6.4: Дифракційний інтеграл Релей-Зоммерфельда

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 6.3: Метод кутового спектра
- 6.5: Інтуїція для просторового перетворення Фур'є в оптиці

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Іншим методом поширення хвильового поля є використання інтеграла Релей-Зоммерфельда. Дуже хороше наближення цього інтеграла говорить про те, що кожна точка на площині $z=0$ випромінює сферичні хвилі, і щоб знайти поле в точці $(x, y, z)$ , ми повинні додати внески з усіх цих точкових джерел разом. Це відповідає принципу Гюйгенса-Френеля, постульованому раніше в розділі 5.6. Оскільки більш суворе виведення, починаючи з рівняння Гельмгольца, було б складним і тривалим, ми просто дамо кінцевий результат: $\begin{aligned} U(x, y, z) &=\frac{1}{i \lambda} \iint U\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \frac{z e^{i k \sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}}}}{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \\ &=\frac{1}{i \lambda} \iint U\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \frac{z e^{i k r}}{r} \mathrm{~d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \end{aligned} \nonumber$ де ми визначили $r=\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}} . \nonumber$

6.3.1.PNG — Рисунок $\PageIndex{1}$ : Просторові $k_{x}, k_{y}$ частоти плоских хвиль у кутовому спектрі часово-гармонічного поля, що поширюється в $z$ -напрямку. Існує два типи хвиль: хвилі, що поширюються з просторовими частотами всередині кола: $\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}<k=2 \pi / \lambda$ і які мають фазу залежно від відстані поширення, $z$ але постійної амплітуди, і хвиль, що випливають, для яких $\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}>k$ і з яких амплітуда зменшується експоненціально під час розмноження.

Зауваження.

Формула ( $\PageIndex{1}$ ) не є повністю суворим: термін, який є чинником $1 /(k r)$ меншим (а на практиці тому дуже менший) був опущений.
In ( $\PageIndex{1}$ ) є додатковий коефіцієнт $z / r$ порівняно з виразами для часово-гармонічної сферичної хвилі, наведеної в (1.53) та праворуч від (5.44). Цей фактор означає, що сферичні хвилі в дифракційному інтегралі Релей-Зоммерфельда мають амплітуди, які залежать від кута випромінювання (хоча їх хвильовий фронт сферичний), причому амплітуда найбільша в прямому напрямку.
Еквівалентність двох методів розмноження. Метод кутового спектра дорівнює множенню на $\exp \left(i z k_{z}\right)$ у просторі Фур'є, тоді як інтеграл Релей-Зоммерфельда є згорткою. Однією з властивостей перетворення Фур'є є те, що множення в просторі Фур'є відповідає згортці в реальному просторі і навпаки. Дійсно, математичний результат під назвою ідентичність Вейля означає, що сувора версія ( $\PageIndex{1}$ ) та розширення плоских хвиль (тобто метод кутового спектра) дають однакові результати.