5.9: Проблеми з вправами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76750

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розглядаючи перші 30 цифр числа\(\pi = 3.1415...\) як статистичний ансамбль цілих чисел\(k\) (рівних 3, 1, 4, 1, 5,...), обчислити середнє значення\(\langle k\rangle\) і rm.m.s. коливання\(\delta k\). Порівняйте результати з результатами для ансамблю абсолютно випадкових десяткових чисел 0, 1, 2,.. ,9 та коментар.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Обчисліть дисперсію коливань магнітного моменту,\(\pmb{\mathscr{m}}\) поміщеного в зовнішнє магнітне поле\(\pmb{\mathscr{H}}\), в межах тих же двох моделей, що і в задачі 2.4:

спін-1/2 з гіромагнітним співвідношенням\(\gamma \), і
класичний магнітний момент\(\pmb{\mathscr{m}}\), фіксованої величини\(\mathscr{m}_0\), але довільної орієнтації,

обидва в тепловій рівновазі при температурі\(T\). Обговоріть і порівняйте результати. ⁷⁸

Підказка: Майте на увазі всі три декартові компоненти вектора\(\pmb{\mathscr{m}}\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Для безпольової, двоповерхової системи Ізинга зі значеннями енергії\(E_m = –Js_1s_2\), в тепловій рівновазі при температурі\(T\), обчислити дисперсію коливань енергії. Вивчіть низькотемпературні та високі температурні межі результату.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Для рівномірного, тримайданного кільця Ізинга з феромагнітною зв'язкою (і без зовнішнього поля) обчислити коефіцієнти кореляції\(K_s \equiv \langle s_ks_{k'}\rangle\) для обох\(k = k'\) і\(k \neq k'\).

Вправа\(\PageIndex{5}^*\)

Для безпольової 1D системи\(N >> 1\) «спінів», в тепловій рівновазі при температурі\(T\), обчислити коефіцієнт кореляції\(K_s \equiv \langle s_ls_{l+n}\rangle \), де\(l\) і\((l + n)\) є числами двох питомих спинив в ланцюжку.

Підказка: Ви можете почати з обчислення статистичної суми для відкритого ланцюга з довільним\(N > 1\) і довільним коефіцієнтами зв'язку\(J_k\), а потім розглянути її змішану часткову похідну над частиною цих параметрів.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

В рамках теорії молекулярного поля Вайса обчислити дисперсію спінових флуктуацій в\(d\) -мірній моделі Ізинга. Використовуйте результат, щоб вивести умови його дії.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Обчисліть дисперсію коливань енергії в квантовому гармонічному осциляторі з частотою\(\omega \), в тепловій рівновазі при температурі\(T\), і висловити її через середнє значення енергії.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Спонтанне електромагнітне поле всередині замкнутого об'єму\(V\) знаходиться в тепловій рівновазі при температурі\(T\). Припускаючи, що\(V\) це досить велике, обчислити дисперсію коливань загальної енергії поля, і висловити результат через його середню енергію і температуру. Наскільки великим повинен\(V\) бути обсяг, щоб ваші результати були кількісно дійсними? Оцініть це обмеження для кімнатної температури.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Висловлюють rms невизначеність\(N_k\) заповненості певного енергетичного рівня\(\varepsilon_k\) невзаємодіючими:

класичні частинки,
ферміони, і
бозони,

в термодинамічній рівновазі, через середню заповнюваність рівня\(\langle N_k\rangle \), і порівняти результати.

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Висловіть дисперсію кількості частинок однофазної системи в рівновазі через її ізотермічну стисливість\(\kappa_T \equiv - (1/V)(\partial V/\partial P)_{T,N}\).\(\langle \tilde{N}^2 \rangle_{V,T,\mu }\)

Вправа\(\PageIndex{11}^*\)

Виходячи з розподілу швидкостей Максвелла, обчислити низькочастотну спектральну щільність флуктуацій тиску\(P(t)\) ідеального газу\(N\) класичних частинок, що знаходяться в тепловій рівновазі при температурі\(T\), і оцінити їх дисперсію. Порівняйте попередній результат з рішенням задачі 3.2.

