13,4: Рефракція

Економісти зазвичай вважають вільні ринки природним способом оцінювання грошової вартості чогось, але соціологи також використовують анкети для оцінки відносної вартості привілеїв, недоліків або майна, які не можуть бути куплені або продані. Вони просять людей уявити, що вони могли б торгувати одну річ на іншу і запитати, яку вони виберуть. Один цікавий результат полягає в тому, що середня людина зі світлошкірою в США швидше втратить руку, ніж зазнає расистського поводження, яке регулярно переносять афро-американці. Ще більш вражаючим є цінність прицілу. Багато майбутніх батьків можуть уявити собі без особливого страху мати глуху дитину, але було б набагато складніше впоратися з вихованням сліпого.

Настільки велика цінність, що додається до зору, що деякі перейняли його містичними аспектами. Жанна д'Арк бачила бачення, і в моєму коледжі є «заява про бачення». Християнські фундаменталісти, які сприймають конфлікт між еволюцією та їхньою релігією, стверджували, що око є таким ідеальним пристроєм, що воно ніколи не могло виникнути через такий процес, як helter-skelter як еволюція, або що воно не могло розвинутися, оскільки половина ока була б марною. Насправді будова ока принципово продиктована фізикою, і вона виникла окремо еволюцією десь від восьми до 40 разів, залежно від того, якого біолога ви запитаєте. У нас, людей, є версія ока, яку можна простежити до еволюції світлочутливого «очного плями» на голові стародавнього безхребетного. Потім затонула яма розвивалася так, що око отримувало світло лише з одного боку, дозволяючи організму сказати, звідки йде світло. (Сучасні плоскі черви мають цей тип очей.) Верх ями тоді став частково прикритий, залишивши отвір, для ще більшої спрямованості (як у наутілуса). У якийсь момент порожнину наповнилася желе, і це желе нарешті стало лінзою, в результаті чого загальний тип очей, який ми ділимо з кістковими рибами та іншими хребетними. Далеко не є ідеальним пристроєм, хребетне око затьмарене серйозним дефектом дизайну через відсутність планування або інтелектуального дизайну в еволюції: нервові клітини сітківки та кровоносні судини, які їх обслуговують, знаходяться перед світлочутливими клітинами, блокуючи частину світла. Кальмари та інші молюски, очі яких еволюціонували на окремій гілці еволюційного дерева, мають більш розумне розташування, причому світлочутливі клітини попереду.

12.4.1 Рефракція

Фундаментальне фізичне явище при роботі в оці полягає в тому, що коли світло перетинає межу між двома середовищами (такими як повітря та желе ока), частина його енергії відбивається, але частина переходить у нове середовище. У променевої моделі світла ми описуємо вихідний промінь як розщеплення на відбитий промінь і переданий (той, який потрапляє через межу). Звичайно, відбитий промінь йде в напрямку, відмінному від початкового, згідно з правилами відображення, які ми вже вивчили. Більш дивно - і це найважливіший момент для того, щоб зробити ваш погляд фокус світла - переданий промінь також трохи зігнутий. Це явище згинання називається заломленням. Походження слова таке ж, як у слова «перелом», тобто промінь зігнутий або «зламаний». (Майте на увазі, однак, що світлові промені не є фізичними об'єктами, які дійсно можуть бути «зламані».) Заломлення відбувається з усіма хвилями, а не тільки легкими хвилями.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Людське око. Малюнок\(\PageIndex{2}\): Анатомія ока.

Фактична анатомія ока, фігура\(\PageIndex{2}\), досить складна, але по суті вона дуже схожа на будь-який інший оптичний прилад, заснований на заломленні. Промені згинаються при проходженні через передню поверхню ока, рис\(\PageIndex{3}\). Промені, що входять далі від центральної осі, більше згинаються, в результаті чого на сітківці утворюється зображення. Є лише один трохи новий аспект ситуації. У більшості вбудованих людиною оптичних пристроїв, таких як кінопроектор, світло згинається, коли воно проходить в об'єктив, знову згинається, коли він з'являється, а потім досягає фокусу поза об'єктивом. Однак в оці «екран» знаходиться всередині ока, тому промені заломлюються лише один раз, потрапляючи в желе, і більше ніколи не з'являються.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Спрощена оптична схема ока. Світлові промені згинаються, коли вони перетинаються з повітря в око. (Трохи енергії падаючих променів йде в відбиті промені, а не ті, що передаються в око.)

