3.1: Робота

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Скільки роботи потрібно зробити, щоб перемістити коробку? Ну, це залежить від двох речей: наскільки важка коробка, і наскільки далеко ви повинні її перемістити. Помножте два, і у вас є хороший показник того, скільки роботи буде потрібно. Звичайно, робота може бути виконана і в інших контекстах - витягування пружини з рівноваги або їзда на велосипеді проти вітру. У кожному випадку є сила і зміщення. Справедливості заради, ми підрахуємо лише ту частину сили, яка знаходиться у напрямку переміщення (під час їзди на велосипеді ви не робите роботи через те, що є гравітаційна сила, яка тягне вас вниз, оскільки ви не рухаєтесь вертикально; ви робите роботу, тому що є сила перетягування через ваше переміщення по повітрю). Визначимо роботу як добуток складової сили в напрямку зміщення, разів на сам зміщення. Обчислюємо цю складову, проектуючи вектор сили на вектор зміщення, використовуючи точковий добуток (див. Додаток A.1 для введення в векторну математику):

$W=\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{x} \label{work}$

Зверніть увагу, що робота є скалярною величиною - вона має величину, але не має напрямку. Робота вимірюється в джоулі (J), причому один Джоуль дорівнює одному Ньютону на один метр.

Звичайно, сила, що діє на наш об'єкт, не повинна бути постійною скрізь. Візьмемо для прикладу подовження пружини: чим далі ви тягнете, тим більша сила отримує, як це передбачено законом Гука (2.2.1). Щоб розрахувати роботу, виконану при подовженні пружини, рубаємо доріжку (тут пряма лінія) на безліч дрібних шматочків. Для кожного шматка наближаємо силу на середнє значення на тому шматку, потім множимо на довжину шматка і суму. У межі, що у нас нескінченно багато штук, це наближення стає точним, а сума стає інтегралом: для одного виміру ми, таким чином, маємо:

$W=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) \mathrm{d} x \label{fxdx}$

Точно так само шлях, по якому ми рухаємося, не повинен бути прямою лінією. Якщо шлях складається з декількох прямих відрізків, на кожному з яких сила постійна, ми можемо обчислити загальну роботу, додавши виконану роботу на різних сегментах. Взявши межу до нескінченно багатьох нескінченно малих відрізків dr, на кожному з яких сила задається значенням F (r), сума знову стає інтегралом:

$W=\int_{r_{1}}^{r_{2}} F(r) \cdot \mathrm{d} r \label{frdr}$

Рівняння (\ ref {frdr}) є найбільш загальним варіантом визначення роботи; воно спрощує (\ ref {fxdx}) для руху по прямій, і до (\ ref {work}), якщо обидва шлях прямий і сила постійна ¹.

Загалом, виконана робота залежить від пройденого шляху - наприклад, це більше роботи, щоб зробити об'їзд, коли їде на велосипеді з дому на роботу, припускаючи, що опір повітря скрізь однаковий. Однак у багатьох важливих випадках робота, виконана при переході з однієї точки в іншу, залежить тільки від кінцевих точок. Сили, для яких це вірно, називаються консервативними силами. Як ми побачимо нижче, сила, яку надає пружина, і сила тяжіння, є консервативною.

Іноді нас не цікавить, скільки роботи робиться для створення певного переміщення, але протягом певного часу - наприклад, генератор генерує роботу, отримуючи щось для переміщення, наприклад, колесо чи клапан, але ми зазвичай не дбаємо про ці деталі, ми хочемо знати, скільки роботи ми може розраховувати на вихід з генератора, тобто скільки потужності він має. Потужність визначається як обсяг роботи за одиницю часу, або

$P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} t}$

Потужність вимірюється в Джоулі в секунду, або Ваттах (Вт). Щоб дізнатися, скільки роботи виконує двигун, який має певну вихідну потужність, нам потрібно інтегрувати цей вихід з часом:

$W=\int P \mathrm{d} t$

¹ Якщо вас залякує векторна форма Рівняння (\ ref {frdr}), це може допомогти переписати його через величини сили F (r) і (нескінченно малої) зсуву dr, а також кута $\theta$ між ними. З точки зору $F= \vert F \vert$ , $dr= \vert dr \vert$ і $\theta$ , ми маємо $F \cdot dr=F \cos \theta dr$ , вираз, ви, можливо, бачили раніше для сили, що не вказує в тому ж напрямку, що і зміщення. Якщо ми тепер зробимо функції сили та переміщень позиції r, то таким чином стати величиною сили та кута, тому ми також можемо записати рівняння (\ ref {frdr}) як

$W=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}} F(\boldsymbol{r}) \cos \theta(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}$