Підказки: Ви можете розглянути циліндрично-подібний контейнер об'єму\(V = LA\) (див. Малюнок праворуч), обчислити коливання сили, що\(\mathscr{F}(t)\) чиниться обмеженими частинками на його площині кришку площі\(A\), наблизивши її як дельта-корельований процес (\(5.4.17\)), а потім повторно розрахувати коливання в ті тиску\(P \equiv \mathscr{F} /A\).

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Обчислити низькочастотну спектральну щільність коливань електричного струму\(I(t)\) внаслідок випадкового проходження заряджених частинок між двома провідними електродами — див. Малюнок праворуч. Припустимо, що частинки випромінюються, у випадковий час, одним з електродів, і повністю поглинаються електродом-аналогом. Чи може ваш результат бути відображений на якомусь аспекті електромагнітного випромінювання чорного тіла?

Підказка: Для струму\(I(t)\) використовуйте те саме наближення дельта-кореляційного процесу, що і для сили\(\mathscr{F}(t)\) в попередній задачі.

Вправа\(\PageIndex{13}\)⁷⁹

Дуже довга однорідна струна, масою\(\mu\) на одиницю довжини, кріпиться до міцної опори, і натягується з постійною силою («натяг»)\(\mathscr{T}\) — див. Малюнок праворуч.

Обчисліть спектральну щільність випадкової\(\pmb{\mathscr{F}}(t)\) сили, що чиниться струною на точку опори, в межах площини, нормальної до її довжини, в тепловій рівновазі при температурі\(T\).

Підказка: Можна припустити, що струна настільки довга, що поперечна хвиля, що поширюється уздовж неї від точки опори, ніколи не повертається назад.

Вправа\(\PageIndex{14}\)⁸⁰

Кожен з двох тривимірних гармонічних осциляторів з масою\(m\)\(\omega_0\), резонансною частотою та\(\delta > 0\) демпфуванням має електричний дипольний момент\(\mathbf{d} = q\mathbf{s}\), де\(\mathbf{s}\) є вектор зміщення генератора з положення рівноваги. Використовуйте формалізм Ланжевена для обчислення середнього потенціалу електростатичної взаємодії цих двох осциляторів (окремий випадок так званої лондонської сили дисперсії), розділених відстанню\(r >> (T/m)^{1/2} /\omega_0\), в тепловій рівновазі при температурі\(T >> \hbar \omega_0\). Також поясніть, чому підхід, який використовується для вирішення дуже схожої задачі 2.15, безпосередньо не застосовується до цього випадку.

Підказка: Ви можете використовувати наступний інтеграл:\(\int^{\infty}_0 \frac{1-\xi^2}{\left[(1-\xi^2)^2 + (a\xi )^2 \right]^2} d\xi = \frac{\pi}{4a}\).

Вправа\(\PageIndex{15}^*\)

У межах наближення ван дер Поля ⁸¹ обчислити основні статистичні властивості флуктуацій класичних автоколивань, при:

вільний («автономний») хід генератора, і
їх фаза була заблокована зовнішньою синусоїдальною силою,

припускаючи, що коливання викликані слабким зовнішнім шумом з гладкою спектральною щільністю\(S_f(\omega )\). Зокрема, обчислити ширину лінії автоколивання.

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Обчислити кореляційну функцію координати 1D гармонічного осцилятора з малим омічним демпфуванням при тепловій рівновазі. Порівняйте результат з результатом для автономного автогенератора (предмет попередньої задачі).

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Розглянемо дуже довгу, рівномірну, двопровідну лінію передачі (див. Малюнок праворуч) з хвильовим опором\(\mathscr{Z}\), що дозволяє поширювати електромагнітні хвилі ТЕМ з незначним загасанням, в тепловій рівновазі при температурі\(T\). Обчисліть\(\langle \mathscr{V}^2\rangle_{\Delta \nu}\) дисперсію напруги\(\mathscr{V}\) між проводами в межах невеликого інтервалу\(\Delta \nu\) циклічних частот.

Підказка: Як нагадування E&M, ⁸² за відсутності дисперсійних матеріалів, хвилі TEM поширюються з частотно-незалежною швидкістю\(c\) (дорівнює швидкості світла, якщо дроти знаходяться у вільному просторі), з напругою\(\mathscr{V}\) та струмом\(I\) (див. Малюнок вище) пов'язані як\(\mathscr{V} (x,t)/I(x,t) = \pm \mathscr{Z}\), де\(\mathscr{Z}\) хвильовий опір лінії.

