3.E: Енергія (вправи)

3.1

1. Показати, що якщо ви ігноруєте перетягування, снаряд, випущений з початковою швидкістю\(v_0\) та кутом,\(\theta\) має діапазон R, заданий
2. Мішень знаходиться на відстані 1,5 км від гармати через плоске поле. Чи буде вражена мета, якщо кут стрільби є\(42^{\circ}\) і гарматне ядро буде стріляти з початковою швидкістю 121 м/с? (Гарматні ядра, як відомо, не відскакують).
3. Щоб збільшити дальність гармати, ви ставите її на вежу висоти\(h_0\). Знайти максимальну дальність в цьому випадку, як функцію кута стрільби і швидкості стрільби, припускаючи, що земля навколо все ще рівна.

3.2 Ви штовхаєте коробку масою m вгору на схил з кутом\(\theta\) і кінетичним коефіцієнтом тертя\(\mu\). Знайти мінімальну початкову швидкість v ви повинні дати коробці так, щоб вона досягала висоти h.

3.3 Рівномірна дошка довжиною L і масою M лежить біля кордону, яка розділяє дві області. У області 1 коефіцієнт кінетичного тертя між дошкою і поверхнею дорівнює\(\mu _1\), а в області 2 - коефіцієнт\(\mu _2\). Наша мета полягає в тому, щоб знайти мережеву роботу W, виконану тертям при витягуванні дошки безпосередньо з області 1 в область 2, за припущенням, що плата рухається з постійною швидкістю.

1. Припустимо, що в якийсь момент під час процесу правий край дошки знаходиться на відстані х від кордону, як показано на малюнку. Коли дошка знаходиться в такому положенні, яка величина сили тертя, що діє на дошку, припускаючи, що вона рухається вправо? Висловіть свою відповідь з точки зору всіх відповідних змінних (L, M, g, x\(\mu _1\), і\(\mu _2\)).
2. Як ми бачили в розділі 3.1, коли сила не є постійною, ви можете визначити роботу, інтегруючи силу над зміщенням,\(W= \int F(x) dx\). Інтегруйте свою відповідь з (a), щоб отримати мережеву роботу, яку потрібно зробити, щоб витягнути дошку з регіону 1 до регіону 2.

3.4 Уряд бажає отримати голоси від автовласників, збільшивши обмеження швидкості на шосе з 120 до 140 км/год, опозиція зазначає, що це одночасно небезпечніше і спричинить більше забруднення. Лобісти з автопрому кажуть уряду не хвилюватися: коефіцієнти опору автомобілів значно знизилися, а їх конструкція набагато солідніше, ніж в той час, коли було встановлено обмеження швидкості 120 км/год.

1. Припустимо, ліміт 120 км/год був встановлений з урахуванням Volkswagen Beetle (\({c_d}=0.48\)), а автомобіль лобіста має коефіцієнт опору 0,19. Чи потрібно новому автомобілю робити більшу чи меншу роботу для підтримки постійної швидкості 140 км/год, ніж Жуку на 120 км/год?
2. Яке співвідношення загальної кінетичної енергії, що виділяється при повному лобовому зіткненні (що призводить до негайного зупинки) між двома автомобілями як зі швидкістю 140 км/год, так і двома автомобілями зі швидкістю 120 км/год?
3. Уряд відхиляє заперечення опозиції щодо безпеки, заявляючи, що на шосе всі машини рухаються в одному напрямку (смуги протилежного напрямку добре розділені), тому якщо всі вони рухаються зі швидкістю 140 км/год, то це було б так само безпечно, як і всі зі швидкістю 120 км/год. ті все ще навколо) при 120 км/год вже є складним завданням, тому були б різниці в швидкості між новими та старими автомобілями. Уряд стверджує, що різниця в 20 км/год не матиме значення, оскільки очевидно, що навіть Жук може пережити зіткнення 20 км/год. Поясніть, чому їх аргумент недійсний.

