13.6: Теорема роботи-кінетичної енергії

Існує прямий зв'язок між роботою, виконаною над точковим об'єктом, і зміною кінетичної енергії, яку зазнає точковий об'єкт. Якщо робота, виконана над об'єктом, ненульова, це означає, що на об'єкт вплинула незбалансована сила, і об'єкт зазнав прискорення. Для об'єкта, що зазнає одновимірного руху, лівою стороною Рівняння (13.3.16) є робота, виконана над об'єктом складовою суми сил у напрямку переміщення,

\[W=\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} F_{x} d x=\frac{1}{2} m v_{f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{i}^{2}=K_{f}-K_{i}=\Delta K \nonumber \]

Коли робота, виконана над об'єктом, позитивна, об'єкт збільшить свою швидкість, а негативна робота, виконана над об'єктом, викликає зниження швидкості. Коли виконана робота дорівнює нулю, об'єкт буде підтримувати постійну швидкість. Насправді взаємозв'язок «робота-енергія» досить точна; робота, виконана прикладеною силою на об'єкт, ідентично зміні кінетичної енергії об'єкта.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Gravity and the Work-Energy Theorem

Припустимо, куля маси\(m=0.2 \mathrm{kg}\) починається з спокою на висоті\(y_{0}=15 \mathrm{m}\) над поверхнею землі і падає на висоту\(y_{f}=5.0 \mathrm{m}\) над поверхнею землі. Що таке зміна кінетичної енергії? Знайдіть кінцеву швидкість, використовуючи теорему «робота-енергія».

Рішення

Оскільки на м'яч діє лише одна сила, зміна кінетичної енергії - це робота, виконана гравітацією,

\ [\ почати {вирівняний}
W^ {g} &=-м г\ ліворуч (y_ {f} -y_ {0}\ праворуч)\\
&=\ ліворуч (-2.0\ раз 10^ {-1}\ mathrm {kg}\ праворуч)\ ліворуч (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч) (5\ mathrm {m} -15\ mathrm {m}) =2,0\ раз 10^ {1}\ mathrm {J}
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

М'яч почався з відпочинку,\(v_{y, 0}=0\). Отже, зміна кінетичної енергії

\[\Delta K=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{y, 0}^{2}=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2} \nonumber \]

Ми можемо вирішити рівняння (13.6.3) для кінцевої швидкості за допомогою Рівняння (13.6.2)

\[v_{y, f}=\sqrt{\frac{2 \Delta K}{m}}=\sqrt{\frac{2 W^{g}}{m}}=\sqrt{\frac{2\left(2.0 \times 10^{1} \mathrm{J}\right)}{0.2 \mathrm{kg}}}=1.4 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]

Для падаючого кулі в постійному гравітаційному полі позитивна робота сили тяжіння на тілі відповідає зростаючій кінетичній енергії і швидкості. Для піднімається тіла в тому ж полі кінетична енергія і, отже, швидкість зменшуються, оскільки виконана робота є негативною.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Final Kinetic Energy of Moving Cup

Людина штовхає чашку масою 0,2 кг по горизонтальному столу з силою величиною 2,0 Н під кутом по відношенню до горизонталі на відстань 0,5 м як в прикладі 13.4.\(30^{\circ}\) Коефіцієнт тертя між столом і чашкою дорівнює\(\mu_{k}=0.1\). Якщо чашка спочатку перебувала в стані спокою, яка кінцева кінетична енергія чашки після натискання на 0,5 м? Яка кінцева швидкість чашки?

Рішення

Загальна робота, виконана на чашці, - це сума роботи, виконаної силою штовхання та роботи, виконаної силою тертя, як зазначено в Рівняннях (13.4.9) та (13.4.14),

\ [\ почати {вирівняний}
W = & W^ {a} +W^ {f} =\ лівий (F_ {x} ^ {a} -\ mu_ {k} N\ праворуч)\ лівий (x_ {f} -x_ {i}\ праворуч)\\
&=\ лівий (1.7\ mathrm {N} -9.6\ раз 10^ {-2}\ mathrm {N} праворуч) (0.5\ mathrm {m}) =8.0\ раз 10^ {-1}\ mathrm {J}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Початкова швидкість дорівнює нулю, тому зміна кінетичної енергії є просто

\[\Delta K=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{y, 0}^{2}=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2} \nonumber \]

Таким чином, теорема роботи-кінетичної енергії, Рівняння (13.6.1)), дозволяє нам вирішувати для кінцевої кінетичної енергії,

\[K_{f}=\frac{1}{2} m v_{f}^{2}=\Delta K=W=8.0 \times 10^{-1} \mathrm{J} \nonumber \]

Ми можемо вирішити для кінцевої швидкості,

\[v_{y, f}=\sqrt{\frac{2 K_{f}}{m}}=\sqrt{\frac{2 W}{m}}=\sqrt{\frac{2\left(8.0 \times 10^{-1} \mathrm{J}\right)}{0.2 \mathrm{kg}}}=2.9 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]