3.5: Енергетичні ландшафти

У попередньому розділі ми довели, що загальна енергія зберігається. У розділі до цього ми розглянули потенційні енергії. Як правило, потенційна енергія є функцією вашого положення в просторі. Коли ми будуємо його як функцію просторових координат, ми отримуємо енергетичний ландшафт, вимірюючи кількість енергії на вертикальній осі. Звичайно, ми також можемо побудувати загальну енергію системи - і оскільки вона зберігається, вона скрізь однакова, і, таким чином, стає горизонтальною лінією або площиною. Оскільки кінетична енергія не може бути негативною, не допускається будь-яка точка, де потенційна енергія вища за загальну енергію: система не може досягти цієї точки. Коли потенційна енергія дорівнює загальній енергії, кінетична енергія (і, отже, швидкість) повинна бути нульовою. Всякий раз, коли потенційна енергія нижча за загальну енергію, існує позитивна кінетична енергія і, отже, позитивна швидкість.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Приклад потенційного енергетичного ландшафту. На цьому малюнку загальна енергія буде представлена горизонтальною лінією; кінетична енергія - відстанню між потенційною та загальною енергією. Точки рівноваги (точки) виникають при екстремумах потенційної енергії, коли її похідна (сила) дорівнює нулю. Зелені точки вказують на нестабільні точки рівноваги (максимуми, де друга похідна від'ємна), помаранчеві точки метастабільних рівноваг (локальні мінімуми) і червоні точки - єдине глобально стабільне рівновагу цієї системи.

Напевно, найпростіший енергетичний ландшафт - це гармонічний осцилятор (маса на пружині) - це проста парабола. Точка, в якій горизонтальна лінія, що представляє загальну енергію, перетинає параболу, відповідає крайності коливання: це її поворотні точки. Дно параболи - це її середина, і відразу видно, що саме там кінетична енергія (а значить і швидкість) буде найвищою.

Звичайно, ви можете мати більш складні енергетичні ландшафти, ніж це. Зокрема, ви можете мати ландшафт з декількома екстремами, див. Наприклад, Рисунок$\PageIndex{1}$ Частка, на яку діють сили, описані цією потенційною енергією, слідує траєкторії в цьому ландшафті, яку можна візуалізувати як куля, що перекидається по пагорбах і долинам ландшафту. Згадайте приклад гармонійного осцилятора. Якщо ми відпустимо кульку в параболічну вазу в якийсь момент на схилі, куля скотиться вниз і набере швидкість, потім скочується протилежним нахилом і втрачає швидкість, поки не досягне тієї ж висоти, де його швидкість знову буде дорівнює нулю. Те ж саме справедливо і в більш складних пейзажах. Особливо цікаві місцеві максимуми. Якщо покласти кульку рівно поверх одного з них, він залишиться там - це нерухома точка, але нестійка, так як будь-яке довільно невелике збурень буде штовхати його вниз. Якщо ви відпускаєте м'яч на рівні вище локального максимуму, він може перестрибнути його до наступного мінімуму, але якщо ваша початкова позиція (ваша початкова енергія) була занадто низькою, ваш м'яч може застрягти коливанням про локальний мінімум - метастабільна точка.

Енергетичні ландшафти навіть корисні, коли загальна енергія не зберігається - наприклад, через тертя тертя. Тертя змушує енергію розсіюватися з системи, що еквівалентно тому, що ваш м'яч рухається в ландшафті з тертям. Для низького тертя, ваш м'яч буде коливатися, але стає менш високим кожен раз, поки він не прийде відпочити на мінімумі. Для високого тертя він навіть не коливається, а просто добереться до мінімуму - саме те, що робить надмірно затухла система в реальному житті.

Приклад$\PageIndex{1}$: Worked example: the Lennard-Jones Potential

Потенційна енергія Леннарда-Джонса - це широко використовувана модель для опису взаємодій між незарядженими атомами та молекулами. Цю потенційну енергію можна записати двома еквівалентними способами:

$$U_{\mathrm{LJ}}(r)=\frac{A}{r^{12}}-\frac{B}{r^{6}}=4 \varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right] \nonumber$$

де$r$ - відстань між атомами або молекулами, а A, B$\varepsilon$, і$\sigma$ є позитивними константами.

