8.3: Механічна енергія та збереження енергії

Нагадаємо, теорему «Робота-енергія», яка пов'язує чисту роботу, виконану над об'єктом, зі зміною його кінетичної енергії, вздовж шляху від точки\(A\) до точки\(B\):\[\begin{aligned} W^{net}=\Delta K = K_B - K_A\end{aligned}\] де\(K_A\) початкова кінетична енергія об'єкта і її\(K_B\) кінцева кінетична енергія. Як правило, виконана чиста робота - це сума роботи, виконаної консервативними силами, і робота\(W^C\), виконана жодними консервативними силами,\(W^{NC}\):\[\begin{aligned} W^{net}=W^C+W^{NC}\end{aligned}\] Робота, виконана консервативними силами, може бути виражена в плані змін потенційних енергетичних функцій. Наприклад, припустимо, що дві консервативні сили\(\vec F_2\),\(\vec F_1\) причому, чиниться на об'єкт. Робота, виконана цими двома силами, дається:\[\begin{aligned} W_1 &= -\Delta U_1\\ W_2 &= -\Delta U_2\end{aligned}\] де\(U_1\) і\(U_2\) знаходяться зміни потенційної енергії\(\vec F_2\), пов'язані з силами\(\vec F_1\) і відповідно. Ми можемо перебудувати теорему «Робота-Енергія» наступним чином ¹:

\[\begin{aligned} W^{net}=W^C+W^{NC}=-\Delta U_1 - \Delta U_2 +W^{NC} &= \Delta K\\ \therefore W^{NC} = \Delta U_1 + \Delta U_2 + \Delta K\end{aligned}\]Тобто робота, виконана неконсервативними силами, дорівнює сумі змін потенційної і кінетичної енергій. Загалом, ми можемо\(\Delta U\) використовувати для представлення зміни загальної потенційної енергії об'єкта. Загальна потенційна енергія - це сума потенційних енергій, пов'язаних з кожною з консервативних сил, що діють на об'єкт (\(\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2\)вище). Вищевказане вираз можна таким чином записати в більш загальному вигляді:

\[W^{NC}=\Delta U+\Delta K\]

Зокрема, відзначимо, що при відсутності неконсервативних сил, що виконують роботу на об'єкті:

\[\Delta K+\Delta U=0\text{ if no non-conservative forces}\]

\(-\Delta U=\Delta K\)

Тобто сума змін потенційної і кінетичної енергій об'єкта завжди дорівнює нулю. Це означає, що якщо потенційна енергія об'єкта збільшується, то кінетична енергія об'єкта повинна зменшитися на таку ж величину.

Ми можемо ввести «механічну енергію» об'єкта як суму потенційної та кінетичної енергій об'єкта:\(E\)

\[E=U+K\]

Якщо об'єкт почав у положенні\(A\), з потенційною енергією\(U_A\) та кінетичною енергією\(K_A\), і опинився в положенні\(B\) з потенційною енергією\(U_B\) та кінетичною енергією\(K_B\), то ми можемо записати механічна енергія в обох положеннях і її зміна\(\Delta E\), як:

\[\begin{aligned} E_A &= U_A + K_A\\ E_B &= U_B + K_B\\ \Delta E &= E_B - E_A \\ &= U_B + K_B - U_A - K_A\\ \therefore \Delta E &= \Delta U + \Delta K\end{aligned}\]

Таким чином, зміна механічної енергії об'єкта дорівнює роботі, яку виконують неконсервативні сили:

\[\begin{aligned} W^{NC} = \Delta U + \Delta K = \Delta E\end{aligned}\]

і якщо немає роботи, виконаної неконсервативними силами над об'єктом, то механічна енергія об'єкта не змінюється:

\[\begin{aligned} \Delta E &= 0\quad\text{if no non-conservative forces}\\ \therefore E &= \text{constant}\end{aligned}\]

Це те, що ми взагалі називаємо «збереженням механічної енергії». Якщо немає неконсервативних сил, які виконують роботу над об'єктом, його механічна енергія зберігається (тобто постійна).

Введення механічної енергії дає нам зовсім інший спосіб думати про механіку. Тепер ми можемо думати про об'єкт як про «енергію» (потенційну та/або кінетичну), і ми можемо думати про сили як про зміну енергії об'єкта.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи є значення механічної енергії об'єкта значущим, або це лише різниця в механічній енергії, яка має сенс?

