3.3: Розширені системи та центр мас

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74607

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо колекцію частинок з масами\(m_1\)\(m_2\),,,..., і розташовані, в певний момент, в позиціях\(x_1\),\(x_2\)... (Ми поки що розглядаємо лише рух в одному вимірі, але всі ці результати легко узагальнюються до трьох вимірів.) Центр мас такої системи - математична точка, координата положення якої задається

\[ x_{c m}=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots}{m_{1}+m_{2}+\ldots} \label{eq:3.8} .\]

Зрозуміло, що знаменник (\ ref {eq:3.8}) - це всього лише загальна маса системи, яку ми можемо просто позначити\(M\). Якщо всі частинки мають однакову масу, центр маси буде якось «посередині» всіх з них; інакше він буде, як правило, ближче до більш масивних частинок (частинок). Розглянуті «частинки» можуть бути рознесені окремо, або вони можуть буквально бути «частинами», на які ми вирішили розділити, для обчислювальних цілей, один розширений об'єкт.

Якщо частинки знаходяться в русі, положення центру мас\(x_{cm}\), в цілому зміниться з часом. Для твердого предмета, де всі частини рухаються разом, зміщення центру мас буде просто таким же, як і зміщення будь-якої частини предмета. У самому загальному випадку ми будемо мати (віднімаючи\(x_{cmi}\) з\(x_{cmf}\))

\[ \Delta x_{c m}=\frac{1}{M}\left(m_{1} \Delta x_{1}+m_{2} \Delta x_{2}+\ldots\right) \label{eq:3.9} .\]

Розділивши рівняння (\ ref {eq:3.9}) на\(\Delta t\) і взявши межу як\(\Delta t \rightarrow 0\), отримаємо миттєву швидкість центру мас:

\[ v_{c m}=\frac{1}{M}\left(m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}+\ldots\right) \label{eq:3.10} .\]

Але це просто

\[ v_{c m}=\frac{p_{s y s}}{M} \label{eq:3.11} .\]

де\(p_{sys} = m_1v_1 + m_2v_2 + \ldots\) - сумарний імпульс системи.

Центр руху маси для ізольованої системи

Рівняння (\ ref {eq:3.11}) є дуже цікавим результатом. Оскільки сумарний імпульс ізольованої системи постійний, він говорить нам про те, що центр мас ізольованої системи частинок рухається з постійною швидкістю незалежно від відносного руху самих частинок або їх можливих взаємодій один з одним. Як зазначено вище, це узагальнюється прямо до більш ніж одного виміру, тому ми можемо писати\(\vec v_{cm} = \vec p_{sys}/M\). Таким чином, можна сказати, що для ізольованої системи в просторі не тільки швидкість, але і напрямок руху її центру мас не змінюється з часом.

Очевидно, що цей результат є своєрідним узагальненням закону інерції. Для твердого витягнутого об'єкта він, по суті, надає нам точну форму, яку повинен приймати закон інерції: при відсутності зовнішніх сил центр мас буде просто рухатися по прямій з постійною швидкістю, тоді як сам об'єкт може рухатися будь-яким способом, що не впливає траєкторія центру маси. Зокрема, найбільш загальним рухом ізольованого твердого тіла є прямий рух його центру маси з постійною швидкістю, поєднане з можливим обертанням об'єкта в цілому навколо центру маси.

Для системи, яка складається з окремих частин, з іншого боку, центр маси, як правило, просто точка в просторі, яка може або не може збігатися в будь-який час з положенням будь-якої з частин, але яка, тим не менш, буде рухатися з постійною швидкістю до тих пір, поки система ізольована. Це ілюструється малюнком\(\PageIndex{1}\), де криві положення проти часу були намальовані для об'єктів зіткнення на малюнку 3.1.1. Я припустив, що об'єкт 1 починається з\(x_{1i}\) = −5 мм при\(t\) = 0, а об'єкт 2 починається з\(x_{2i}\) = 0 при\(t\) = 0. Оскільки об'єкт 2 має вдвічі більшу інерцію об'єкта 1, положення центру маси, задане рівнянням (\ ref {eq:3.8}), завжди буде

\[ x_{c m}=x_{1} / 3+2 x_{2} / 3 \nonumber \]

тобто центр маси завжди буде знаходитися між об'єктами 1 і 2, а його відстань від об'єкта 2 завжди буде половиною його відстані до об'єкта 1:

\ [\ почати {вирівняний}
&\ ліво|x_ {c м} -x_ {1}\ праворуч |=\ розрив {2} {3}\ ліво|x_ {1} -x_ {2}\ праворуч |\\
&\\ ліво|x_ {c м} -x_ {2}\ праворуч |=\ frac {1} {3}\ ліво|x_ {1} -x_ {2}\ праворуч |
\ кінець {вирівняний}\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\) показує, що цей простий рецепт призводить до руху з постійною швидкістю для центру маси (зелена пряма лінія), хоча\(t\) криві\(x\) -vs- самих двох об'єктів виглядають відносно складними. (Будь ласка, перевірте це! Візьміть лінійку до малюнка\(\PageIndex{1}\) і переконайтеся, що центр маси в кожну мить знаходиться там, де він повинен бути.)

Малюнок 3.1.1. Зелена лінія показує положення центру мас в залежності від часу.

Поняття центру мас дає нам важливий спосіб спростити опис руху потенційно складних систем. Ми будемо добре використовувати його в наступних розділах.

Дуже приємну демонстрацію руху центру мас при двотільних одновимірних зіткненнях можна знайти за адресою https://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_en.html (потрібно поставити галочку в полі «центр маси», щоб побачити його).

Віддача і ракетний рух

Як ми щойно бачили, ви не можете змінити рух свого центру маси, не покладаючись на якусь зовнішню силу, тобто якусь зовнішню підтримку. Це насправді те, що ви, можливо, відчули, коли відпочиваєте на дуже слизькій поверхні, і ви просто не можете «отримати зчеплення» з нею. Однак є один спосіб обійти цю проблему, яка, по суті, спирається на збереження самого імпульсу: якщо ви щось носите з собою, і можете викинути його від вас на високій швидкості, ви віддасте в результаті цього. Якщо ви можете продовжувати кидати речі, ви (зі своїм магазином ще некинутих речей) щоразу будете прискорюватися трохи більше. Це, по суті, принцип, що лежить в основі ракетного руху.

Математично розглянемо два об'єкти, мас\(m_1\) і\(m_2\), спочатку в спокої, тому їх загальний імпульс дорівнює нулю. Якщо маса 1 викидається від маси 2 зі швидкістю\(v_{1f}\), то, шляхом збереження імпульсу (завжди припускаючи, що система ізольована) ми повинні мати

\[ 0=m_{1} v_{1 f}+m_{2} v_{2 f} \label{eq:3.12} \]

і тому\(v_{2f} = −m_1v_{1f}/m_2\). Так ракета рухається вперед, постійно виганяючи масу (гарячий відпрацьований газ) назад з високою швидкістю. Відзначимо, що, навіть незважаючи на те, що обидва об'єкти рухаються, центр мас всієї системи немає (при відсутності будь-якої зовнішньої сили), про що говорилося вище.