5.1: Характеристика коливань

На початку глави 2 ми обговорювали поняття усереднення змінної\(f\) над статистичним ансамблем - див. Eqs.\(\langle f \rangle \) (\(2.1.7\)) і (\(2.1.10\)). Тепер коливання змінної визначається просто як її відхилення від такого середнього:

Коливання:

\[ \boxed{ \tilde{f} \equiv f − \langle f \rangle ; } \label{1}\]

це відхилення, як правило, також є випадковою величиною. Найголовніша властивість будь-якого коливання полягає в тому, що його середнє значення (над тим же статистичним ансамблем) дорівнює нулю:

\[ \langle \tilde{f} \rangle \equiv \langle f - \langle f \rangle \rangle = \langle f \rangle - \langle \langle f \rangle \rangle = \langle f \rangle - \langle f \rangle \equiv 0. \label{2}\]

Як результат, таке середнє значення не може характеризувати інтенсивність флуктуацій, а найпростішою характеристикою інтенсивності є дисперсія (іноді її називають «дисперсією»):

Дисперсія: визначення

\[\boxed{ \langle \tilde{f}^2 \rangle = \langle ( f - \langle f \rangle )^2 \rangle . } \label{3}\]

Для її розрахунку часто зручно наступне просте властивість дисперсії:

\[\langle \tilde{f}^2 \rangle = \langle ( f - \langle f \rangle )^2 \rangle = \langle f^2 - 2f \langle f \rangle + \langle f \rangle^2\rangle = \langle f^2 \rangle - 2 \langle f \rangle^2 + \langle f \rangle^2 , \label{4a}\]

так що, нарешті:

Дисперсія через середні значення:

\[\boxed{ \langle \tilde{f}^2 \rangle = \langle f^2 \rangle - \langle f \rangle^2 . } \label{4b}\]

Як найпростіший приклад розглянемо змінну, яка приймає тільки два значення\(\pm 1\), з рівними ймовірностями\(W_j = 1/2\). Для такої змінної (базове рівняння\((2.1.7\)) дає

\[\langle f\rangle=\sum_{j} W_{j} f_{j}=\frac{1}{2}(+1)+\frac{1}{2}(-1)=0, \quad \text { but }\left\langle f^{2}\right\rangle=\sum_{j} W_{j} f_{j}^{2}=\frac{1}{2}(+1)^{2}+\frac{1}{2}(-1)^{2}=1 \neq 0 \\ \text{ so that } \left\langle \tilde{f}^{2} \right\rangle = \left\langle f^{2} \right\rangle - \langle f\rangle^{2}=1. \label{5}\]

Квадратний корінь дисперсії,

r.m.s. коливання:

\[\boxed{ \delta f \equiv \langle \tilde{f}^2 \rangle^{1/2},} \label{6}\]

називається середньо-квадратичним (r.m.s.) флуктуацією. Перевагою цього заходу є те, що вона має таку ж розмірність, що і сама змінна, так що співвідношення\(\delta f / \langle f \rangle\) є безрозмірним, і може використовуватися для характеристики відносної інтенсивності коливань.

Як вже було сказано в главі 1, всі результати термодинаміки дійсні тільки в тому випадку, якщо коливання термодинамічних змінних (внутрішня енергія\(E\)\(S\), ентропія і т.д.) відносно невеликі. ¹ Зробимо просту оцінку відносної інтенсивності флуктуацій на прикладі системи\(N\) незалежних, схожих частинок, і великої змінної

\[\mathscr{F} \equiv \sum^N_{k=1} f_k. \label{7}\]

де всі\(f_k\) одночастинкові функції схожі, до того ж кожна з них залежить від стану тільки «своєї» (\(k^{th}\)) частинки. Статистичне середнє значення таких\(\mathscr{F}\), очевидно,

\[\langle \mathscr{F} \rangle = \sum^N_{k=1} \langle f \rangle = N \langle f \rangle , \label{8}\]

