7.3: Зіткнення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75010

Boundless
Boundless

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Збереження енергії та імпульсу

При нееластичному зіткненні сумарна кінетична енергія після зіткнення не дорівнює загальній кінетичній енергії до зіткнення.

навчальні цілі

Оцініть збереження сумарного імпульсу при нееластичному зіткненні

На цьому етапі ми розширимо нашу дискусію про непружні зіткнення в одному вимірі до непружних зіткнень у декількох вимірах. Як і раніше вірно, що сумарна кінетична енергія після зіткнення не дорівнює загальній кінетичній енергії до зіткнення. Хоча непружні зіткнення можуть не зберегти загальну кінетичну енергію, вони зберігають загальний імпульс.

Ми розглянемо прикладну задачу, в якій одна маса (\(\mathrm{m_1}\)) ковзає по поверхні без тертя в іншу спочатку нерухому масу (\(\mathrm{m_2}\)). Повітряним опором буде знехтувати. Відомі наступні речі:

\[\begin{align} \mathrm{m_1} & \mathrm{=0.250kg,} \\ \mathrm{m_2} & \mathrm{=0.400kg,} \\ \mathrm{v_1} & \mathrm{=2.00m/s,} \\ \mathrm{v_1′}& \mathrm{=1.50m/s,} \\ \mathrm{v_2}& \mathrm{=0m/s,} \\ \mathrm{θ_1′} & \mathrm{=45.0∘,} \end{align}\]

де\(\mathrm{v_1}\) - початкова швидкість першої маси,\(\mathrm{v_1′}\) - кінцева швидкість першої маси,\(\mathrm{v_2}\) початкова швидкість другої маси, і\(\mathrm{θ_1′}\) кут між вектором швидкості першої маси і віссю х.

Об'єкт полягає в обчисленні величини і напрямку швидкості другої маси. Після цього розрахуємо, чи було це зіткнення нееластичним чи ні.

Оскільки при роботі немає чистих сил (поверхня без тертя та незначний опір повітря), для двох мас має бути збереження загального імпульсу. Імпульс дорівнює добутку маси і швидкості. Спочатку нерухома маса не сприяє початковому імпульсу. Складові швидкостей по осі х мають вигляд\(\mathrm{v⋅\cos θ}\), де θ - кут між вектором швидкості цікавить маси і віссю х.

Висловлюючи ці речі математично:

\[\mathrm{m_1v_1=m_1v_1′ \cdot \cos (θ_1)+m_2v‘_2 \cdot \cos (θ_2). (Eq. 2)}\]

Складові швидкостей по осі y мають вигляд\(\mathrm{v \cdot \sin θ}\), де θ - кут між вектором швидкості цікавить маси і віссю х. Застосовуючи збереження імпульсу в напрямку y, ми знаходимо:

\[\mathrm{0=m_1v_1′ \cdot \sin (θ_1)+m_2v‘_2 \cdot \sin (θ_2). (Eq. 3)}\]

Якщо розділити Eq. 3 на ур. 2, то знайдемо:

\[\mathrm{ \tan θ_2=\dfrac{v_1′ \cdot \sin θ_1}{v_1′ \cos θθ_1−v_1} (Eq. 4) }\]

Ур. 4 потім можна вирішити, щоб знайти\(\mathrm{θ_2}\) приблизно 312º.

Тепер давайте використаємо Eq. 3 для вирішення\(\mathrm{v′_2}\). Переставивши ур. 3, знаходимо:

\[\mathrm{v_2′=\dfrac{−m_1v_1′ \cdot \sin θ_1}{ m_2 \cdot \sin θ_2.}}\]

Після підключення наших відомих значень ми знаходимо, що\(\mathrm{v_2′=0.886m/s}\).

Тепер ми можемо обчислити початкову та кінцеву кінетичну енергію системи, щоб побачити, чи вона однакова.

\[\begin{align} \mathrm{Initial \; Kinetic \; Energy} & \mathrm{ =\frac{1}{2}m_1 \cdot v_1^2+\frac{1}{2}m_2 \cdot v_2^2=0.5J.} \\ \mathrm{Final \; Kinetic \; Energy} & \mathrm{= \frac{1}{2}m_1 \cdot v_1′^2+\frac{1}{2}m_2 \cdot v_2′^2≈0.43J.} \end{align}\]

Оскільки ці значення не однакові, ми знаємо, що це було нееластичне зіткнення.

