2.3: Принцип Ферма

Відправною точкою обробки геометричної оптики є дуже потужна.

Принцип Ферма (1657)

Шляхи, за якими слідує світловий промінь між двома точками, - це той, який займає найменшу кількість часу.

Швидкість світла в матеріалі з показником заломлення n, дорівнює c/n, де c = 3 × 10 ⁸ м/с - швидкість світла в вакуумі. За часів Ферма переконання полягало в тому, що швидкість світла повинна бути кінцевою, але ніхто не міг підозрювати, наскільки вона неймовірно велика насправді. У 1676 році датський астроном Оле Ремер обчислив швидкість від огляду затемнень Місяця Юпітера і прибув до оцінки, яка була лише 30% занадто низькою.

$\textbf{r}(s)$Дозволяти, бути променем з s параметр length. Промінь пов'язує дві точки S і P. Припустимо, що показник заломлення змінюється залежно від положення:$n(\textbf{r})$. За нескінченно малу відстань від$s$ до$s + ds$, швидкість світла

$$\dfrac{c}{n( \textbf{r} (s))}. \nonumber$$

Отже, час, необхідний для світла, щоб перейти$\textbf{r}(s + ds)$ від$\textbf{r}(s)$ до:

$$dt=\dfrac{n(\textbf{r}(s))}{c}ds, \nonumber$$

і загальний час переходу від S до P становить:

$$t_{S→P}=\int\limits_{0}^{s_{P}}\dfrac{n(\textbf{r}(s))}{c}\, ds, \nonumber$$

де s _P - відстань вздовж променя від S до P. Довжина оптичного шляху [м] променя між S і P визначається:

$$OPL=\int\limits_{0}^{s_{P}}n(r(s))\, ds, \nonumber$$

Отже, OPL - це відстань, зважене показником заломлення.

Таким чином, принцип Ферма еквівалентний твердженню, що промінь слідує шляхом з найкоротшим OPL.

Зауваження

Власне, принцип Ферма, сформульований вище, не є повним. Існують обставини, що промінь може пройти два шляхи між двома точками, які мають різний час подорожі. Потім кожен з цих шляхів відповідає мінімальному часу в дорозі порівняно з сусідніми стежками, тому час у дорозі загалом є локальним мінімумом. Прикладом може служити відображення дзеркалом, розглянуте в наступному розділі.