3.5 Ядерний синтез, процес, який живить Сонце, відбувається, коли два атомні ядра низької маси зливаються разом, утворюючи більше ядро, виділяючи значну енергію. Злиття важко досягти, оскільки атомні ядра несуть позитивний електричний заряд, а їх електричне відштовхування ускладнює їх досить близько, щоб ядерна сила короткої дальності зв'язала їх в єдине ядро. На малюнку нижче показана потенційно-енергетична крива для злиття двох дейтронів (важких ядер водню, що складаються з протона і нейтрона). Енергія вимірюється в мільйоні електронвольт (\(MeV, 1 eV=1.6 \cdot 10^{-19} J\)), одиниці, яка зазвичай використовується в ядерній фізиці, а поділ - у фемтометрах (\(1 fm=10^{-15} m\)).

1. Знайдіть положення (и) (якщо є), при якому сила між двома дейтронами дорівнює нулю.
2. Знайти кінетичну енергію двох спочатку широко відокремлених дейтронів потрібно, щоб підійти досить близько, щоб злитися.
3. Енергія, доступна в синтезі, - це енергетична різниця між енергією широко відокремлених дейтронів і зв'язаних дейтронів після того, як вони «впали» у глибокий потенціал, добре показаний на малюнку. Про те, наскільки велика ця енергія?
4. Визначте, чи сила між двома дейтронами, які знаходяться на відстані 4 fm один від одного, є відразливою, привабливою або нульовою.

3.6 Голуб у польоті відчуває силу опору повітря через опір повітря, що дається приблизно\(F=bv^2\), де v - швидкість польоту, а b - постійна.

1. Які одиниці b?
2. Яка найбільша можлива швидкість голуба, якщо його максимальна вихідна потужність становить P?
3. На який коефіцієнт збільшується максимально можлива швидкість, якщо максимальна вихідна потужність подвоюється

3.7

1. Для якого значення (ів) параметрів\(\alpha, \beta, \text { and } \gamma\) є сила, що надається\[\boldsymbol{F}=\left(x^{3} y^{3}+\alpha z^{2}, \beta x^{4} y^{2}, \gamma x z\right)\] консервативним?
2. Знайдіть силу для потенційної енергії, яку дає\(U(x,y,z)=\frac{xy}{z}-\frac{xz}{y}\).

3.8 Точкова маса з'єднується з двома протилежними стінками двома пружинами, як показано на малюнку. Відстань між стінами - 2л. Ліва пружина має довжину спокою\(l_1=\frac{L}{2}\) та постійну пружину\(k_1=k\), права пружина має довжину спокою\(l_2=\frac{3L}{4}\) та постійну пружину\(k_2=3k\).

1. Визначте величину сили, що діє на точкову масу, якщо вона знаходиться на рівні x = 0.
2. Визначте положення рівноваги точкової маси.
3. Знайдіть потенційну енергію маси точки як функцію x. Використовуйте точку рівноваги з (b) як свою точку відліку.
4. Якщо точкову масу змістити на невелику відстань від її положення рівноваги, а потім звільнити, вона буде коливатися. Порівнюючи рівняння чистої сили на масі в цій системі з простим гармонічним осцилятором, визначають частоту цього коливання. (Ми повернемося до систем, що коливаються про мінімум потенційної енергії в розділі 8.1.4, не соромтеся взяти пік крадіжки вперед).

3.9 Блок масою m=3.50 кг ковзає від спокою на відстань d вниз по ухилу без тертя під кутом\(\theta=30.0^\circ\), де він впадає в пружину постійної пружини 450 Н/м Коли блок миттєво зупиняється, він стиснув пружину на 25,0 см.

1. Знайти д.
2. Яка відстань між першим контактом блок-пружина і точкою, в якій швидкість блоку найбільша?

3.10 Слайди для ігрових майданчиків часто мають ділянки різного нахилу: крутіші, щоб набрати швидкість, менш круті, щоб втратити швидкість, тому діти (і студенти) благополучно прибувають на дно. Вважаємо гірку з двома крутими ділянками (кутом\(\alpha\)) і двома менш крутими (кутом\(\beta\)). Кожна з секцій має ширину L. Слайд має коефіцієнт кінетичного тертя\(\mu\).