Приклад зіткнення: Це ілюструє приклад проблеми, в якій одна маса стикається з іншою масою, яка спочатку нерухома.

Поглядаючи зіткнення

Поглядання зіткнення - це зіткнення, яке відбувається під невеликим кутом, при цьому тіло, що падає, знаходиться майже паралельно поверхні.

навчальні цілі

Визначити необхідні умови для «глянучого зіткнення»

Зіткнення - це короткочасна взаємодія між двома тілами або більше двох тіл, що одночасно спричиняє зміну руху тіл, що задіяні внаслідок внутрішніх сил, що діють між ними під час цього. Зіткнення включають сили (відбувається зміна швидкості). Величина різниці швидкостей при ударі називається швидкістю замикання. Всі зіткнення зберігають імпульс. Що відрізняє різні типи зіткнень - це те, чи вони також зберігають кінетичну енергію. Лінія удару - Це лінія, яка є загальною нормальною для поверхонь найближчих або контактують під час удару. Це лінія, по якій діє внутрішня сила зіткнення під час удару і коефіцієнт реституції Ньютона визначається тільки по цій лінії.

При роботі з падаючим тілом, яке майже паралельно поверхні, іноді корисніше посилатися на кут між тілом і поверхнею, а не між тілом і поверхнею нормально (див.), Іншими словами 90° мінус кут падіння. Цей невеликий кут називається поглядним кутом. Зіткнення під кутом погляду називається «поглядаючим зіткненням».

зображення

Зіткнення: Об'єкт відхиляється після зіткнення зповерхнею. Кути між тілом і поверхнею нормаль позначаються як α і β. Кути між тілом і поверхнею -\(\mathrm{90 – α}\) і\(\mathrm{90 – β}\).

Зіткнення можуть бути пружними, тобто вони зберігають як імпульс, так і кінетичну енергію, або нееластичними, тобто вони зберігають імпульс, але не кінетичну енергію. Нееластичне зіткнення іноді ще називають пластичним зіткненням.

«Ідеально-нееластичне» зіткнення (також зване «ідеально пластичним» зіткненням) - це обмежувальний випадок нееластичного зіткнення, при якому два тіла злипаються після удару.

Ступінь, до якої зіткнення є пружним або нееластичним, кількісно визначається коефіцієнтом реституції, значенням, яке зазвичай коливається від нуля до одиниці. Ідеально пружне зіткнення має коефіцієнт реституції одиниці; ідеально-непружне зіткнення має коефіцієнт реституції нуль.

Пружні зіткнення в одному вимірі

Пружне зіткнення - це зіткнення двох або більше тіл, в яких зберігається кінетична енергія.

навчальні цілі

Оцініть зв'язок між рівняннями зіткнення для отримання пружності

Пружне зіткнення - це зіткнення двох і більше тіл, при якому сумарна кінетична енергія тіл до зіткнення дорівнює сумарній кінетичній енергії тіл після зіткнення. Пружне зіткнення не відбудеться, якщо кінетична енергія буде перетворена в інші форми енергії. Важливо розуміти, як працюють пружні зіткнення, тому що атоми часто зазнають по суті пружних зіткнень при зіткненні. З іншого боку, молекули не зазнають пружних зіткнень при зіткненні. У цьому атомі ми розглянемо випадок зіткнення двох тіл.

Математику пружного зіткнення найкраще продемонструвати на прикладі. Розглянемо першу частинку з масою\(\mathrm{m_1}\) і швидкістю\(\mathrm{v_{1i}}\) і другу частку з масою\(\mathrm{m_2}\) і швидкістю\(\mathrm{v_{2i}}\). Якщо ці дві частинки стикаються, має відбутися збереження імпульсу до і після зіткнення. Якщо ми знаємо, що це пружне зіткнення, має бути збереження кінетичної енергії за визначенням. Тому швидкості частинок 1 і 2 після зіткнення (\(\mathrm{v_{1f}}\)і\(\mathrm{v_{2f}}\) відповідно) будуть пов'язані з початковими швидкостями по:

\(\mathrm{\frac{1}{2}m_1 \cdot v_{1i}^2+\frac{1}{2} m_2 \cdot v_{2i}^2= \frac{1}{2}m_1 \cdot v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2 \cdot v_{2f}^2}\)(за рахунок збереження кінетичної енергії)

\(\mathrm{m_1 \cdot v_{1i}+m_2 \cdot v_{2i}=m_1 \cdot v_{1f}+m_2 \cdot v_{2f}}\)(За рахунок збереження імпульсу).

