.
4. Також вирішуйте для швидкості цієї кулі після зіткнення.

4.9 Маленька куля масою m вирівнюється над більшою кулькою маси М з невеликим відривом, і два скидаються одночасно з висоти h Припустимо, радіуси двох куль і початкове поділ незначні в порівнянні з h.

1. Якщо більший м'яч пружно відскакує від підлоги, а потім маленький м'яч пружно відскакує від більшого м'яча, яке значення m (як частка M) призводить до того, що більший куля зупиняється, коли він стикається з маленьким м'ячем?
2. Якої висоти тоді досягає маленька куля?