2.3: Принцип Ферма

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78783

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Відправною точкою обробки геометричної оптики є дуже потужна.

Принцип Ферма (1657)

Шляхи, за якими слідує світловий промінь між двома точками, - це той, який займає найменшу кількість часу.

Швидкість світла в матеріалі з показником заломлення n, дорівнює c/n, де c = 3 × 10 ⁸ м/с - швидкість світла в вакуумі. За часів Ферма переконання полягало в тому, що швидкість світла повинна бути кінцевою, але ніхто не міг підозрювати, наскільки вона неймовірно велика насправді. У 1676 році датський астроном Оле Ремер обчислив швидкість від огляду затемнень Місяця Юпітера і прибув до оцінки, яка була лише 30% занадто низькою.

\( \textbf{r}(s)\)Дозволяти, бути променем з s параметр length. Промінь пов'язує дві точки S і P. Припустимо, що показник заломлення змінюється залежно від положення:\(n(\textbf{r})\). За нескінченно малу відстань від\(s\) до\(s + ds\), швидкість світла

\[\dfrac{c}{n( \textbf{r} (s))}. \nonumber \]

Отже, час, необхідний для світла, щоб перейти\(\textbf{r}(s + ds)\) від\(\textbf{r}(s)\) до:

\[dt=\dfrac{n(\textbf{r}(s))}{c}ds, \nonumber \]

і загальний час переходу від S до P становить:

\[t_{S→P}=\int\limits_{0}^{s_{P}}\dfrac{n(\textbf{r}(s))}{c}\, ds, \nonumber \]

де s _P - відстань вздовж променя від S до P. Довжина оптичного шляху [м] променя між S і P визначається:

\[OPL=\int\limits_{0}^{s_{P}}n(r(s))\, ds, \nonumber \]

Отже, OPL - це відстань, зважене показником заломлення.

Таким чином, принцип Ферма еквівалентний твердженню, що промінь слідує шляхом з найкоротшим OPL.

Зауваження

Власне, принцип Ферма, сформульований вище, не є повним. Існують обставини, що промінь може пройти два шляхи між двома точками, які мають різний час подорожі. Потім кожен з цих шляхів відповідає мінімальному часу в дорозі порівняно з сусідніми стежками, тому час у дорозі загалом є локальним мінімумом. Прикладом може служити відображення дзеркалом, розглянуте в наступному розділі.