Оскільки у нас є два рівняння, ми можемо вирішити для будь-яких двох невідомих змінних. У нашому випадку ми вирішимо для кінцевих швидкостей двох частинок.

Групуючи подібні терміни та скасуючи ½ членів, ми можемо переписати наше рівняння збереження кінетичної енергії як:

\[\mathrm{m_1 \cdot (v_{1i}^2−v_{1f}^2)=m_2 \cdot (v_{2f}^2−v_{2i}^2). (Eq.1)}\]

Групуючи подібні терміни з нашого збереження рівняння імпульсу, ми можемо знайти:

\[\mathrm{m_1 \cdot (v_{1i}−v_{1f})=m_2 \cdot (v_{2f}−v_{2i}). (Eq. 2)}\]

Якщо ми потім розділимо Eq. 1 на Eq. 2 і виконаємо деякі скасування, ми знайдемо:

\[\mathrm{v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}. (Eq. 3)}\]

Ми можемо вирішити для\(\mathrm{v_{1f}}\) як:

\[\mathrm{v_{1f}=v_{2f}+v_{2i}−v_{1i}. (Eq. 4)}\]

У цей момент ми бачимо, що все\(\mathrm{v_{2f}}\) ще невідома змінна. Таким чином, ми можемо виправити це, підключивши Eq. 4 до нашого початкового збереження рівняння імпульсу. Наше збереження рівняння імпульсу з еквалайзером 4, заміщеним у виглядає так:

\[\mathrm{m_1 \cdot v_{1i}+m_2 \cdot v_{2i}=m_1 \cdot (v_{2f}+v_{2i}−v_{1i})+m_2 \cdot v_{2f}. (Eq.5)}\]

Проробивши трохи алгебри на ур. 5, ми знаходимо:

\[\mathrm{v_{2f}=\dfrac{2 \cdot m_1}{(m_2+m_1)} v_{1i}+\dfrac{(m_2−m_1)}{(m_2+m_1)}v_{2i}. (Eq.6)}\]

На цьому етапі ми успішно вирішили кінцеву швидкість другої частинки. Нам все ще потрібно вирішити швидкість першої частинки, тому давайте зробимо це, підключивши Eq. 6 до Eq. 4.

\[\mathrm{v_{1f}=[\dfrac{2 \cdot m_1}{(m_2+m_1)}v_{1i}+\dfrac{(m_2−m_1)}{(m_2+m_1)}v_{2i}]+v_{2i}−v_{1i}. (Eq. 7)}\]

Після виконання деяких алгебраїчних маніпуляцій Eq. 7, ми нарешті знаходимо:

\[\mathrm{v_{1f}=\dfrac{(m_1−m_2)}{(m_2+m_1)} v_{1i}+\dfrac{2 \cdot m_2}{(m_2+m_1)} v_{2i}. (Eq. 8)}\]

Пружні зіткнення двох нерівних мас: У цій анімації дві нерівні маси стикаються і віддаються.

Пружні зіткнення в декількох вимірах

Щоб розв'язати двомірну задачу пружного зіткнення, розкладіть швидкісні складові мас по перпендикулярних осях.

навчальні цілі

Побудувати рівняння для пружного зіткнення

Огляд

Як було зазначено раніше, відбувається збереження повної кінетичної енергії до і після пружного зіткнення. Якщо пружне зіткнення відбувається в двох вимірах, стикаються маси можуть рухатися з боку в бік після зіткнення (не тільки по тій же лінії, що і при одновимірному зіткненні). Загальний підхід до вирішення двовимірної задачі пружного зіткнення полягає у виборі системи координат, в якій швидкісні складові мас можуть бути розкладені по перпендикулярних осях.

Зіткнення в декількох вимірах: Короткий вступ до вирішення проблем зіткнень у двох вимірах з використанням закону збереження імпульсу.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

У цьому прикладі розглянемо тільки точкові маси. Це частинки без структури, які не можуть обертатися або обертатися. Ми розглянемо випадок, коли ніякі зовнішні сили не діють на систему, тобто імпульс зберігається. Ми розглянемо ситуацію, при якій одна частка спочатку знаходиться в стані спокою. Ця ситуація проілюстрована в.

