1.7: Безперервність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79751

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Безперервність

Безперервність - важливе поняття в теорії реальних функцій. Безперервна функція - це та, вихід якої\(f(x)\) не зазнає різких стрибків при\(x\) зміні на крихітні суми. Функція може бути безперервною над усім доменом або лише підмножиною свого домену. Наприклад,\(\sin(x)\) є безперервним для всіх\(x\), тоді як\(f(x) = 1/x\) є переривчастим при\(x = 0\). Ще одна функція, яка є переривчастою в\(x=0\) є ступінчаста функція\[\Theta(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, &\;\;\;\textrm{for} \; x \ge 0\\ 0,&\;\;\; \textrm{otherwise.}\end{array}\right.\] Математики навіть придумали функції, які перериваються скрізь у своїй області, але ми не будемо мати справу з такими випадками.

Суворе визначення наступності полягає в наступному:

Визначення: Слово

Функція\(f\) є безперервною в точці,\(x_0\) якщо для будь-якого\(\epsilon >0\), ми можемо знайти\(\delta >0\) таку, що установка\(x\) ближче,\(x_0\) ніж відстань\(\delta\)\(f(x)\) наближає до\(f(x_0)\) зазначеної відстані\(\epsilon\).

Це дуже складне речення, і його може бути простіше зрозуміти, використовуючи цю ілюстрацію:

Контрприклад, з функцією, яка має розрив у деяких\(x_0\), показаний нижче:

Якщо ми виберемо\(\epsilon\) менше, ніж розрив, то незалежно від того, яке значення\(\delta > 0\) ми намагаємося, будь-який вибір\(0 < x < \delta\) дасть значення\(f(x)\), що далі, ніж\(\epsilon\) від\(f(x_0)\). Отже, умова безперервності порушується для досить малих варіантів\(\epsilon = 1/2\), і ми говоримо, що\(f\) є переривчастим в\(x_0\).