3.3: Потенційна енергія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74537

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми вже стикалися з консервативними силами в розділі 3.1. Робота, виконана консервативною силою, є (за визначенням) незалежною від шляху; це означає, що, зокрема, робота, виконана при русі по будь-якому замкнутому шляху ², повинна дорівнювати нулю:

\[\oint{F \cdot \mathrm{d} r}=0 \label{fdr}\]

Для консервативної сили ми можемо таким чином визначити різницю потенціалів енергії між точками 1 і 2 як роботу, необхідну для переміщення об'єкта з точки 1 в точку 2:

\[\Delta U_{12}=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} F \cdot \mathrm{d} r\]

Зверніть увагу на знак мінус у визначенні - це вибір звичайно, і ви побачите нижче, чому ми зробили цей вибір. Відзначимо також, що потенційна енергія визначається тільки між двома точками. Часто ми виберемо зручну точку відліку і розрахуємо потенційну енергію в будь-якій іншій точці щодо цієї точки. Орієнтир, як правило, або походження, або нескінченність, якщо сила буває нульовою на будь-якому з них. Припустимо, ми встановили таку точку, і знаємо різницю потенційної енергії з цією точкою в будь-якій іншій точці простору - це визначає (скалярну) функцію\(U(r)\). Якщо ми зараз хочемо знати силу, що діє на частинку\(r\), все, що нам потрібно зробити, це взяти похідну\(U(r)\) - тобто градієнт у трьох вимірах (що спрощує звичайну похідну в одному вимірі):

\[F(r)=-\nabla U(r) \label{nablaur}\]

Рівняння\ ref {nablaur} надзвичайно корисне, оскільки дає нам засіб для обчислення сили, яка є векторною величиною, від функції потенційної енергії, яка є скалярною величиною - і тому набагато простіше в роботі. Наприклад, оскільки енергії є скалярами, їх можна просто додати, як ми зробимо в наступному розділі, тоді як для сил потрібно робити векторне додавання. Рівняння\ ref {nablaur} також відображає, що ми вільні вибирати точку відліку для потенційної енергії, так як сила не змінюється, якщо додати константу до потенційної енергії.

Гравітаційна потенційна енергія

Ми бачили в розділі 2.2.2, що для малих висот сила гравітації задається\(F_g=mg\), де g - вектор постійної величини\(g \approx 9.81 \frac{m}{s^2}\) і завжди вказує вниз. Тому гравітаційна сила не працює, коли ви рухаєтесь горизонтально, і якщо ви спочатку рухаєтесь вгору, а потім знову тією ж сумою вниз, вона також не робить жодної чистої роботи, оскільки два внески точно скасовуються. \(F_g\)тому є прикладом консервативної сили, і ми можемо визначити і обчислити гравітаційну потенційну енергію\(U_g\) між точкою на висоті 0 (наша контрольна точка) і одиницею на висоті h:

\[U_{\mathrm{g}}(h)=-\int_{z=0}^{z=h} m(-g) \mathrm{d} z=m g h\]

Відзначимо, що вибравши знак мінус у визначенні потенційної енергії, ми отримуємо тут позитивне значення енергії.

А як щодо більших відстаней, тобто закону тяжіння Ньютона, Рівняння 2.2.3? Ну, там відстані вимірюються радіально, тому будь-який рух, перпендикулярний радіальному напрямку, не має значення, і якщо ви рухаєтеся і назад знову, то чиста робота виконана нуль, так що за тими ж міркуваннями, як і раніше ми знову маємо консервативну силу. Ця сила зникає на нескінченності, тому має сенс встановити це як точку відліку - хоча зверніть увагу, що це зробить нашу потенційну енергію завжди негативною в цьому випадку:

\[U_{\mathrm{G}}(r)=-\frac{G M m}{r}\]