зображення

Ілюстрація пружного зіткнення у двох вимірах: На цій ілюстрації ми бачимо початкову та кінцеву конфігурації двох мас, які зазнають пружного зіткнення у двох вимірах.

Визначаючи вісь x уздовж напрямку вхідної частинки, ми економимо собі час, розбиваючи цей вектор швидкості на його x- і y- складові. Тепер розглянемо збереження імпульсу в напрямку x:

\[\mathrm{p_{1x}+p_{2x}=p_{1x}′+p_{2x}′ (Eq. 1)}\]

У екв. 1 початковий імпульс вхідної частки представлений\(\mathrm{p_{1x}}\)_, початковий імпульс стаціонарної частинки представлений\(\mathrm{p_{2x}}\)_, кінцевий імпульс вхідної частки представлений\(\mathrm{p_{1x}'}\)_.і кінцевий імпульс спочатку нерухомої частинки представлений\(\mathrm{p_{2x}'}\)_.

Ми можемо розширити екв. 1, враховуючи, що імпульс дорівнює добутку маси і швидкості. Також ми знаємо, що\(\mathrm{p_{2x} = 0}\) тому, що початкова швидкість нерухомої частинки дорівнює 0.

Складові швидкостей по осі х мають вигляд\(\mathrm{v \cdot \cos θ}\), де θ - кут між вектором швидкості цікавить частинки і віссю х.

Тому:

\[\mathrm{m_1v_1=m_1v_1′ \cdot \cos (θ_1)+m_2v'_2 \cdot \cos (θ_2) (Eq. 2)}\]

Складові швидкостей по осі y мають вигляд\(\mathrm{v \cdot \sin θ}\), де θ - кут між вектором швидкості цікавить частинки (позначається в наступних рівняннях індексом 1 або 2) і віссю х. Ми можемо застосувати збереження імпульсу в напрямку y аналогічним чином, щоб дати:

\[\mathrm{0=m_1v_1' \cdot \sin (θ_1)+m_2v_2' \cdot \sin (θ_2) (Eq. 3)}\]

При знаходженні еквалайзера 3 було враховано, що вхідна частка не мала складової швидкості вздовж осі y.

Рішення для двох невідомих

Тепер ми дійшли до точки, де у нас є два рівняння, це означає, що ми можемо вирішити для будь-яких двох невідомих, які ми хочемо. Ми також знаємо, що оскільки зіткнення еластичне, повинно бути збереження кінетичної енергії до і після зіткнення. Це означає, що ми також можемо написати Eq. 4, який дає нам три рівняння для вирішення трьох невідомих:

\[\mathrm{\dfrac{1}{2}m_1 \cdot v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2 \cdot v_2^2=\dfrac{1}{2}m_1 \cdot v_1′^2+ \dfrac{1}{2}m_2 \cdot v_2′^2}\]

Загальний підхід до пошуку визначальних рівнянь для n-мірної задачі пружного зіткнення полягає у застосуванні збереження імпульсу в кожному з n- вимірів. Ви можете генерувати додаткове рівняння, використовуючи збереження кінетичної енергії.

Непружні зіткнення в одному вимірі

Зіткнення можна класифікувати як нееластичні або пружні зіткнення на основі того, як енергія зберігається при зіткненні.

навчальні цілі

Розрізняють приклади непружного зіткнення від пружних зіткнень

Огляд

При нееластичному зіткненні сумарна кінетична енергія після зіткнення не дорівнює загальній кінетичній енергії до зіткнення. Це на відміну від пружного зіткнення, при якому застосовується збереження загальної кінетичної енергії. Хоча непружні зіткнення можуть не зберегти загальну кінетичну енергію, вони зберігають загальний імпульс.

Зіткнення

Якщо два об'єкти стикаються, існує багато способів перетворення кінетичної енергії в інші форми енергії. Наприклад, при зіткненні макроскопічних тіл деяка кінетична енергія перетворюється в коливальну енергію складових атомів. Це викликає нагрівальний ефект і призводить до деформації тіл. Інший приклад, в якому кінетична енергія перетворюється в іншу форму енергії, - це коли молекули газу або рідини стикаються. Коли це відбувається, кінетична енергія часто обмінюється між поступальним рухом молекул та їх внутрішніми ступенями свободи.