в той час як його коливання дисперсія

\[\left\langle\widetilde{\mathscr{F}}^{2}\right\rangle \equiv\langle\widetilde{\mathscr{F}} \widetilde{\mathscr{F}}\rangle \equiv\left\langle\sum_{k=1}^{N} \widetilde{f}_{k} \sum_{k^{\prime}=1}^{N} \widetilde{f}_{k^{\prime}}\right\rangle \equiv \left\langle \sum_{k, k^{\prime}=1}^{N} \widetilde{f}_{k} \widetilde{f}_{k^{\prime}} \right\rangle \equiv \sum_{k, k^{\prime}=1}^{N} \left\langle\widetilde{f}_{k} \widetilde{f}_{k^{\prime}} \right\rangle . \label{9}\]

Тепер ми можемо використовувати той факт, що для двох незалежних змінних

\[ \left\langle\widetilde{f}_{k} \widetilde{f}_{k^{\prime}} \right\rangle = 0, \quad \text{ for } k' \neq k ; \label{10}\]

дійсно, це співвідношення може розглядатися як математичне визначення їх незалежності. Отже, тільки умови з внесенням суттєвих\(k' = k\) внесків до суми (\ ref {9}):

\[\left\langle\widetilde{\mathscr{F}}^{2}\right\rangle = \sum_{k, k^{\prime}=1}^{N} \left\langle\widetilde{f}^2_{k} \right\rangle \delta_{k,k'} = N \left\langle\widetilde{f}^2 \right\rangle . \label{11}\]

Порівняння Eqs. (\ ref {8}) і (\ ref {11}), ми бачимо, що відносна інтенсивність флуктуацій змінної\(\mathscr{F}\),

Оцінка відносних коливань:

\[\boxed{ \frac{\delta \mathscr{F}}{\langle \mathscr{F} \rangle} = \frac{1}{N^{1/2}} \frac{\delta f}{\langle f \rangle}, } \label{12}\]

прагне до нуля у міру зростання розміру системи\((N \rightarrow \infty )\). Саме цей факт виправдовує термодинамічний підхід до типових фізичних систем, з\(N\) кількістю частинок порядку числа Авогадро\(N_A \sim 10^{24}\). Проте, у багатьох ситуаціях важливі навіть невеликі коливання змінних, і в цій главі ми розрахуємо їх основні властивості, починаючи з дисперсії.

Читачеві повинно бути втішно помітити, що для деяких простих (але дуже важливих) випадків такий розрахунок вже був зроблений в нашому курсі. Зокрема, для будь-якої узагальненої координати\(q\) та узагальненого імпульсу,\(p\) що дають квадратичні внески типу (\(2.2.28\)) в гамільтоніан системи (як у гармонічному осциляторі), ми вивели теорему про рівноділення (\(2.2.30\)), дійсну в класичній межі. Оскільки середні значення цих змінних, в термодинамічній рівновазі, рівному нулю, Рівняння (\ ref {6}) відразу дає їх rm.m.s. коливання:

\[\delta p = (mT)^{1/2}, \quad \delta q = \left( \frac{T}{\kappa } \right)^{1/2} \equiv \left(\frac{T}{m\omega^2}\right)^{1/2}, \quad \text{ where } \omega \left( \frac{\kappa}{m}\right)^{1/2}.\label{13}\]

Узагальнення цих класичних відносин до квантово-механічного випадку\((T \sim \hbar \omega_j)\) забезпечується за допомогою Eqs. (\(2.5.13\)) і (\(2.5.16\)):

\[\delta p = \left[ \frac{\hbar m \omega }{2} \coth \frac{\hbar \omega}{2T} \right]^{1/2}, \quad \delta q = \left[ \frac{\hbar}{\hbar m \omega } \coth \frac{\hbar \omega}{2T} \right]^{1/2,}. \label{14}\]

Однак інтенсивність коливань в інших системах вимагає спеціальних розрахунків. Більш того, лише кілька випадків дозволяють отримати загальні, незалежні від моделі результати. Розглянемо деякі з них.