5.1: Характеристика коливань

На початку глави 2 ми обговорювали поняття усереднення змінної$f$ над статистичним ансамблем - див. Eqs.$\langle f \rangle$ ($2.1.7$) і ($2.1.10$). Тепер коливання змінної визначається просто як її відхилення від такого середнього:

Коливання:

$$\boxed{ \tilde{f} \equiv f − \langle f \rangle ; } \label{1}$$

це відхилення, як правило, також є випадковою величиною. Найголовніша властивість будь-якого коливання полягає в тому, що його середнє значення (над тим же статистичним ансамблем) дорівнює нулю:

$$\langle \tilde{f} \rangle \equiv \langle f - \langle f \rangle \rangle = \langle f \rangle - \langle \langle f \rangle \rangle = \langle f \rangle - \langle f \rangle \equiv 0. \label{2}$$

Як результат, таке середнє значення не може характеризувати інтенсивність флуктуацій, а найпростішою характеристикою інтенсивності є дисперсія (іноді її називають «дисперсією»):

Дисперсія: визначення

$$\boxed{ \langle \tilde{f}^2 \rangle = \langle ( f - \langle f \rangle )^2 \rangle . } \label{3}$$

Для її розрахунку часто зручно наступне просте властивість дисперсії:

$$\langle \tilde{f}^2 \rangle = \langle ( f - \langle f \rangle )^2 \rangle = \langle f^2 - 2f \langle f \rangle + \langle f \rangle^2\rangle = \langle f^2 \rangle - 2 \langle f \rangle^2 + \langle f \rangle^2 , \label{4a}$$

так що, нарешті:

Дисперсія через середні значення:

$$\boxed{ \langle \tilde{f}^2 \rangle = \langle f^2 \rangle - \langle f \rangle^2 . } \label{4b}$$

Як найпростіший приклад розглянемо змінну, яка приймає тільки два значення$\pm 1$, з рівними ймовірностями$W_j = 1/2$. Для такої змінної (базове рівняння$(2.1.7$) дає

$$\langle f\rangle=\sum_{j} W_{j} f_{j}=\frac{1}{2}(+1)+\frac{1}{2}(-1)=0, \quad \text { but }\left\langle f^{2}\right\rangle=\sum_{j} W_{j} f_{j}^{2}=\frac{1}{2}(+1)^{2}+\frac{1}{2}(-1)^{2}=1 \neq 0 \\ \text{ so that } \left\langle \tilde{f}^{2} \right\rangle = \left\langle f^{2} \right\rangle - \langle f\rangle^{2}=1. \label{5}$$

Квадратний корінь дисперсії,

r.m.s. коливання:

$$\boxed{ \delta f \equiv \langle \tilde{f}^2 \rangle^{1/2},} \label{6}$$

називається середньо-квадратичним (r.m.s.) флуктуацією. Перевагою цього заходу є те, що вона має таку ж розмірність, що і сама змінна, так що співвідношення$\delta f / \langle f \rangle$ є безрозмірним, і може використовуватися для характеристики відносної інтенсивності коливань.

Як вже було сказано в главі 1, всі результати термодинаміки дійсні тільки в тому випадку, якщо коливання термодинамічних змінних (внутрішня енергія$E$$S$, ентропія і т.д.) відносно невеликі. ¹ Зробимо просту оцінку відносної інтенсивності флуктуацій на прикладі системи$N$ незалежних, схожих частинок, і великої змінної

$$\mathscr{F} \equiv \sum^N_{k=1} f_k. \label{7}$$

де всі$f_k$ одночастинкові функції схожі, до того ж кожна з них залежить від стану тільки «своєї» ($k^{th}$) частинки. Статистичне середнє значення таких$\mathscr{F}$, очевидно,

$$\langle \mathscr{F} \rangle = \sum^N_{k=1} \langle f \rangle = N \langle f \rangle , \label{8}$$

