5.3: Обсяг і температура

Які rms флуктуації інших термодинамічних змінних — як і\(V\)\(T\) т.д.? Знову ж таки, відповідь залежить від конкретних умов. Наприклад, якщо обсяг,\(V\) зайнятий газом, зовні зафіксований (скажімо, жорсткими стінками), він, очевидно, зовсім не коливається:\(\delta V = 0\). З іншого боку, обсяг може коливатися в ситуації, коли середній тиск зафіксовано — див., наприклад, рис\(1.4.1\). Формальний розрахунок цих коливань, використовуючи підхід, застосований в останньому розділі, ускладнюється тим, що фіксувати її сполучену змінну фізично нездійсненно\(P\), тобто пригнічувати її коливання. Наприклад, сила, що\(\mathscr{F}(t)\) чиниться ідеальним класичним газом на стінку контейнера (мірою якої є тиск), є результатом індивідуальних незалежних ударів стінки частинками (рис.\(\PageIndex{1}\)), з часовою шкалою\(\tau_c \sim r_B/\langle v^2\rangle^{1/2} \sim r_B/(T/m)^{1/2} \sim 10^{-16}\) s, так що його частотний спектр поширюється на дуже високий частоти, практично неможливо контролювати.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Сила, яку надають частинки газу на стінку контейнера, як функція часу (схематично).

Однак ми можемо використовувати наступний трюк, дуже характерний для теорії коливань. Майже очевидно, що r.m.s. коливання обсягу газу не залежать від форми контейнера. Розглянемо конкретну ситуацію, подібну до тієї, що зображена на малюнку\(1.4.1\), з ємністю циліндричної форми, з площею підстави\(A\). ⁸ Тоді координата поршня якраз\(q = V/A\), тоді як середня сила, що чиниться газом на циліндр, дорівнює\(\mathscr{F} = PA\) — див\(\PageIndex{2}\). Рис. Тепер, якщо поршень досить масивний, частота його вільних коливань\(\omega\) поблизу положення рівноваги досить мала, щоб задовольнити наступні три умови.

По-перше, крім врівноваження середньої сили\(\langle \mathscr{F} \rangle\) і, таким чином, підтримки середнього тиску\(\langle P\rangle = \langle \mathscr{F} \rangle /A\) газу, взаємодія між важким поршнем і відносно легкими частинками газу слабка, через відносно коротку тривалість ударів частинок (рис.\(\PageIndex{1}\)). В результаті повна енергія системи може бути представлена у вигляді суми частинок і поршня, з квадратичним внеском в потенційну енергію поршня невеликими відхиленнями від рівноваги:

\[U_p = \frac{\kappa}{2} \tilde{q}^2 , \quad \text{ where } \tilde{q} \equiv q - \langle q \rangle = \frac{\tilde{V}}{A}, \label{34}\]

і\(\kappa\) є ефективною постійною пружини, що виникає внаслідок кінцевої стисливості газу.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Виведення рівняння (\ ref {37a} -\ ref {37b}).

По-друге\(\omega \rightarrow 0\), при цьому константа пружини може бути розрахована так само, як для постійних варіацій об'єму, при цьому газ залишається в квазірівновазі в усі часи:

\[\kappa = - \frac{\partial \langle \mathscr{F}\rangle}{\partial q} = A^2 \left( - \frac{\partial \langle P \rangle }{\partial \langle V \rangle } \right). \label{35}\]

Ця часткова похідна ⁹ повинна бути розрахована за будь-яких заданих теплових умов, наприклад, з\(S =\) const для адіабатичних умов (тобто теплоізольованого газу), або з\(T =\) const для ізотермічних умов (включаючи хороший тепловий контакт між газом і тепловою ванною), і т.д. з цією константою позначається як\(X\), Eqs. (\ ref {34}) - (\ ref {35}) дати

\[U_p = \frac{1}{2} \left( - A^2 \frac{\partial \langle P \rangle }{\partial \langle V \rangle }\right)_X \left(\frac{\tilde{V}}{A}\right)^2 \equiv \frac{1}{2} \left(-\frac{\partial \langle P \rangle}{\partial \langle V \rangle}\right)_X \tilde{V}^2. \label{36}\]

Коливання\(V\):

\[\boxed{ \langle \tilde{V}^2 \rangle_X = T \left( - \frac{\partial \langle V \rangle }{\partial \langle P \rangle} \right)_X. } \label{37a}\]

