6.5: Інтуїція для просторового перетворення Фур'є в оптиці

Оскільки просторові перетворення Фур'є зіграли і зіграють значну роль в нашому обговоренні поширення світла, важливо розуміти їх не просто математично, а й інтуїтивно.

Що відбувається, коли об'єкт висвітлюється і відбите або пропущене світло виявляється на деякій відстані від об'єкта? Давайте розглянемо трансмісію на прикладі. Коли об'єкт набагато більший за довжину хвилі, часто\(\tau(x, y)\) визначається функція передачі, і поле, передане об'єктом, потім вважається просто добутком падаючого поля та функції\(\tau(x, y)\). Наприклад, для отвору в металевому екрані з великим діаметром порівняно з довжиною хвилі функція передачі буде дорівнює 1 всередині отвору і 0 зовні. Однак, якщо об'єкт має особливості розміру порядку довжини хвилі, ця проста модель руйнується і передане поле замість цього повинно бути визначено вирішенням рівнянь Максвелла. Це непросто, але деякі програмні пакети можуть це зробити.

Тепер припустимо, що передане електричне поле було отримано в площині,\(z=0\) дуже близькій до об'єкта (відстань в межах частки довжини хвилі). Це поле називається переданим ближнім полем, і воно, можливо, було отримано простим множенням падаючого поля з функцією передачі\(\tau(x, y)\) або вирішенням рівнянь Максвелла. Це передане ближнє поле є своєрідним слід об'єкта. Але повинно бути зрозуміло, що, хоча в оптиці досить часто говорити з точки зору «візуалізації об'єкта», строго кажучи, ми не зображуємо об'єкт як такий, але ми зображуємо передане (або відображене) ближнє поле, яке є своєрідною копією об'єкта. Після отримання переданого ближнього поля ми застосовуємо метод кутового спектра для поширення окремих компонентів через однорідну речовину (наприклад, повітря) від об'єкта до площини детектора або до оптичного елемента, подібного до лінзи.

\(U_{0}(x, y)=U(x, y, 0)\)Дозволяти бути складовою переданого ближнього поля. Першим кроком є його перетворення Фур'є, за допомогою якого польова складова розкладається в плоских хвиль. Кожній площині хвилі, що характеризується числами хвиль\(k_{x}\) і\(k_{y}\), перетворення Фур'є призначає комплексну амплітуду\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\), величина якої вказує на те, наскільки важливу роль відіграє ця конкретна хвиля у формуванні ближнього поля. Так що ж можна сказати про поле об'єкта\(U_{0}(x, y)\), дивлячись на величину його просторового перетворення Фур'є\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\right|\)?

Припустимо,\(U_{0}(x, y)\) має гострі риси, тобто є регіони, де швидко\(U_{0}(x, y)\) змінюється в залежності від\(x\) і\(y\). Щоб описати ці особливості як комбінацію плоских хвиль, ці хвилі також повинні швидко змінюватися як функція\(x\) і\(y\), що означає, що довжина їх хвильових векторів\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\) повинна бути великою. Таким чином, чим різкіші функції, які\(U_{0}(x, y)\) мають, тим більшими ми можемо\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\right|\) очікувати, що вони будуть для великих\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\), тобто високих просторових частот можна очікувати, щоб мати велику амплітуду. Аналогічно, повільно змінюються, широкі риси\(U_{0}(x, y)\) описуються повільно коливаються хвилями, тобто\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) для малих\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\), тобто для низьких просторових частот. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Для подальшого вивчення цих понять вибираємо певне поле, беремо його перетворення Фур'є, видаляємо вищі просторові частоти, а потім інвертуємо перетворення Фур'є. Тоді ми очікуємо, що отримане поле втратило свої гострі риси і тільки збереже свої широкі риси, тобто зображення розмито. І навпаки, якщо прибрати нижчі просторові частоти, але зберегти вищі, то результат покаже лише свої різкі риси, тобто контури. Ці ефекти показані на малюнку 6.5.1. Нагадаємо\(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}>\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2}\), що коли плоска хвиля загасає експоненціально, коли поле поширюється. Втрата цих високих просторових частот призводить до втрати роздільної здатності. Оскільки при поширенні через однорідний простір втрачається інформація, що міститься у високих просторових частотах, відповідних хвилям, що випливають (залишаються лише експоненціально малі амплітуди хвиль, що випливають), ідеальне зображення неможливо, незалежно від того, наскільки добре розроблена оптична система.

Поширення світла призводить до безповоротної втрати роздільної здатності.

Саме цей факт мотивує мікроскопію ближнього поля, яка намагається виявити ці хвилі, скануючи близько до зразка, отримуючи таким чином субхвильову роздільну здатність, що в іншому випадку неможливо.