в той час як його коливання дисперсія

$$\left\langle\widetilde{\mathscr{F}}^{2}\right\rangle \equiv\langle\widetilde{\mathscr{F}} \widetilde{\mathscr{F}}\rangle \equiv\left\langle\sum_{k=1}^{N} \widetilde{f}_{k} \sum_{k^{\prime}=1}^{N} \widetilde{f}_{k^{\prime}}\right\rangle \equiv \left\langle \sum_{k, k^{\prime}=1}^{N} \widetilde{f}_{k} \widetilde{f}_{k^{\prime}} \right\rangle \equiv \sum_{k, k^{\prime}=1}^{N} \left\langle\widetilde{f}_{k} \widetilde{f}_{k^{\prime}} \right\rangle . \label{9}$$

Тепер ми можемо використовувати той факт, що для двох незалежних змінних

$$\left\langle\widetilde{f}_{k} \widetilde{f}_{k^{\prime}} \right\rangle = 0, \quad \text{ for } k' \neq k ; \label{10}$$

дійсно, це співвідношення може розглядатися як математичне визначення їх незалежності. Отже, тільки умови з внесенням суттєвих$k' = k$ внесків до суми (\ ref {9}):

$$\left\langle\widetilde{\mathscr{F}}^{2}\right\rangle = \sum_{k, k^{\prime}=1}^{N} \left\langle\widetilde{f}^2_{k} \right\rangle \delta_{k,k'} = N \left\langle\widetilde{f}^2 \right\rangle . \label{11}$$

Порівняння Eqs. (\ ref {8}) і (\ ref {11}), ми бачимо, що відносна інтенсивність флуктуацій змінної$\mathscr{F}$,

Оцінка відносних коливань:

$$\boxed{ \frac{\delta \mathscr{F}}{\langle \mathscr{F} \rangle} = \frac{1}{N^{1/2}} \frac{\delta f}{\langle f \rangle}, } \label{12}$$

прагне до нуля у міру зростання розміру системи$(N \rightarrow \infty )$. Саме цей факт виправдовує термодинамічний підхід до типових фізичних систем, з$N$ кількістю частинок порядку числа Авогадро$N_A \sim 10^{24}$. Проте, у багатьох ситуаціях важливі навіть невеликі коливання змінних, і в цій главі ми розрахуємо їх основні властивості, починаючи з дисперсії.

Читачеві повинно бути втішно помітити, що для деяких простих (але дуже важливих) випадків такий розрахунок вже був зроблений в нашому курсі. Зокрема, для будь-якої узагальненої координати$q$ та узагальненого імпульсу,$p$ що дають квадратичні внески типу ($2.2.28$) в гамільтоніан системи (як у гармонічному осциляторі), ми вивели теорему про рівноділення ($2.2.30$), дійсну в класичній межі. Оскільки середні значення цих змінних, в термодинамічній рівновазі, рівному нулю, Рівняння (\ ref {6}) відразу дає їх rm.m.s. коливання:

$$\delta p = (mT)^{1/2}, \quad \delta q = \left( \frac{T}{\kappa } \right)^{1/2} \equiv \left(\frac{T}{m\omega^2}\right)^{1/2}, \quad \text{ where } \omega \left( \frac{\kappa}{m}\right)^{1/2}.\label{13}$$

Узагальнення цих класичних відносин до квантово-механічного випадку$(T \sim \hbar \omega_j)$ забезпечується за допомогою Eqs. ($2.5.13$) і ($2.5.16$):

$$\delta p = \left[ \frac{\hbar m \omega }{2} \coth \frac{\hbar \omega}{2T} \right]^{1/2}, \quad \delta q = \left[ \frac{\hbar}{\hbar m \omega } \coth \frac{\hbar \omega}{2T} \right]^{1/2,}. \label{14}$$

Однак інтенсивність коливань в інших системах вимагає спеціальних розрахунків. Більш того, лише кілька випадків дозволяють отримати загальні, незалежні від моделі результати. Розглянемо деякі з них.