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Тепер розглянемо аналогічну довгу лінію електропередачі, але закінчується, на одному кінці, з омічним резистором, що відповідає імпедансу\(R = \mathscr{Z}\). Обчисліть\(\langle \mathscr{V}^2\rangle_{\Delta \nu}\) дисперсію напруги на резисторі та обговорити співвідношення між результатом і формулою Найквіста (\(5.5.21\)), включаючи числові коефіцієнти.

Підказка: Припинення з опором\(R = \mathscr{Z}\) поглинає падаючі хвилі TEM без відображення.

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Перегашена класична 1D частинка виривається з потенційної ями з гладким дном, але гострим верхом бар'єру — див. Малюнок праворуч. Виконайте необхідну модифікацію формули Крамерса (\(5.6.36\)).

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Мабуть, найпростішою моделлю дифузії є 1D дискретна випадкова прогулянка: кожен проміжок\(\tau \) часу частка стрибає, з однаковою ймовірністю, на будь-який з двох сусідніх ділянок одномерної решітки з просторовим періодом\(a\). Доведіть, що переміщення частинки протягом часового інтервалу\(t >> \tau\) підпорядковується рівнянню (\(5.5.16\)), і обчислити відповідний коефіцієнт дифузії\(D\).

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Класична частка може займати будь-який з\(N\) подібних ділянок. Його слабка взаємодія з навколишнім середовищем викликає випадкові, некогерентні стрибки з займаної ділянки на будь-який інший сайт, з такою ж незалежною від часу швидкістю\(\Gamma \). Обчисліть кореляційну функцію та спектральну щільність флуктуацій миттєвої заповненості\(n(t)\) (рівну 1 або 0) ділянки.

