2.4: Деякі наслідки принципу Ферма

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78785

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

однорідна речовина

У однорідній речовині показник заломлення постійний і тому шляхи найкоротших ОПЛ є прямими лініями. Звідси в однорідній речовині промені являють собою прямі лінії.

неоднорідна речовина

Коли показник заломлення є функцією положення, такого як повітря з температурним градієнтом, промені нахиляються до областей з більш високим показником заломлення, що призводить до декількох відомих ефектів (див. Рис.\(\PageIndex{1}\)).

2.2.1.jpg — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Оскільки температура близько до землі вище, показник заломлення там нижче. Тому промені згинаються вгору, створюючи дзеркальне відображення дерева під землею. (З науково-популярної щомісячної томи 5, суспільне надбання).

Закон рефлексії

Розглянемо дзеркало, показане\(\PageIndex{2}\) на малюнку А, промінь з точки P може опинитися в Q двома способами: шляхом прямих від P до Q або альтернативно через дзеркало. Обидві можливості мають різну довжину шляху і, отже, різний час подорожі, і, отже, обидві є локальними мінімумами, згаданими в кінці попереднього розділу. Розглянемо тут шлях за допомогою відображення дзеркалом. Нехай вісь х буде перетином дзеркала і площини через точки Р і Q і перпендикулярно дзеркалу. Нехай вісь y буде нормальною до дзеркала. Нехай (x _P, y _P) і (x _Q_{, y Q}) координати P і Q відповідно. Якщо (x, 0) - точка, де промінь від P до Q потрапляє на дзеркало, час подорожі цього променя дорівнює

\[\dfrac{n}{c}d_{1}(x)+\dfrac{n}{c}d_{2}(x)=\dfrac{n}{c}((x-x_{P})^2+y_{P}^2)^{1/2}+\dfrac{n}{c}((x_{Q}-x)^2+y_{Q}^2)^{1/2}, \nonumber \]

де n - показник заломлення середовища в y > 0. Згідно з принципом Ферма, точка (x, 0) повинна бути такою, щоб час у дорозі було мінімальним, тобто

\[\dfrac{d}{dx}[d_{1}(x)+d_{2}(x)]=\dfrac{x-x_{P}}{d_{1}(x)}-\dfrac{x_{Q}-x}{d_{2}(x)}=0. \nonumber \]

Звідси

\[\sin θ_{i}=\sin θ_{r}, \nonumber \]

або

\[θ_{r}=θ_{i}. \nonumber \]

де θ _i і θ _r - кути падіння та відбиття, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Закон Снелла заломлення

Далі ми розглянемо заломлення на межі розділу. Нехай y = 0 є інтерфейсом між середовищем з показником заломлення n _i в y > 0 і середовищем з показником заломлення n _t в y < 0. Нехай (x _P, y _P) і (x _Q, y _Q) з y _P > 0 і y _Q < 0 координати двох точок P і Q показані на малюнку\(\PageIndex{3}\).

2.2.2.jpg — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Промінь від P до Q через дзеркало.

Яким шляхом піде промінь, який йде від P до Q? Оскільки показник заломлення постійний в обох половинних просторах, промінь є прямою лінією в обох середовищах. Нехай (x, 0) координата точки перетину променя з інтерфейсом. Тоді час у дорозі

\[\dfrac{n_{i}}{c}d_{1}(x)+\dfrac{n_{t}}{c}d_{2}(x)=\dfrac{n_{i}}{c}((x-x_{P})^2+y_{P}^2)^{1/2}+\dfrac{n_{t}}{c}((x_{Q}-x)^2+y_{Q}^2)^{1/2}. \nonumber \]

Час у дорозі повинен бути мінімальним, отже, має триматися

\[\dfrac{d}{dx}[n_{i}d_{1}(x)+n_{t}d_{2}(x)]=n_{i}\dfrac{x-x_{P}}{d_{1}(x)}-n_{t}\dfrac{x_{Q}-x}{d_{2}(x)}=0. \nonumber \]

де час у дорозі помножено на швидкість світла у вакуумі. Еквалайзер. (\(\PageIndex{6}\)) має на увазі

\[n_{i}\sin θ_{i}=n_{t} \sin θ_{t}, \nonumber \]

де\(θ_i\) і\(θ_t\) - кути між променем і нормаллю до поверхні у верхній половині простору і нижній половині простору відповідно (\(\PageIndex{3}\)).

2.2.3.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Промінь від P до Q, заломлений інтерфейсом.

Звідси ми вивели закон рефлексії та закон Снелла з принципу Ферма. У главі 1 закон відбиття та закон Снелла були отримані іншим методом, а саме з умов неперервності для компонентів електромагнітного поля на межі розділу.