1. Діти починають у верхній частині слайда зі швидкістю нуля. Обчисліть швидкість малюка маси m в кінці першого крутого ділянки.
2. Тепер розрахуйте швидкість малюка в нижній частині всієї гірки.
3. Якщо L = 1,0 м,\(\alpha=30^\circ\) то знайти мінімальне значення must\(\beta\) have\(\mu=0.5\), щоб малюки вагою до 30 кг могли насолоджуватися гіркою (Підказка: яка мінімальна вимога для того, щоб гірка була функціональною)?
4. Заданий слайд має\(\alpha=30^\circ\)\(\beta=20^\circ\), і\(\mu=0.5\). Маленька дитина в 10 кг ковзає вниз, в той час як його двоюрідний брат 20 кг сидить внизу. Коли ковзний малюк доходить до кінця, двоє дітей стикаються, і разом ковзають далі по землі. Коефіцієнт кінетичного тертя з грунтом дорівнює 0,70. Як далеко двоє дітей ковзають, перш ніж вони прийдуть до повної зупинки?

3.11 У цій задачі розглянуто ангармонічний потенціал, заданий b

\[U(x)=\frac{a}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{b}{3}\left(x-x_{0}\right)^{3} \label{anharmonic}\]

де a, b, і\(x_0\) - позитивні константи.

1. Знайти розміри a, b, і\(x_0\).
2. Визначте, чи\(x \gt \gt x_0\) є сила на частинці в положенні привабливою або відштовхуючою (беручи початок за свою точку відліку).
3. Знайдіть точку (и) рівноваги (якщо є) цього потенціалу, і визначте їх стійкість.
4. Для b=0 потенціал, заданий у Рівнянні (3.24), стає гармонічним (тобто потенціалом гармонічного осцилятора), і в цьому випадку частинка, яка спочатку розташована в нерівноважній точці, буде коливатися. Чи існують початкові значення для x, для яких частка в цьому ангармонічному потенціалі коливатиметься? Якщо так, знайдіть їх і знайдіть приблизну частоту коливань; якщо ні, поясніть, чому ні. (NB: Оскільки проблема включає функцію поліномів третього порядку, вам може знадобитися вирішити проблему третього порядку. Коли це станеться, для вашої відповіді ви можете просто сказати: рішення х до задачі X).

3.12 Після того, як ви успішно закінчили свій курс механіки, ви вирішили запустити книгу на орбіту навколо Землі. Однак вчитель не переконаний, що він вам більше не потрібен і задає наступне питання: Яке співвідношення між кінетичною енергією і потенційною енергією книги на її орбіті?

Нехай m - маса книги,\(M_{\oplus} \text { and } R_{\oplus}\) маса і радіус Землі відповідно. Гравітаційна тяга на відстані r від центру задається законом гравітації Ньютона (Рівняння 2.2.3):

\[F_{\mathrm{g}}(r)=-G \frac{m M_{\oplus}}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}}\]

1. Знайти орбітальну швидкість v об'єкта на висоті h над поверхнею Землі.
2. Висловіть роботу, необхідну для отримання книги на висоті h.
3. Обчисліть співвідношення між кінетичною і потенційною енергією книги на її орбіті.
4. Що вимагає додаткової роботи, доставивши книгу на Міжнародну космічну станцію (на орбіті h=400 км) або надаючи їй ту ж швидкість, що і МКС?

3.13 Використовуючи мірні аргументи, у задачі 1.4 ми знайшли масштабування швидкості втечі (мінімальна початкова швидкість, яку повинен мати об'єкт, щоб уникнути гравітаційного тяги планети, місяця/іншого об'єкта, на якому він знаходиться повністю) з масою радіуса планети. Тут ми повторно виведемо результат, включаючи числовий коефіцієнт, який вимірні аргументи не можуть дати нам.

1. Вивести вираз гравітаційної потенційної енергії, Ug, об'єкта маси m за рахунок сили тяжіння,\(F_g\) заданої законом гравітації Ньютона (Рівняння 2.2.3)\[F_{\mathrm{g}}=-\frac{G m M}{r^{2}} \hat{r}\] Встановити значення константи інтеграції шляхом\({U_g} \rightarrow 0 \text { as } r \rightarrow \infty\)
2. Знайдіть швидкість втечі на поверхні планети масою M і радіусом R, прирівнюючи початкову кінетичну енергію вашого об'єкта (при запуску з поверхні планети) до загальної гравітаційної потенційної енергії, яку він має там.