Нагадаю читачеві, що до цього моменту знаки усереднення\(\langle ...\rangle\) скидалися в більшості формул, заради простоти позначення. У цьому розділі я повинен відновити ці знаки, щоб уникнути плутанини. Виняток становитиме лише температура — середня, наступна (напевно, погана: -) традиція, як і раніше буде називатися просто\(T\) скрізь, крім останньої частини 3 сек., де коливання температури обговорюються явно.
На жаль, навіть у деяких популярних підручниках певні формули, що стосуються коливань, або невірні, або наведені без вказівки умов їх застосування, так що рекомендується обережність читача.
Див., наприклад, Рівняння MA (2.2).
Він був виведений Якобом Бернуллі (1655-1705).
Дійсно, це лише найпопулярніше визначення цієї основної математичної константи - див., наприклад, MA Equation (1.2a) с\(n = –1/W\).
Названий на честь того ж Сімеона Дені Пуассона (1781-1840), який також відповідає за інші математичні інструменти та результати, використовувані в цій серії, включаючи рівняння Пуассона — див. Розділ 6.4 нижче.
Названий на честь Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855), хоча П'єр-Симона Лаплас (1749-1827) зарахований за істотний внесок у його розвиток.
Як математичне нагадування, термін «циліндр» не обов'язково означає «круглий циліндр»; форма його основи може бути довільною; вона просто не повинна змінюватися з висотою.
Як вже обговорювалося в п. 4.1 в контексті рівняння ван дер Ваальса, для механічної стійкості газу (або рідини) похідна\(\partial P/\partial V\) повинна бути негативною, так що\(\kappa\) це позитивно.
Можна зустріти твердження, що подібна формула,\[\langle \tilde{P}^2 \rangle_X = T\left(-\frac{\partial \langle P \rangle}{\partial \langle V \rangle}\right)_X, \tag{WRONG!}\] справедлива для коливань тиску. Однак таке твердження не враховує різну фізичну природу тиску (рис.\(5.3.1\)), При його дуже широкому частотному спектрі. Про це питання піде мова далі в цьому розділі.
У цьому випадку ми також можемо використовувати другий з Eqs. (\(1.4.16\)) переписати Equation (\(5.3.4-5.3.5\)) через другу похідну\((\partial^2G/\partial P^2)_T\).
Окрім низького внутрішнього електричного шуму, хороший датчик повинен мати досить велику чутливість до температури\(dR/dT\), що робить внесок шуму електронікою зчитування незначним - див. Нижче.
Важливою сучасною тенденцією цього прогресу [див., наприклад, P. Day et al., Nature 425, 817 (2003)] є заміна резистивних датчиків температури\(R(T)\) тонкими і вузькими надпровідними смугами з термочутливою кінетичною індуктивністю\(L_k(T)\) — див. Рішення задачі ЕМ 6.19. Такі індуктивні датчики мають нульовий опір постійного струму, а отже, зникає шум Джонсона-Найквіста при типових частотах сприйняття сигналу в кілька кГц - див. Рівняння (\(5.5.20-5.5.22\)) та його обговорення нижче.
Він був піонером у 1950-х роках Робертом Генрі Дікке, так що пристрій часто називають радіометром Діке. Зауважимо, що оптимальна стратегія використання подібних пристроїв для тимчасового та енергетичного виявлення одиночних високоенергетичних фотонів відрізняється, хоча навіть вона по суті заснована на Equation (\(5.3.9\)). Недавній короткий огляд таких детекторів див., наприклад, K.Morgan, Phys. Сьогодні 71, 29 (серпень 2018 р.), і посилання на них.
Інший термін, автокореляційна функція, іноді використовується для середнього (\(5.4.3\)), щоб відрізнити його від функції взаємної кореляції двох різних стаціонарних процесів.\(\langle f_1(t)f_2(t + \tau )\rangle \)
Зверніть увагу, що ця кореляційна функція є прямим часовим аналогом просторової кореляційної функції, коротко розглянутої в п. 4.2 — див. Рівняння (\(4.2.10\)).
Зауважте, що час кореляції\(\tau_c\) є прямим часовим аналогом радіуса кореляції\(r_c\), який обговорювався в п. 4.2 — див. Те саме рівняння (\(4.2.10\)).
Аргумент функції\(f\omega\) представлений у вигляді її індексу з метою підкреслити, що ця функція відрізняється від\(\tilde{f}(t)\), при цьому (дуже зручно) все ще використовує одну і ту ж букву для тієї ж змінної.
Див., наприклад, Рівняння МА (14.4).
Друга форма Equation (\(5.4.14\)) використовує той факт, що, згідно Equation (\(5.4.13\)),\(S_f(\omega )\) є рівною функцією частоти - так само, як\(K_f(\tau )\) і рівномірна функція часу.