Абсолютно нееластичне зіткнення відбувається, коли втрачається максимальна кількість кінетичної енергії в системі. При такому зіткненні стикаються частинки злипаються. Кінетична енергія використовується на енергії зв'язку двох тіл.

Розсувний блок Приклад

Розглянемо на прикладі двокорпусної системи розсувних блоків. Перший блок ковзає в другий (спочатку нерухомий блок). У цьому абсолютно нееластичному зіткненні перший блок повністю зв'язується з другим блоком, як показано на малюнку. Припускаємо, що поверхня, по якій ковзають блоки, не має тертя. Також припускаємо, що немає опору повітря. Якби поверхня мала тертя або був опір повітря, потрібно було б враховувати імпульс тіла, який би передавався на поверхню та/або повітря.

зображення

Нееластичне зіткнення: У цій анімації одна маса стикається з іншою спочатку нерухомою масою в абсолютно нееластичному зіткненні.

Пишучи про рівняння збереження імпульсу, можна знайти:

\[\mathrm{m_au_a+m_bu_b=(m_a+m_b)v}\]

де m _a - маса вхідного блоку, u _a - швидкість вхідного блоку, m _b - маса початково нерухомого блоку, u _b - швидкість спочатку нерухомого блоку (0 м/с), і v - кінцева швидкість двох систем тіла. Рішення для кінцевої швидкості,

\[\mathrm{v=\dfrac{m_au_a+m_bu_b}{m_a+m_b}.}\]

Беручи до уваги, що блоки мають однакову масу і що один з блоків спочатку нерухомий, вираз для кінцевої швидкості системи може бути визначено так:

\[\mathrm{v=\dfrac{u_a}{2}.}\]

Непружні зіткнення в декількох вимірах

Хоча непружні зіткнення можуть не зберегти загальну кінетичну енергію, вони зберігають загальний імпульс.

навчальні цілі

Пов'язати непружні колізії багатовимірних рівнянь з одновимірними зіткненнями, які ви дізналися раніше

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Приклади зіткнень

Ми розглянемо прикладну задачу, проілюстровану в, в якій одна маса (м1м1) ковзає по поверхні без тертя в іншу спочатку нерухому масу (м2м2). Повітряним опором буде знехтувати. Відомі такі величини:

зображення

де v1v1 - початкова швидкість першої маси, v′1v1′ - кінцева швидкість першої маси, v2v2 - початкова швидкість другої маси, а θ ′1θ 1′ - кут між вектором швидкості першої маси і віссю х.

Оскільки при роботі немає чистих сил (поверхня без тертя та незначний опір повітря), для двох мас має бути збереження загального імпульсу. Імпульс дорівнює добутку маси і швидкості. (спочатку) нерухома маса не сприяє початковому імпульсу. Складові швидкостей вздовж осі x мають вигляд v⋅cosθ v⋅cosθ, де θ - кут між вектором швидкості цікавить маси і віссю x.

Висловлюючи ці речі математично:

\[\mathrm{m_1v_1=m_1v_1′ \cdot \cos (θ_1)+m_2v‘_2 \cdot \cos (θ_2). (Eq. 2)}\]

\[\mathrm{0=m_1v_1′ \cdot \sin (θ_1)+m_2v‘_2 \cdot \sin (θ_2). (Eq. 3)}\]

Якщо розділити Eq. 3 на ур. 2, то знайдемо:

\[\mathrm{ \tan θ_2=\dfrac{v_1′ \cdot \sin θ_1}{v_1′ \cos θθ_1−v_1} (Eq. 4) }\]

Ур. 4 потім можна вирішити, щоб знайти\(\mathrm{θ_2}\) приблизно 312º.

Тепер давайте використаємо Eq. 3 для вирішення\(\mathrm{v′_2}\). Переставивши ур. 3, знаходимо:

\[\mathrm{v_2′=\dfrac{−m_1v_1′ \cdot \sin θ_1}{ m_2 \cdot \sin θ_2.}}\]

Після підключення наших відомих значень ми знаходимо, що\(\mathrm{v_2′=0.886m/s}\).

Тепер ми можемо обчислити початкову та кінцеву кінетичну енергію системи, щоб побачити, чи вона однакова.

Оскільки ці значення не однакові, ми знаємо, що це було нееластичне зіткнення.