1. Так, значення механічної енергії має сенс. У будь-який момент часу об'єкт матиме кількісну кількість механічної енергії.
2. Ні, значення не має сенсу, оскільки значення потенційної енергії є довільним. Значущі лише відмінності в механічній енергії.
3. Ні, значення не має сенсу, оскільки і потенційна, і кінетична енергії довільні. Їх значення будуть змінюватися в залежності від того, де ви встановите енергію, рівну нулю.
4. Це залежить від того, які консервативні сили діють на об'єкт (а значить, який «вид» потенційної енергії має об'єкт).

Відповідь

Ми також можемо думати про роботу, виконану неконсервативними силами, як про тип зміни енергії. Наприклад, роботу, виконану тертям, можна розглядати як зміну теплової енергії (відчуйте опік, коли енергійно розтираєте руку по столу!). Якщо ми зможемо змоделювати роботу, виконану неконсервативними силами, як тип «іншої» енергії\(-W^{NC}=\Delta E^{other}\), то ми можемо констатувати це:\[\begin{aligned} \Delta E^{other} + \Delta U + \Delta K =0\end{aligned}\] саме те, що ми зазвичай називаємо «збереженням енергії». Тобто загальна енергія в системі, включаючи кінетичну, потенційну та будь-яку іншу форму (наприклад, теплову, електричну тощо), є постійною, якщо якийсь зовнішній агент не діє на систему.

Ми завжди можемо включити цей зовнішній агент в систему, щоб загальна енергія системи була постійною. Найбільша система, яку ми можемо мати, - це сама Всесвіт. Таким чином, загальна енергія у Всесвіті постійна і може трансформуватися тільки з одного типу в інший, але жодна енергія ніколи не може бути додана або вилучена з Всесвіту.

Думки Олівії

Ось приклад, який може допомогти вам зрозуміти поняття зовнішніх агентів та енергозбереження. Скажімо, у нас маса, яка звисає з пружини, так що маса коливається вгору і вниз, як йо-йо. Якщо ми визначимо нашу систему, щоб включити пружину, масу та гравітацію, енергія буде збережена (енергія перетворюється з потенційної енергії в кінетичну енергію і назад).

Тепер, що робити, якщо хтось тримає кінець весни і вони починають ходити так, щоб вся система прискорилася? Енергія не зберігається, тому що система набирає кінетичну енергію, здавалося б, з нізвідки. На систему діє зовнішній агент (особа). Якщо ми розширимо нашу систему так, щоб вона включала в себе пружину, масу, гравітацію і людину, енергія зберігається. Замість того, щоб кінетична енергія «виходить з нізвідки», ми бачимо, що вона насправді надходить від людини, перетворюючи хімічну енергію в своєму тілі, щоб рухати свої м'язи.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Людина прискорює масу і навесні ходьбою. Якщо в систему не входить людина, енергія не зберігається. Якщо в нього входить людина, енергія зберігається.

Але що робити, якщо на нашій новій системі діє зовнішній агент? Ми можемо продовжувати «зменшувати масштаб», щоб включати все більше зовнішніх джерел у визначення нашої системи. Якщо ви продовжували зменшувати масштаб, врешті-решт ви досягнете точки, де весь Всесвіт був включений у вашу систему. На цьому етапі ви більше не можете зменшити масштаб. Це означає, що якщо Всесвіт є вашою системою, енергія завжди повинна бути збережена, тому що не може бути ніяких зовнішніх агентів, що діють на систему.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Блок запускається по поверхні без тертя шляхом стиснення пружини на відстань\(D\). На верхній панелі відображається пружина, коли вона знаходиться в стані спокою, а нижня панель показує пружину, стиснуту на відстань\(D\) безпосередньо перед тим, як відпустити блок.

Блок маси\(m\) може ковзати по горизонтальній поверхні без тертя. Горизонтальна пружина, з постійною пружиною\(k\), кріпиться до стіни на одному кінці, в той час як інший кінець може рухатися, як показано на малюнку 8.3.2. Система координат визначається таким чином, щоб\(x\) вісь була горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на момент,\(x=0\) коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, щоб пружина стискалася на відстань\(D\). Потім блок відпускається. Яку швидкість матиме блок, коли він покине весну?