Хоча Eqs. (\(5.4.13\)) і (\(5.4.14\)) виглядають не набагато більше, ніж прямі сліди перетворення Фур'є, вони носять особливу назву теореми Вінера-Хінчина — на честь математиків Н.Вінера та А.Хінчина, які довели, що ці відносини справедливі навіть для функцій\(f(t)\) які не інтегруються в квадрат, так що з точки зору стандартної математики їх перетворення Фур'є недостатньо чітко визначені.
Такий процес часто називають білим шумом, оскільки він складається з усіх частотних компонентів з рівними амплітудами, що нагадують білий світ, який складається з безлічі монохроматичних компонентів з близькими амплітудами.
Щоб підкреслити цю загальність, в майбутньому обговоренні 1D випадку я буду використовувати букву,\(q\) а не\(x\) для переміщення системи.
Для звичайного (ергодичного) середовища первинне усереднення може бути інтерпретовано як таке протягом відносно коротких часових інтервалів\(\tau_c << \Delta t << \tau \), де\(\tau_c\) є час кореляції навколишнього середовища, тоді як характерна\(\tau\) часова шкала руху нашої «важкої» системи, що цікавить.
Названий на честь Поля Ланжевена, чия робота 1908 року стала першим систематичним розвитком ідей А.Ейнштейна про броунівський рух (див. нижче) з використанням цього формалізму. Детальне обговорення цього підходу з числовими прикладами його застосування можна знайти, наприклад, в монографії У.Коффі, Ю. Калмиков, і Дж. Уолдрон, Рівняння Ланжевіна, Світова наукова, 1996.
Див., наприклад, CM Розділ 5.1. Тут я припускаю,\(f(t)\) що змінна класична, при цьому обговорення квантового випадку відкладається до кінця розділу.
Зверніть увагу, що пряме вторинне статистичне усереднення Equation (\(5.5.3\)) з\(\mathscr{F}_{det} = 0\) дає\(\langle \langle q\rangle \rangle = 0!\) Цей, можливо, трохи неінтуїтивний результат стає менш загадковим, якщо ми визнаємо, що це усереднення над великим статистичним ансамблем випадкових синусоїдальних коливань з усіма значеннями їх фазу, і що (однаково ймовірні) коливання з протилежними фазами дають взаємно скасовують внески до суми в Рівнянні (\(2.1.6\)).
На цьому етапі ми обмежуємо наш аналіз випадковими стаціонарними процесами\(q(t)\), так що Equation (\(5.4.12\)) справедливо і для цієї змінної, якщо усереднення в ній розуміється в\(\langle \langle ...\rangle \rangle\) сенсі.
Незалежно від фізичного сенсу такої функції та від того\(\omega \), чи знаходиться її максимум на кінцевій частоті,\(\omega_0\) як у Рівнянні (\(5.5.6\)) або на\(\omega = 0\), її часто називають лінією Лоренціана (або «Брейта-Вінгера»).
Оскільки в цьому випадку процес в осциляторі повністю обумовлений його середовищем, його дисперсія повинна бути отримана шляхом статистичного усереднення над ансамблем багатьох подібних (осцилятор+середовище) систем, а отже, слідуючи нашій умовності, він позначається подвійними кутовими дужками.
Див., наприклад, Рівняння МА (6.5a).
Див., наприклад, CM Розділ 5.1.
Він був опублікований в одній з трьох робіт знаменитої 1905 року «тріади» Ейнштейна. Нагадаємо, інша робота почала (спеціальну) теорію відносності, а ще одним був квантовий опис фотоефекту, по суті, починаючи квантову механіку. Не так вже й погано за один рік, один молодий вчений!
Зокрема, в 1908 році, тобто дуже скоро після публікації Ейнштейна, він був використаний Дж. Перрін для точного визначення числа Авогадро\(N_A\). (Саме Перрін люб'язно запропонував назвати цю константу на честь А.Авогадро, шануючи його новаторські дослідження газів у 1810-х роках.)
Відзначимо, що в фізиці твердого тіла і електроніці рухливість носія заряду зазвичай визначається як\(| \mathbf{v}_{drift}/\pmb{\mathscr{E}} | = e\mathbf{v}_{drift}/|\pmb{\mathscr{F}}_{det}| \equiv e| \mu |\) (де\(\pmb{\mathscr{E}}\) застосовується електричне поле), і традиційно вимірюється в\(^2\) см/В\(\cdot\) с.
Знак мінус обумовлений тим, що в наших позначеннях струм, що протікає в резисторі, від позитивної клеми до негативної, дорівнює (\(-I\)) — див\(5.5.1\). Рис.
Завдяки цьому факту Equation (\(5.5.2\)) часто називають омічної моделлю відгуку навколишнього середовища, навіть якщо фізична природа змінних\(q\) і абсолютно\(\mathscr{F}\) відрізняється від електричного заряду і напруги.
