3.4: Збереження енергії

Робота, кінетична енергія і потенційна енергія - це все величини з однаковою розмірністю - тому ми можемо робити арифметику з ними. Однією особливо корисною величиною є загальна енергія Е системи, яка є просто сумою кінетичної та потенційної енергії:

$$E=K+U$$

Теорема$\PageIndex{1}$: Law of Conservation of Energy

Якщо всі сили в системі консервативні, загальна енергія в цій системі зберігається.

Доказ. Для простоти розглянемо 1D корпус (3D йде аналогічно). Збережено означає не змінюється в часі, тому для того, щоб довести твердження, нам потрібно лише обчислити часову похідну від E і перевірити, що вона завжди дорівнює нулю.

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} &=\frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{2} m v^{2}\right)}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=m v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}-F v \\[4pt] &=-\left(F-m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\right) v \\ &=0 \text { by Newton's second law. } \end{align*}$$

Збереження енергії означає, що загальна енергія системи не може змінюватися, але, звичайно, потенційна та кінетична енергія можуть - і, зберігаючи загальну енергію, ми знаємо, що вони перетворюються безпосередньо один в одного. Експлуатація цього факту дозволить нам проаналізувати і легко вирішити багато завдань в класичній механіці - цей закон збереження є надзвичайно корисним інструментом.

Відзначимо, що збереження енергії - це не те саме, що теорема «робота-енергія» розділу 3.2. Щоб загальна енергія збереглася, всі сили повинні бути консервативними. У теоремі «робота-енергія» це не так. Тому можна обчислити зміни кінетичної енергії за рахунок роботи, виконаної неконсервативними силами з використанням останньої.