де r - відстань між\(m\) і\(M\), і\(M\) сидить біля початку. Звичайно, ми також можемо обчислити різницю гравітаційних потенціалів між двома відстанями\(r_1\) та\(r_2\) від\(M\):

\[\Delta U_{\mathrm{G}}\left(r_{1}, r_{2}\right)=G M m\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)\]

Еммі Нетер

Еммі Нетер (1882-1935) — німецький математик, який зробив ключовий внесок як у розвиток абстрактної алгебри, так і в ідеї теоретичної фізики. У фізиці вона виявила глибокий зв'язок між симетрією та законами збереження (тепер відома як теорема Нетера, розглянута багатьма як найважливіша теорема для розвитку сучасної фізики): для кожної безперервної симетрії системи існує збережена величина. Безперервна симетрія - це та, яка залишає систему інваріантною для довільно великого заданого перетворення; наприклад, обертання кола під будь-яким кутом. Застосування теореми Нетера включає збереження енергії (що відповідає інваріантності при перекладі часу, тобто не має значення, де ви встановите t = 0, розділ 3.4), збереження імпульсу (інваріантність при космічному перекладі, тобто не має значення, де ви ставите походження, розділ 4.2) і збереження моменту моменту (інваріантність при обертанні простору, тобто не має значення, в якому напрямку ви виберете свою вісь x, розділ 5.7). Подібні закони збереження зустрічаються в спеціальній та загальній теорії відносності, квантової механіки та квантової теорії поля. На жаль, навіть на початку 20 століття жінки все ще були виключені з більшості академічних посад. Тому Нетер спочатку працював безкоштовно в університеті Ерлангена, отримуючи оплачувану посаду в Геттінгені в 1915 на запрошення Гільберта і Кляйна, які обидва були переконані в якості її роботи. Її слава росла протягом 1910-х і 1920-х років, отримавши всесвітнє визнання. Через своє єврейське походження вона була звільнена з академічної посади нацистським урядом в 1933 році і переїхала до США, де померла через два роки у віці 53 років. Різні інститути і стипендіальні програми, в основному в Німеччині, зараз названі в її честь.

Весняна потенційна енергія

Як і гравітаційна сила, сила пружини Хукіана (Рівняння 2.2.1) також залежить тільки від зміщення, і за тими ж міркуваннями консервативна (зверніть увагу на закономірність?). Розрахувавши пов'язану з нею потенційну енергію прямолінійно, і взявши за точку відліку положення рівноваги пружини, знаходимо:

\[U_{\mathrm{s}}(x)=\frac{1}{2} k x^{2}\]

Знак мінуса в законі Гука дає нам позитивну енергію весняного потенціалу. Зверніть увагу, що x означає зміщення тут; оскільки ми розглядаємо лише одновимірні пружини, достатньо 1D-версії.

Загальні консервативні сили

У випадку з гравітаційною та пружинною силою було легко аргументувати, що вони повинні бути консервативними. Також легко помітити, що сила тертя не є консервативною: якщо ви йдете довшим шляхом, вам потрібно робити більше чистої роботи проти тертя, яку ви, крім того, ніколи не зможете відновити як механічну енергію. Для більш складних систем, особливо в трьох вимірах, може бути не так легко зрозуміти, чи є сила консервативна. На щастя, є легкий тест, який ви можете виконати: якщо завивка сили всюди дорівнює нулю, то це буде консервативна сила, або виражена математично:

\[\nabla \times F=0 \quad \Leftrightarrow \oint F \cdot \mathrm{d} r=0 \quad \Leftrightarrow \quad F=-\nabla U\]

Це просто показати, що якщо сила консервативна, її завиток повинен зникнути: консервативну силу можна записати як градієнт якоїсь скалярної функції U (x), і\(\nabla \times \nabla U(x) = 0\) для будь-якої функції\(U(x)\), як ви можете легко перевірити самі. Доказ навпаки складніший, і його можна знайти в передових підручниках з механіки.

² Інтегральний знак з колом у рівнянні (\ ref {fdr}) являє собою інтеграл над замкнутим шляхом.