Він названий на честь Гаррі Найквіста, який вивів цю формулу в 1928 році (незалежно від попередньої роботи А. Ейнштейна, М. Смолуховського та П. Ланжевіна), щоб описати шум, який був щойно виявлений експериментально його колега Bell Labs Джон Бертран Джонсон. Виведення рівняння (\(5.5.11-5.5.12\)) і, отже, Equation (\(5.5.20-5.5.22\)) у цих примітках є, по суті, поворотом похідного, використовуваного H. Nyquist.
Див., наприклад, J. Crossno та ін., Appl. Фіз. Летт. 106, 023121 (2015) та посилання на них.
Ще одним практично важливим видом коливань електронних пристроїв є низькочастотний\(1/f\) шум, про який вже говорилося в п. 3 вище. Я коротко обговорю це в розділі 8.
Він був виведений Вальтером Гансом Шотткі ще в 1918 році, тобто ще до роботи Найквіста.
Див., наприклад, Y.Naveh та ін., Фіз. Преподобний Б 58, 15371 (1998). У практично використовуваних металах\(l_e\) становить близько 30 нм навіть при рідинно-гелієвих температурах (і набагато коротше при кімнатній температурі), так що звичайні «макроскопічні» резистори не виявляють шуму пострілу.
Огляд цього ефекту див., наприклад, Я. Блантер і М.Бюттікер, фіз. Репц. 336, 1 (2000).
Дивіться, наприклад, стислу книгу А.Бальбі, «Музика великого вибуху», Springer, 2008.
Переглядаючи розрахунки, що ведуть до Equation (\(5.5.11-5.5.12\)), ми можемо побачити, що можлива реальна частина\(\chi '(\omega )\) сприйнятливості просто додає до\((k – m\omega^2)\) знаменника Equation (\(5.5.5\)), що призводить до зміни частоти генератора\(\omega_0\). Ця перенормалізація є незначною, якщо зв'язок осцилятора з навколишнім середовищем слабка, тобто якщо сприйнятливість\(\chi (\omega )\) невелика - як передбачалося при виведенні Equation (\(5.5.7\)) і, отже, Equation (\(5.5.11-5.5.12\)).
Його іноді називають формулою Зеленого-Кубо (або просто Кубо). Навряд чи це справедливо, адже, як міг переконатися читач, Equation (\(5.5.33\)) - це всього лише елементарне узагальнення формули Найквіста (\(5.5.20-5.5.22\)). Більш того, відповідні твори М.Гріна і Р.Кубо були опубліковані відповідно в 1954 і 1957 роках, тобто після роботи 1951 р. Каллена і Т. Велтона, де був виведений більш загальний результат (\(5.5.39\)). Набагато більш адекватно імена Зеленого/Кубо пов'язані з рівнянням (\(5.5.43\)) нижче.
Див., наприклад, QM Розділ 4.6.
Тут (і до кінця цього розділу) усереднення\(\langle ...\rangle\) слід розуміти в загальному квантово-статистичному сенсі — див. Рівняння (\(2.1.12\)). Як обговорювалося в п. 2.1, для класично-змішного стану системи це не створює різниці ні в математичній обробці середніх, ні в їх фізичній інтерпретації.
Кох та ін., Фіз. Преподобний Б 26, 74 (1982) та посилання на них.
Див., наприклад, QM Розділ 7.4.
Див., наприклад, CM Розділ 5.1.
Див., наприклад, КМ Секс. 3.4-3.6.
Узагальнення Equation (\(5.6.1\)) до вищої просторової розмірності також є простим, скалярна змінна\(q\) замінена багатовимірним вектором\(\mathbf{q}\), а скалярна похідна\(dU/dq\) замінена на вектор\(\nabla U\), де\(\nabla\) del vector- оператор у\(\mathbf{q}\) -просторі.
Див., наприклад, CM Secs. 3.2, 5.2 і далі.
Див., наприклад, проблему QM 7.8, а також глави 5 і 6 в монографії W. Coffey et al. , наведених вище.
Він був названий на честь Хендріка Ентоні («Ганс») Крамерса, який, крім вирішення цієї концептуально важливої проблеми в 1940 році, зробив кілька інших насіннєвих внесків у фізику, включаючи відомі дисперсійні відносини Крамерса-Кроніга (див., наприклад, EM Sec. 7.4) та WKB (Вентцель-Крамерс-Бріллуен) наближення в квантова механіка — див., наприклад, QM Sec. 2.4.
Якщо порівняти з\(T\),\(U_0\) то поведінка системи також суттєво залежить від початкового розподілу ймовірностей, тобто не відповідає простому закону (\(5.6.5-5.6.6\)).
Див., наприклад, або Р.Стратонович, Теми теорії випадкового шуму, т. 1., Гордон і Брейч, 1963, або Глава 1 в монографії W. Coffey et al. , наведених вище.
До речі, мета традиційного визначення (\(5.5.17\)) коефіцієнта дифузії, що веде до коефіцієнта фронту 2 у Рівнянні (\(5.5.16\)), полягає в тому, щоб фундаментальні рівняння (\(5.6.9\)) та (\(5.6.11\)) були вільними від числових коефіцієнтів.