Оскільки цей результат справедливий для будь-якого\(A\) і\(\omega \), він не повинен залежати від геометрії системи і маси поршня, за умови, що він великий в порівнянні з ефективною масою однієї складової системи (скажімо, молекули газу) — умова, яка природним чином виконується в більшості експериментів. Для конкретного випадку коливань при постійній температурі\((X = T)\) ¹¹ ми можемо використовувати визначення (\(3.3.7\)) ізотермічної\(K_T\) об'ємної стисливості газу для перезапису Рівняння (\ ref {37a}) як

\[\langle \tilde{V}^2 \rangle_T = \frac{TV}{K_T}. \label{37b}\]

Для ідеального класичного газу\(N\) частинок, з рівнянням стану\(\langle V\rangle = NT/\langle P\rangle \), простіше використовувати безпосередньо Equation (\ ref {37a}), знову ж таки з\(X = T\), щоб отримати

\[\langle \tilde{V}^2 \rangle_T = -T \left( - \frac{NT}{\langle P \rangle^2} \right) = \frac{\langle V \rangle^2}{N}, \quad \text{ i.e. } \frac{\delta V_T}{\langle V \rangle } = \frac{1}{N^{1/2}}, \label{38}\]

в повній відповідності із загальною тенденцією, заданою Equation (\(5.1.13\)).

Тепер перейдемо до коливань температури, для простоти орієнтуючись на корпус\(V =\) const. Давайте ще раз припустимо, що розглянута нами система слабо пов'язана з тепловою ванною температури\(T_0\), в тому сенсі, що час\(\tau\) температурного рівноваги між ними набагато більше часу внутрішнього рівноваги, званого термізацією. Тоді можна припустити, що за колишньою шкалою часу\(T\) змінюється практично одночасно у всій системі, і вважати її функцією одного часу:

\[T = \langle T \rangle + \tilde{T} (t). \label{39}\]

Крім того, через (відносно) великого\(\tau \), ми можемо використовувати стаціонарне співвідношення між малими коливаннями температури і внутрішньою енергією системи:

\[\tilde{T} (t) = \frac{\tilde{E}(t)}{C_V}, \text{ so that } \delta T = \frac{\delta E}{C_V}. \label{40}\]

З цими припущеннями Equation (\(5.2.6\)) відразу дає знаменитий вираз для так званих термодинамічних коливань температури:

Коливання\(T\):

\[\boxed{\delta T = \frac{\delta E}{C_V} = \frac{\langle T \rangle}{C_V^{1/2}}. } \label{41}\]

Найбільш простим застосуванням цього результату є аналіз так званих болометрів — широкосмугових детекторів електромагнітного випромінювання в мікрохвильовому та інфрачервоному діапазонах частот. (Зокрема, вони використовуються для вимірювань випромінювання CMB, про що йшлося в п. 2.6). У такому детекторі (рис.\(\PageIndex{3}\)) вхідне випромінювання фокусується на невеликому датчику (наприклад, або невеликому шматочку кристала германію\(T \approx T_c\), або тонкій плівці надпровідника при температурі і т.д.), який добре ізольований термічно від навколишнього середовища. В результаті поглинання навіть малої потужності випромінювання\(\mathscr{P}\) призводить до\(\Delta T\) помітної зміни середньої температури датчика\(\langle T\rangle\) і, отже, його електричного опору\(R\), що прощупується малошумною зовнішньою електронікою. ¹² Якщо потужність не змінюється в часі занадто швидко,\(\Delta T\) є певна функція\(\mathscr{P}\), повертаючись до 0 в\(\mathscr{P} = 0\). Отже, якщо\(\Delta T\) вона набагато нижча за температуру навколишнього середовища\(T_0\), ми можемо зберегти лише основний, лінійний термін у його розширенні Тейлора в\(\mathscr{P}\):

\[ \Delta T \equiv \langle T \rangle −T_0 = \frac{\mathscr{P}}{\mathscr{G}}, \label{42}\]

де коефіцієнтом\(\mathscr{G} \equiv \partial \mathscr{P}/\partial T\) називається теплопровідність (можливо, невеликої, але неминучої) теплової зв'язку між датчиком і тепловою ванною — див\(\PageIndex{3}\). Рис.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Концептуальна схема болометра.

