6.4: Дифракційний інтеграл Релей-Зоммерфельда

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78836

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Іншим методом поширення хвильового поля є використання інтеграла Релей-Зоммерфельда. Дуже хороше наближення цього інтеграла говорить про те, що кожна точка на площині\(z=0\) випромінює сферичні хвилі, і щоб знайти поле в точці\((x, y, z)\), ми повинні додати внески з усіх цих точкових джерел разом. Це відповідає принципу Гюйгенса-Френеля, постульованому раніше в розділі 5.6. Оскільки більш суворе виведення, починаючи з рівняння Гельмгольца, було б складним і тривалим, ми просто дамо кінцевий результат:\[\begin{aligned} U(x, y, z) &=\frac{1}{i \lambda} \iint U\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \frac{z e^{i k \sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}}}}{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \\ &=\frac{1}{i \lambda} \iint U\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \frac{z e^{i k r}}{r} \mathrm{~d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \end{aligned} \nonumber \] де ми визначили\[r=\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}} . \nonumber \]

6.3.1.PNG — Рисунок\(\PageIndex{1}\): Просторові\(k_{x}, k_{y}\) частоти плоских хвиль у кутовому спектрі часово-гармонічного поля, що поширюється в\(z\) -напрямку. Існує два типи хвиль: хвилі, що поширюються з просторовими частотами всередині кола:\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}<k=2 \pi / \lambda\) і які мають фазу залежно від відстані поширення,\(z\) але постійної амплітуди, і хвиль, що випливають, для яких\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}>k\) і з яких амплітуда зменшується експоненціально під час розмноження.

Зауваження.

Формула (\(\PageIndex{1}\)) не є повністю суворим: термін, який є чинником\(1 /(k r)\) меншим (а на практиці тому дуже менший) був опущений.
In (\(\PageIndex{1}\)) є додатковий коефіцієнт\(z / r\) порівняно з виразами для часово-гармонічної сферичної хвилі, наведеної в (1.53) та праворуч від (5.44). Цей фактор означає, що сферичні хвилі в дифракційному інтегралі Релей-Зоммерфельда мають амплітуди, які залежать від кута випромінювання (хоча їх хвильовий фронт сферичний), причому амплітуда найбільша в прямому напрямку.
Еквівалентність двох методів розмноження. Метод кутового спектра дорівнює множенню на\(\exp \left(i z k_{z}\right)\) у просторі Фур'є, тоді як інтеграл Релей-Зоммерфельда є згорткою. Однією з властивостей перетворення Фур'є є те, що множення в просторі Фур'є відповідає згортці в реальному просторі і навпаки. Дійсно, математичний результат під назвою ідентичність Вейля означає, що сувора версія (\(\PageIndex{1}\)) та розширення плоских хвиль (тобто метод кутового спектра) дають однакові результати.