Як буде розглянуто в главі 6, рівняння дифузії також описує кілька інших фізичних явищ - зокрема, поширення тепла в однорідному, ізотропному твердому тілі, і в цьому контексті називається рівнянням теплопровідності або (досить недоречно) просто «рівнянням теплопровідності».
Обидві форми Equation (\(5.6.12-5.6.13\)) подібні до закону збереження маси в класичній динаміці (див., наприклад, CM Sec. 8.2), закону збереження електричного заряду в електродинаміці (див., наприклад, EM Sec. 4.1) та закону збереження ймовірностей у квантовій механіці (див., наприклад, QM Sec. 1.4).
Див., наприклад, Рівняння МА (12.2),
Він названий на честь Маріана Смолуховського, який розвинув цей формалізм в 1906 році, мабуть, незалежно від трохи більш ранньої роботи Ейнштейна, але набагато докладніше. Це рівняння має важливе застосування в багатьох галузях науки, включаючи такі дивовижні теми, як статистика стрибків у нейронних мережах. (Однак зауважте, що в деяких нефізичних полах Equation (\(5.6.18\)) називають рівнянням Фоккера-Планка, тоді як насправді останнє рівняння є набагато більш загальним — див. Наступний розділ.)
При необхідності знову див. Рівняння MA (6.9b).
Власне,\(\tau_2\) описується характерний час експоненціального зростання малих відхилень від нестійкої нерухомої точки\(q_2\) на вершині бар'єру, а не їх розпаду, як поблизу стійкої точки\(q_1\).
Вперше він був отриманий Адріаном Фоккером в 1913 році в його кандидатській дисертації, а далі розроблений Максом Планком в 1917 році. (Цікаво, що А.Фоккер більш відомий своєю роботою з теорії музики, а також винаходом і побудовою декількох нових клавішних інструментів, ніж цим і кількома іншими важливими внесками в теоретичну фізику.)
Приклад такого рівняння, для конкретного випадку гармонічного осцилятора, наведено QM Equation (7.214). Рівняння Фоккера-Планка, звичайно, може дати тільки його класичну межу, с\(n, n_e >> 1\).
Детальний опис цього розрахунку (вперше виконаного Х.Крамерсом в 1940 році) можна знайти, наприклад, в п. III.7 оглядової статті С.Чандрасехар, преподобний Mod. Фіз. 15, 1 (1943).
Див., наприклад, QM сек. 2.4-2.6.
Нагадаємо, подібне наближення виникає для\(P(V)\) функції, при аналізі моделі ван дер Ваальса поблизу критичної температури — див. Задача 4.6.
Основний, експоненціальний фактор в цьому результаті може бути отриманий просто ігноруванням різниці між\(E\) і\(U(q_1)\), але правильний розрахунок преекспоненціального коефіцієнта вимагає врахування цієї різниці\(\hbar \omega_0/2\), — див., наприклад, модельний розв'язок задачі QM 2.43.
Див., наприклад, QM Розділ 2.4.
Крок від першого рядка Equation (\(5.8.10\)) до його другого рядка використовує той факт, що наша система є нерухомою, так що\(\langle E(t + \tau )\rangle = \langle E(t)\rangle = \langle E(\infty )\rangle =\) const.
Див., наприклад, Рівняння МА (6.9c).
Задіяний інтеграл таблиці можна знайти, наприклад, в MA Equation (6.11).
Див., наприклад, QM Розділ 7.6.
Див., наприклад, розв'язки одномерної задачі Крамерса для квантових систем з низьким демпфуванням А.Кальдейра та А.Леггетт, Phys. Преподобний Летт. 46, 211 (1981), і з високим демпфуванням А.Ларкіна і Ю. Овчинніков, JETP Летт. 37, 382 (1983).
Зауважимо, що ці два випадки можуть розглядатися як невзаємодіючі межі відповідно моделі Ізинга (\(4.2.3\)) та класичної межі моделі Гейзенберга (\(4.2.1\)), аналіз якої в межах наближення Вайса був предметом завдання 4.18.
Ця проблема, концептуально важлива для квантової механіки відкритих систем, була дана в главі 7 частини QM цієї серії і повторюється тут на благо читачів, які з яких-небудь причин пропустили цей курс.
Ця проблема, у випадку довільної температури, була предметом QM Проблема 7.6, з проблемою 5.15 цього курсу слугувала фоном. Однак метод, який використовується в модельних рішеннях цих проблем, вимагає прописувати осциляторам різні\(\omega_1\) частоти і\(\omega_2\) спочатку, і лише після того, як ця більш загальна проблема буде вирішена, переслідувати\(\omega_1 \rightarrow \omega_2\) межу, нехтуючи розсіюванням взагалі. Мета цієї задачі — показати, що результат такого рішення є дійсним навіть при ненульовому демпфуванні.
Див., наприклад, CM сек. 5.2-5.5. Зауважте, що в квантовій механіці подібний підхід називається наближенням обертової хвилі (RWA) — див., наприклад, QM Secs. 6.5, 7.6, 9.2 та 9.4.
Див., наприклад, ЕМ Розділ 7.6.