3.2: Кінетична енергія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Перший закон Ньютона сказав нам, що рухомий об'єкт залишатиметься рухомим, якщо на нього не діє сила - яка утримує рух з будь-якою швидкістю, включаючи нуль. Тепер, якщо ви хочете почати рухатися щось, що спочатку знаходиться в стані спокою, вам потрібно прискорити це, і другий закон Ньютона говорить вам, що для цього потрібна сила - і переміщення чогось означає, що ви його витісняєте. Тому є робота, пов'язана з отриманням чогось рухомого. Ми визначаємо кінетичну енергію (K) рухомого об'єкта, яка дорівнює роботі, необхідній для того, щоб довести об'єкт від спокою до цієї швидкості, або еквівалентно, від цієї швидкості до спокою:

$K=\frac{1}{2} m v^{2} \label{ke}$

Оскільки кінетична енергія дорівнює кількості роботи, вона також є скалярною величиною, має однакову розмірність і вимірюється в тій же одиниці. $v^2$ Коефіцієнт - квадрат величини швидкості рухомого об'єкта, який можна обчислити за допомогою точкового добутку: $v^2=v \cdot v$ . Ви можете задатися питанням, звідки береться рівняння (\ ref {ke}). Другий закон Ньютона говорить нам про те $F=m \frac{dv}{dt}$ , що, пов'язуючи силу з нескінченно малою зміною швидкості. У визначенні для роботи, Рівняння (3.1.3), помножимо силу з нескінченно малою зміною положення dr. Це нескінченно мале переміщення займає нескінченно малу кількість часу dt, що пов'язано зі зміщенням миттєвою швидкістю v: $dr=vdt$ . Тепер ми можемо обчислити роботу, необхідну для прискорення від нуля до кінцевої швидкості:

$K=\int F \cdot \mathrm{d} r=\int m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} \cdot v \mathrm{d} t=\int m v \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} \mathrm{d} t=\int m v \cdot \mathrm{d} v=\frac{m}{2} \int \mathrm{d}(v \cdot v)=\frac{1}{2} m v^{2}$

де ми використовували, що точковий добуток є комутативним і той факт, що інтеграл над похідною функції є сама функція.

Звичайно, тепер, коли ми знаємо, що кінетична енергія задається рівнянням (\ ref {ke}), нам більше не потрібно використовувати складний інтеграл для його обчислення. Однак, оскільки кінетична енергія в кінцевому підсумку дається цим інтегралом, який дорівнює чистому об'єму роботи, ми приходимо до наступного твердження, яке іноді називають теоремою Робота-енергія: зміна кінетичної енергії системи дорівнює чистому об'єму роботи, виконаної над нею або нею (у випадку, якщо збільшення/зменшення K):

$\Delta K=W_{\mathrm{net}}$