Рішення:

Це знову той самий приклад, який ми бачили в розділах 6 і 7. Ми покажемо тут, що це вирішується дуже легко за допомогою збереження енергії. Сили, що діють на блок, складають:

1. Вага, який не працює, оскільки він перпендикулярний зміщенню блоку.
2. Нормальна сила, яка не працює, оскільки вона перпендикулярна зміщенню блоку.
3. Сила від пружини, яка консервативна і може бути змодельована потенційною енергією\(U(x)=\frac{1}{2}kx^2\), де\(x\) знаходиться положення кінця пружини.

Блок починається в стані спокою в положенні\(A\) (\(x=-D\)), де пружина стискається на відстань\(D\), і залишає пружину в положенні\(B\) (\(x=0\)), де пружина знаходиться в положенні спокою.

У положенні кінетична енергія блоку дорівнює\(K_A=0\) тому\(A\), що блок знаходиться в стані спокою, а потенційна енергія від сили пружини блоку -\(U_A=\frac{1}{2}kD^2\). Механічна енергія блоку в положенні\(A\) така: У положенні\(B\),\[\begin{aligned} K_A&=0\\ U_A&=\frac{1}{2}kD^2\\ \therefore E_A &= U_A + K_A = \frac{1}{2}kD^2\end{aligned}\] пружинна потенційна енергія блоку дорівнює нулю (оскільки пружина знаходиться в стані спокою), а вся енергія кінетична:\[\begin{aligned} K_B&=\frac{1}{2}mv_B^2\\ U_B&=0\\ \therefore E_B &= U_B+K_B=\frac{1}{2}mv_B^2\end{aligned}\] Оскільки немає неконсервативних сил, які виконують роботу над блок, механічні енергії при\(A\) і\(B\) однакові:\[\begin{aligned} W^{NC}&=\Delta E=E_B-E_A= 0\\ \therefore E_B&=E_A\\ \frac{1}{2}mv_B^2&= \frac{1}{2}kD^2\\ v_B &= \sqrt{\frac{kD^2}{m}}\end{aligned}\] як ми з'ясували раніше.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Блок ковзає вниз під нахилом перед ковзанням по рівній поверхні і зупинкою.

Блок маси\(m\) is placed at rest on an incline that makes an angle \(\theta\) with respect to the horizontal, as shown in Figure \(\PageIndex{3}\). The block is nudged slightly so that the force of static friction is overcome and the block starts to accelerate down the incline. At the bottom of the incline, the block slides on a horizontal surface. The coefficient of kinetic friction between the block and the incline is \(\mu_{k1}\), and the coefficient of kinetic friction between the block and horizontal surface is \(\mu_{k2}\). If one assumes that the block started at rest a distance \(L\) from the bottom of the incline, how far along the horizontal surface will the block slide before stopping?

Рішення

Це та сама проблема, яку ми вирішили в прикладі 6.2.1. У такому випадку ми вирішили для прискорення блоку за допомогою Другого закону Ньютона, а потім використовували кінематику, щоб знайти, як далеко зайшов блок. Ми можемо вирішити цю проблему набагато простіше, використовуючи збереження енергії.

Ще непогано подумати про те, які сили докладають на об'єкт, щоб визначити, чи є неконсервативні сили, які виконують роботу. При цьому зусилля на блоці складають:

1. Нормальна сила, яка не працює, так як завжди перпендикулярна руху.
2. Вага, яка працює при зміні висоти об'єкта, яку ми можемо моделювати за допомогою функції потенційної енергії.
3. Тертя, що є неконсервативною силою, роботу якої ми повинні визначити.

Розділимо рух на два сегменти: (1) відрізок вздовж нахилу (позиції\(A\) до на\(B\) малюнку\(\PageIndex{3}\)), де змінюється гравітаційна потенційна енергія, і (2), горизонтальний відрізок від позицій\(B\) до положення\(C\) на фігурі. Потім ми можемо застосувати збереження енергії для кожного сегмента.

Починаючи з першого сегмента, ми можемо вибрати гравітаційну потенційну енергію рівною нулю, коли блок знаходиться внизу нахилу. Блок починається на висоті\(h=L\sin\theta\) над нижньою частиною ухилу. Гравітаційна потенційна енергія для початку і кінця першого сегмента, таким чином:

\[\begin{aligned} U_A &= mgL\sin\theta\\ U_B &= 0\end{aligned}\]