3.14 Гарматне ядро вистрілюється вгору з поверхні Землі з достатньою швидкістю, щоб воно досягло Місяця. Знайдіть швидкість гарматного ядра, коли воно падає на поверхню Місяця, враховуючи гравітацію як Землі, так і Місяця. Таблиця В.3 містить необхідні астрономічні дані.

3.15 Сила жеребкування F (x) турецького лука як функція переміщення тятиви x (для x\ gt 0) приблизно задається квадрантом еліпса\[\left(\frac{F(x)}{F_{\max }}\right)^{2}+\left(\frac{x+d}{x}\right)^{2}=1\] У спокої тятива знаходиться на x = 0; коли витягнуто весь шлях назад, він знаходиться на x = -d.

1. Розрахуйте роботу, виконану цибулею при розгоні стріли масою m=37 г, для d=0,85 м, і F _max = 360 Н.
2. Припускаючи, що вся робота перетворена в кінетичну енергію стрілки, знайдіть максимальну відстань, на яку може літати стрілка.Підказка: якою змінною можна управляти при стрільбі? Максимізуйте відстань щодо цієї змінної.
3. Порівняйте результат (б) з діапазоном лука, який діє як простий (Hookean) пружини з тими ж значеннями F _max і d. скільки далі стріла постріл з турецького лука літати, ніж простий весняний лук?

3.16 Масивний циліндр з масою M і радіусом R з'єднаний зі стінкою пружиною в її центрі (див. Рис.) .Циліндр може котитися вперед-назад без ковзання.

1. Визначте загальну енергію системи, що складається з циліндра і пружини.
2. Диференціюйте енергію задачі (16а), щоб отримати рівняння руху циліндра і пружинної системи.
3. Знайдіть частоту коливань циліндра, порівнявши рівняння руху при (16b) з рівнянням простого гармонічного генератора (масово-пружинна система).

3.17 Маленька частинка (синя крапка) поміщається поверх центру напівсферичного кріплення льоду радіусом R (див. Малюнок). Він ковзає вниз по бічній частині кріплення з незначною початковою швидкістю. Припускаючи відсутність тертя між льодом і частинкою, знайдіть висоту, на якій частка втрачає контакт з льодом.

Підказка: Щоб вирішити цю проблему, спочатку намалюйте діаграму вільного тіла, і об'єднайте те, що ви знаєте про енергію і сили.

3.18 Витягування мембранних труб

(Потенційна) енергія циліндричної мембранної трубки довжиною L і радіусом R задається

\[\mathscr{E}_{\text { tube }}(R, L)=2 \pi R L\left(\frac{\kappa}{2} \frac{1}{R^{2}}+\sigma\right)\]

\(\kappa\)Ось модуль вигину мембрани і\(\sigma\) її поверхневий натяг.

1. Знайдіть розміри модуля вигину і поверхневого натягу.
2. Знайдіть сили, що діють на трубу по її радіальному і осьовому напрямку.
3. Мембранні трубки часто витягуються мембранними двигунами, що тягнуть уздовж осьового напрямку, як намальовано на малюнку 3.5. Для цього випадку ми додаємо роботу, виконану двигунами, до загальної енергії трубки, тому отримуємо:\[\mathscr{E}_{\text { tube }}(R, L)=2 \pi R L\left(\frac{\kappa}{2} \frac{1}{R^{2}}+\sigma\right)-F L\] Покажіть, що для стабільної трубки двигуни повинні надавати силу величини\(F=2 \pi \sqrt{2 \kappa \sigma}\)
4. Чи можна вважати силу (c) ефективною силою пружини? Якщо так, знайдіть пов'язану з нею постійну пружини. Якщо ні, поясніть, чому б і ні.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Мультфільм молекулярних двигунів разом стягуючи мембранну трубку.