Ключові моменти

При нееластичному зіткненні сумарна кінетична енергія після зіткнення не дорівнює загальній кінетичній енергії до зіткнення.
Якщо при роботі немає чистих сил (зіткнення відбувається на поверхні без тертя і є незначний опір повітря), має бути збереження загального імпульсу для двох мас.
Змінна θ - кут між вектором швидкості цікавить маси і віссю x в традиційних декартових системах координат.
Зіткнення - це короткочасна взаємодія між двома тілами або більше двох тіл, що одночасно викликає зміну руху тіл, що задіяні внаслідок внутрішніх сил, що діють між ними під час цього.
Зіткнення можуть бути пружними, тобто вони зберігають як імпульс, так і кінетичну енергію, або нееластичними, тобто вони зберігають імпульс, але не кінетичну енергію.
При роботі з тілом, що падає, яке майже паралельно поверхні, іноді корисніше посилатися на кут між тілом і поверхнею, а не між тілом і поверхнею нормальної.
Пружне зіткнення не відбудеться, якщо кінетична енергія буде перетворена в інші форми енергії.
Хоча молекули не зазнають пружних зіткнень, атоми часто зазнають пружних зіткнень при зіткненні.
Якщо в пружному зіткненні беруть участь дві частинки, швидкість першої частинки після зіткнення може бути виражена у вигляді:\(\mathrm{v_{1f}=\frac{(m_1−m_2)}{(m_2+m_1)}v_{1i}+ \frac{2 \cdot m_2}{(m_2+m_1)}v_{2i}.}\)
Якщо в пружному зіткненні беруть участь дві частинки, швидкість другої частинки після зіткнення може бути виражена у вигляді:\(\mathrm{v_{2f}=\frac{2 \cdot m_1}{(m_2+m_1)}v_{1i}+\frac{(m_2−m_1)}{(m_2+m_1)}v_{2i}.}\)
Якщо пружне зіткнення відбувається в двох вимірах, стикаються маси можуть рухатися з боку в бік після зіткнення.
Визначивши вісь х, яка повинна бути вздовж напрямку вхідної частинки, ми можемо спростити визначальні рівняння.
Загальний підхід до пошуку визначальних рівнянь для n-мірної задачі пружного зіткнення полягає у застосуванні збереження імпульсу в кожному з n- вимірів. Ви можете генерувати додаткове рівняння, використовуючи збереження кінетичної енергії.
При нееластичному зіткненні загальна кінетична енергія після зіткнення не дорівнює загальній кінетичній енергії до зіткнення.
Хоча непружні зіткнення можуть не зберегти загальну кінетичну енергію, вони зберігають загальний імпульс.
Абсолютно нееластичне зіткнення відбувається, коли втрачається максимальна кількість кінетичної енергії в системі.
При нееластичному зіткненні сумарна кінетична енергія після зіткнення не дорівнює загальній кінетичній енергії до зіткнення.
Якщо при роботі немає чистих сил (тобто зіткнення відбувається на поверхні без тертя і є незначний опір повітря), має бути збереження загального імпульсу для двох мас.
Змінна θ - кут між вектором швидкості цікавить маси і віссю x в традиційних декартових системах координат.

Ключові умови

кінетична енергія: Енергія, якою володіє об'єкт через його рух, дорівнює половині маси тіла, що перевищує квадрат його швидкості.
імпульс: (тіла в русі) добуток його маси і швидкості.
сила: Фізична величина, яка позначає здатність штовхати, тягнути, крутити або прискорювати тіло, яке вимірюється в одиниці виміру маси × відстань/часі² (ML/T²): SI: Ньютон (N); CGS: дин (дин)
пружне зіткнення: зустріч між двома тілами, в якій загальна кінетична енергія двох тіл після зустрічі дорівнює їх загальній кінетичній енергії перед зустріччю. Пружні зіткнення відбуваються тільки в тому випадку, якщо немає чистого перетворення кінетичної енергії в інші форми.
вимір: міра просторової протяжності в певному напрямку, наприклад, висота, ширина або ширина або глибина.
ступені свободи: Ступінь свободи - це незалежний фізичний параметр, який часто називають виміром, в формальному описі стану фізичної системи. Набір усіх розмірів системи відомий як фазовий простір.
тертя: Сила, яка чинить опір відносному руху або схильності до такого руху двох тіл, що контактують.