Оскільки блок починається в спокої, його кінетична енергія дорівнює нулю в положенні\(A\), і якщо швидкість коробки знаходиться\(v_B\) в положенні\(B\), ми можемо записати його кінетичну енергію в обох положеннях як:

\[\begin{aligned} K_A &=0\\ K_B &= \frac{1}{2}mv_B^2\end{aligned}\]Механічна енергія об'єкта в положеннях\(A\) і\(B\) становить, таким чином:\[\begin{aligned} E_A &= U_A+K_A = mgL\sin\theta\\ E_B &= U_B+K_B = \frac{1}{2}mv_B^2\\ \Delta E &= E_B - E_A = \frac{1}{2}mv_B^2 - mgL\sin\theta\end{aligned}\]

Нарешті, оскільки ми маємо неконсервативну силу, силу кінетичного тертя, що діє на перший відрізок, нам потрібно обчислити роботу, виконану цією силою. У прикладі 6.2.1 ми виявили, що сила тертя мала величину\(f_k=\mu_{k1}N=\mu_{k1}mg\cos\theta\). Оскільки сила тертя антипаралельна вектору зміщення, який вказує вниз по нахилу і має довжину\(L\), робота, виконана тертям, така:\[\begin{aligned} W^{NC}=W_f = -f_kL=-\mu_{k1}mg\cos\theta L\end{aligned}\] Застосовуючи збереження енергії вздовж першого відрізка, ми маємо:

\[\begin{aligned} W^{NC} &= \Delta E\\ -\mu_{k1}mg\cos\theta L &= \frac{1}{2}mv_B^2 - mgL\sin\theta\\ \therefore \frac{1}{2}mv_B^2 &= mgL\sin\theta-\mu_{k1}mg\cos\theta L \end{aligned}\]

Зверніть увагу, що вищевказане рівняння, словами, можна прочитати як: «зміна кінетичної енергії (\(\frac{1}{2}mv_B^2\)) дорівнює негативній зміні потенційної енергії (\(mgL\sin\theta\)) мінус робота, виконана тертям (\(\mu_{k1}mg\cos\theta L\))». Іншими словами, блок мав потенційну енергію, яка перетворювалася в кінетичну енергію і тепло (роботу, виконану тертям, можна розглядати як теплову енергію).

Тепер перейдемо аналогічним чином для другого відрізка, з позиції\(B\) в положення\(C\). Єдиною силою, яка може працювати вздовж цього відрізка (довжини\(x\)), є сила кінетичного тертя, оскільки і вага, і нормальна сила перпендикулярні зміщенню. Немає консервативних сил, які виконують роботу, тому немає змін потенційної енергії. Початкова кінетична енергія дорівнює\(K_B\) (зверху), а кінцева кінетична енергія\(K_C\), дорівнює нулю. Зміна механічної енергії, таким чином:

\[\begin{aligned} \Delta E &= E_C - E_B = K_C - K_B = -K_B\\ &=-\frac{1}{2}mv_B^2\\ &=- mgL\sin\theta+\mu_{k1}mg\cos\theta L \end{aligned}\]

де в останньому рядку ми використовували результат з першого відрізка. Робота, виконана силою тертя по горизонтальному відрізку (невизначеної) довжини\(x\), становить:

\[\begin{aligned} W^{NC}=W_f = -f_kx = -\mu_{k2} N x=-\mu_{k2} mg x\end{aligned}\]

Нарешті, ми можемо знайти,\(x\) встановивши роботу, виконану неконсервативними силами, рівну зміні механічної енергії:

\[\begin{aligned} W^{NC} &= \Delta E\\ -\mu_{k2} mg x &=- mgL\sin\theta+\mu_{k1}mg\cos\theta L \\ \therefore x&= L\frac{1}{\mu_{k2}}\left(\sin\theta - \mu_{k1}\cos\theta\right)\end{aligned}\]

це той самий результат, який ми отримали в прикладі 6.2.1.

Обговорення

Використовуючи збереження енергії, ми змогли змоделювати рух блоку вниз по нахилу таким чином, що було набагато простіше, ніж те, що було зроблено в прикладі 6.2.1. Крім того, хоча ми моделювали тертя як неконсервативну силу, яка виконує роботу, ми отримали деяке уявлення про те, що це можна розглядати як втрату енергії. З точки зору енергії, ми б сказали, що блок спочатку мав гравітаційну потенційну енергію, яка потім перетворювалася в кінетичну енергію, а також теплову енергію (в тепло, що утворюється тертям).

Виноски

1. Ось чому ми визначили потенційну енергію як негативну від роботи; вона стає позитивним терміном, коли ми переміщуємо її в ту саму сторону рівняння, що і кінетична енергія!