Потужність може бути виявлена, якщо електричний сигнал від датчика, що виникає в результаті зміни\(\Delta T\), не потонув в мимовільних коливаннях. У практичних системах цим коливанням сприяють кілька джерел, включаючи електронні підсилювачі. Однак в сучасних системах ці «технічні» внески в шум успішно пригнічуються, ¹³ і домінуючим джерелом шуму є фундаментальні коливання температури датчика, описані Equation (\ ref {41}). У цьому випадку так звану шумоеквівалентну потужність («NEP»), визначену як рівень,\(\mathscr{P}\) який виробляє сигнал, рівний rm.m.s. значенню шуму, можна обчислити, прирівнюючи вирази (\ ref {41}) (з\(\langle T\rangle = T_0\)) і (\ ref {42}):

\[\text{NEP} \equiv \left. \mathscr{P} \right|_{\Delta T = \delta T} = \frac{T_0 \mathscr{G}}{C_V^{1/2}}. \label{43}\]

Цей вираз показує, що для зменшення НЕП, тобто поліпшення чутливості детектора,\(\mathscr{G}\) слід зменшити як температуру навколишнього середовища, так\(T_0\) і теплопровідність. У сучасних приймачах випромінювання їх типові значення становлять близько 0,1 К і\(10^{-10}\) Вт/К відповідно.

З іншого боку, Equation (\ ref {43}) має на увазі, що для підвищення чутливості болометра, тобто для зменшення НЕП, датчик, а значить і його масу, слід збільшити.\(C_V\) Цей висновок справедливий лише до певної міри, оскільки в силу технічних причин (занурення параметрів і так званого\(1/f\) шуму датчика і зовнішньої електроніки) вхідну потужність доводиться модулювати максимально високою частотою\(\omega\), наскільки технічно можливо (в практичних приймачах) , циклічна частота\(\nu = \omega /2\pi\) модуляції становить від 10 до 1000 Гц), так що електричний сигнал може бути взятий від датчика на цій частоті. В результаті\(C_V\) може бути збільшена тільки до моменту теплової постійної датчика,

\[ \tau = \frac{C_V}{\mathscr{G}}, \label{44}\]

стає близько до\(1/\omega \), тому що при\(\omega \tau >> 1\) корисному сигнал падає швидше, ніж шум. Отже, найнижчі (тобто найкращі) значення НЕПу,

\[(\text{NEP})_{min} = \alpha T_0 \mathscr{G}^{1/2} v^{1/2}, \quad \text{ with } \alpha \sim 1, \label{45}\]

досягаються в\(\nu\tau \approx 1\). (Точні значення оптимального\(\omega \tau \) добутку та числової константи\(\alpha \sim 1\) в рівнянні (\ ref {45}) залежать від точного закону модуляції потужності в часі та процедури обробки сигналу зчитування.) З параметрами, наведеними вище, ця оцінка дає\((\text{NEP})_{min}/\nu^{1/2} \sim 3 \times 10^{-17} \) Вт/Гц\(^{1/2}\) - дійсно дуже низька потужність.

Однак, можливо, протилежно інтуїтивно, модуляція потужності дозволяє болометричним (та іншим широкосмуговим) приймачам реєструвати випромінювання з потужністю набагато нижчою, ніж цей НЕП! Дійсно, підбираючи сигнал датчика на частоті модуляції\(\omega \), ми можемо використовувати наступні етапи електроніки, щоб відфільтрувати весь шум, крім його компонентів в дуже вузькій смузі, ширини\(\Delta \nu << \nu\), навколо частоти модуляції (рис.\(\PageIndex{4}\)). Це ідея мікрохвильового радіометра, ¹⁴ в даний час використовується у всіх чутливих широкосмугових приймачах випромінювання.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Основна ідея радіометра Dicke.

Для того щоб проаналізувати цю можливість, потрібно розробити теоретичні інструменти кількісного опису спектрального розподілу флуктуацій. Іншою мотивацією для цього опису є необхідність аналізу змінних, де переважають швидкі (високочастотні) компоненти, такі як тиск - будь ласка, ще один погляд на рис\(\PageIndex{1}\). Нарешті, під час такого аналізу ми зіткнемося з фундаментальним співвідношенням між коливаннями і дисипацією, що є одним з головних результатів статистичної фізики в цілому.