1. Знайдіть розміри A, B$\varepsilon$, і$\sigma$.
2. Експрес$\varepsilon$ і$\sigma$ в А і В.
3. Намалюйте потенціал (у другій його формі) як функцію$\frac{r}{\sigma}$, і використовуйте цей ескіз, щоб дати фізичну інтерпретацію$\varepsilon$ і$\sigma$.
4. Чи призводить потенціал Леннарда-Джонса до привабливих або відштовхуючих сил на невеликих відстанях? А як щодо далеких відстаней?
5. Знайдіть всі точки рівноваги цієї потенційної енергії, і визначте їх стійкість.

Рішення

Малюнок$\PageIndex{2}$: Ескіз потенційної енергії Леннарда-Джонса.

1. $$\begin{array}{l}{[U]=\text { Energy } \Longrightarrow[U]=M \times \frac{L}{T^{2}} \times L=\frac{M L^{2}}{T^{2}}} \\ {[A]=\text { Energy } \times \text { Length }^{12} \Longrightarrow[A]=\frac{M L^{2}}{T^{2}}} \\ {[B]=\text { Energy } \times \text { Length }^{6} \Longrightarrow[A]=\frac{M L^{8}}{T^{2}}}\end{array}\nonumber$$ Оскільки повноваження термінів$\left(\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12}\right) \text { and }\left(\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right)$ різні, тоді як ми їх складаємо разом, вони повинні бути безрозмірними, тому $$[\sigma]=L \text { and }[\varepsilon]=[U]=\frac{M L^{2}}{T^{2}}\nonumber$$ .
2. $$\begin{array}{l}{4 \epsilon \sigma^{12}=A \text { and } 4 \varepsilon \sigma^{6}=B} \\ {\frac{A}{B}=\sigma^{6} \Longrightarrow \sigma=\left(\frac{A}{B}\right)^{1 / 6}}\end{array}\nonumber$$ Підставивши$\sigma$ у вирази A або B, ми можемо вивести вираз для$\varepsilon$: $$\begin{array}{l}{4 \sigma^{6} \varepsilon=B} \\ {4 \varepsilon A=B^{2} \Longrightarrow \varepsilon=\frac{B^{2}}{4 A}}\end{array}\nonumber$$
3. (в) Малюнок$\PageIndex{2}$. Інтерпретація: ≤є мірою для глибини потенціалу well.æsets шкала довжини і, отже, положення точки рівноваги.
4. Спосіб 1: Обчислюємо силу як мінус похідну потенційної енергії: $$F=-\frac{\partial U}{\partial r}=4 \varepsilon\left(\frac{12 \sigma^{12}}{r^{13}}-\frac{6 \sigma^{6}}{r^{7}}\right)\nonumber$$ Для малого r ми маємо$r^{-13} \gt \gt r^{-7}$, тому F позитивний і тому відштовхуючий. І навпаки, для більших у нас є$r^{-13} \lt \lt r^{-7}$, тому F є негативним і тому привабливим. Спосіб 2: Використовуйте ескіз у (c), щоб побачити, що нахил потенціалу є негативним для малого r, що передбачає силу відштовхування, а нахил потенціалу позитивний для більшого, що передбачає силу притягання.
5. Для точки рівноваги у нас $$0=\frac{\partial U}{\partial r}=4 \varepsilon\left(\frac{12 \sigma^{12}}{r^{13}}-\frac{6 \sigma^{6}}{r^{7}}\right)=24 \frac{\varepsilon \sigma^{6}}{r^{7}}\left(\frac{2 \sigma^{6}}{r^{6}}-1\right)\nonumber$$ так є тільки одна точка рівноваги, в $$r_{\mathrm{eq}}=2^{1 / 6} \sigma\nonumber$$ Щоб визначити стійкість в цій точці, ми розглянемо другу похідну U (r): $$\left.\frac{\partial^{2} U}{\partial r^{2}}\right|_{r=r_{\mathrm{eq}}}=4 \varepsilon\left.\left(42 \frac{\sigma^{6}}{r^{8}}-156 \frac{\sigma^{12}}{r^{14}}\right)\right|_{r=r_{\mathrm{eq}}}=4 \varepsilon\left(\frac{42}{2^{4 / 3} \sigma^{2}}-\frac{156}{2^{7 / 3} \sigma^{2}}\right)=-36 \cdot 2^{2 / 3} \frac{\varepsilon}{\sigma^{2}}<0\nonumber$$ що означає, що точка рівноваги стабільна. Крім того, ми могли б визначити стійкість, розглянувши графік, намальований на (c), з якого ми можемо побачити, що точка рівноваги відповідає глобальному мінімуму потенційної енергії і, отже, є стабільною.