Отже, ми бачили, як ми можемо вгадати властивості деякого поля об'єкта з\(U_{0}(x, y)\) урахуванням амплітуди його просторового перетворення Фур'є\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\right|\). А як щодо фази\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\)? Хоча насправді не можна здогадатися про властивості, дивлячись\(U_{0}(x, y)\) на\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) фазу так само, як ми можемо, дивлячись на її амплітуду, насправді саме фаза відіграє більшу роль у визначенні\(U_{0}(x, y)\). Це проілюстровано на малюнку 6.5.2: якщо інформація про амплітуду\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) видалена, особливості оригіналу все одно\(U_{0}(x, y)\) можуть бути отримані. Однак якщо ми знаємо лише амплітуду,\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(k_{x}, k_{y}\right)\right|\) але не фазу, то вихідний об'єкт повністю втрачається. Таким чином, фаза поля дуже\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\) важлива, можливо, іноді навіть важливіша, ніж його амплітуда. Однак ми не можемо виміряти фазу поля безпосередньо, лише його інтенсивність,\(I=\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\right|^{2}\) з якої ми можемо обчислити амплітуду\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\right|\). Саме цей факт робить пошук фаз цілим полем дослідження самостійно: як ми можемо знайти фазу поля, враховуючи, що ми можемо виконувати лише вимірювання інтенсивності? Це питання пов'язане з новим полем оптики під назвою «безлінзове зображення», де амплітуди та фази витягуються з вимірювань інтенсивності, а зображення реконструюється обчислювальним шляхом. Якою б цікавою не була ця тема, ми не будемо розглядати її в цих примітках і натомість посилатися на магістерські курси з оптики.

Зауваження. Важливість фази для поля також можна побачити, подивившись на розширення плоских хвиль (6.5.3). Ми бачили, що поле в плоській\(z=\) константі можна отримати шляхом поширення плоских хвиль шляхом множення їх амплітуди на фазові множники\(\exp \left(i z k_{z}\right)\), що залежить від відстані поширення\(z\). Якщо залишити зникаючі хвилі поза увагою (оскільки після деякої відстані вони навряд чи сприяють полю), випливає, що змінюються лише фази плоских хвиль при поширенні, тоді як їх амплітуди (модулі їх складних амплітуд) не змінюються. Проте, залежно від відстані поширення\(z\), отримують широко різні світлові малюнки (див. Наприклад, рис. 6.5.4).

Іншим аспектом перетворення Фур'є є принцип невизначеності. У ньому зазначено, що потрібно додати багато хвиль різних частот, щоб отримати функцію, обмежену невеликим простором. \(U(x, y)\)Зазначається інакше, якщо обмежується дуже маленьким регіоном, то\(\mathcal{F}(U)\left(k_{x}, k_{y}\right)\) повинен бути дуже розкинутий. Це також може бути проілюстровано властивістю масштабування перетворення Фур'є:\[\text { if } h(x)=f(a x) \text { then } \mathcal{F}(h)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}\right)=\frac{1}{|a|} \mathcal{F}(f)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi a}\right) \text {, } \nonumber \] який просто стверджує, що чим більше\(h(x)\) стискається збільшенням\(a\), тим більше\(\mathcal{F}(h)\) поширюється його перетворення Фур'є. Цей принцип проілюстрований на малюнку 6.5.3. Принцип невизначеності знайомий з квантової фізики, де стверджується, що частинка не може мати як певного імпульсу, так і певного положення. По суті, це лише один конкретний прояв щойно описаного принципу невизначеності. Квантовий стан\(|\psi\rangle\) може бути описаний\(\psi_{x}(x)\) як в базисі позиції, так і в основі імпульсу\(\psi_{p}(p)\). Основним перетворенням, що пов'язує ці два вирази, є перетворення Фур'є.\[\psi_{p}(p)=\mathcal{F}\left\{\psi_{x}(x)\right\}(p) . \nonumber \]

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Якісна інтерпретація просторових перетворень Фур'є. Низькі просторові частоти (тобто малі\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\)) представляють повільні коливання, а отже, сприяють широким особливостям об'єкта реального простору. Високі просторові частоти (тобто великі\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\)) швидко коливаються, і тому можуть утворювати гострі риси в об'єкті реального простору.

Отже, ці два, очевидно, підпорядковуються принципу невизначеності! Насправді будь-які дві квантові спостережувані, пов'язані перетворенням Фур'є (також звані сполученими змінними), такі як позиція та імпульс, підкоряються цьому співвідношенню невизначеності.

Співвідношення невизначеності приблизно говорить:

Якщо функція\(f(x)\) має ширину\(\Delta x\), її перетворення Фур'є має ширину\(\Delta k_{x} \approx 2 \pi / \Delta x\).

Оскільки після поширення на відстані хвилі\(z\), що зникають не сприяють перетворенню Фур'є поля, то випливає, що це перетворення Фур'є має максимальну ширину\(\Delta k_{x}=k\). За принципом невизначеності випливає, що після поширення мінімальна ширина поля дорівнює\(\Delta x, \Delta y \approx 2 \pi / k=\lambda\).

Мінімальний розмір ознак поля після поширення дорівнює порядку довжини хвилі.

Це створює фундаментальну межу роздільної здатності, заданої довжиною хвилі світла.