Поширеною помилкою є те, що «лінза» ока - це те, що робить фокусування. Всі прозорі частини ока зроблені з досить схожих речей, тому різка зміна середовища - це коли промінь перетинається з повітря в око (на зовнішній поверхні рогівки). Тут відбувається майже все заломлення. Середовище лінзи лише незначно відрізняється за своїми оптичними властивостями від решти очей, тому дуже мало заломлення відбувається в міру потрапляння світла і виходу з кришталика. Лінза, форма якої регулюється прикріпленими до неї м'язами, призначена лише для точної настройки фокусу для формування зображень близьких або далеких об'єктів.

Рефракційні властивості середовищ

Які правила регулюють заломлення? Перше, що потрібно спостерігати, це те, що так само, як і при відображенні, нова, зігнута частина променя лежить в тій же площині, що і нормальний (перпендикулярний) і падаючий промінь, рис\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Падаючі, відбиті та передані (заломлені) промені лежать у площині, яка включає нормальну (пунктирну лінію). Малюнок\(\PageIndex{5}\): Кути\(\theta_1\) і\(\theta_2\) пов'язані між собою, а також залежать від властивостей двох середовищ. Оскільки заломлення є симетричним переворотом часу, немає необхідності маркувати промені наконечниками стріл.

Якщо ви спробуєте знімати промінь світла на кордоні між двома речовинами, скажімо водою і повітрям, ви виявите, що незалежно від кута, під яким ви направляєте промінь, частина променя у воді завжди ближче до нормальної лінії, рис\(\PageIndex{5}\).

Не має значення, потрапляє промінь у воду або йде, тому заломлення симетричне щодо часового розвороту, рис\(\PageIndex{6}\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Рефракція має симетрію зворотного часу. Незалежно від того, чи йде світло у воду або з неї, співвідношення між двома кутами однакове, і промінь ближче до норми, перебуваючи у воді.

Якщо замість води і повітря ви спробуєте іншу комбінацію речовин, скажімо, пластик і бензин, знову ви виявите, що кут променя по відношенню до норми послідовно менше в одному і більше в іншому. Крім того, ми виявляємо, що якщо речовина А має промені ближче до норми, ніж в B, а B має промені ближче до норми, ніж в С, то A має промені ближче до норми, ніж С. Це означає, що ми можемо ранжувати всі матеріали відповідно до їх заломлюючих властивостей. Так зробив Ісаак Ньютон, включивши в свій список безліч кумедних речовин, таких як «Данциг купорос» і «псевдо-топазіус, будучи природним, пелюцидним, крихким, волохатим каменем, жовтого кольору». З такого переліку можна зробити висновок кілька загальних правил:

• Вакуум лежить в одному кінці списку. При заломленні через межі розділу між вакуумом і будь-яким іншим середовищем інше середовище має промені ближче до норми.
• Серед газів промінь наближається до норми, якщо збільшити щільність газу за рахунок його більшого тиску.
• Рефракційні властивості рідких сумішей і розчинів змінюються плавно і систематично в міру зміни пропорцій суміші.
• Більш щільні речовини зазвичай, але не завжди, мають промені ближче до норми.

Друге і третє правила надають нам метод вимірювання щільності невідомої проби газу, або концентрації розчину. Остання методика дуже часто використовується, і, наприклад, Довідник з фізики та хімії CRC містить великі таблиці заломлюючих властивостей розчинів цукру, котячої сечі тощо.

Закон Снелла

Чисельне правило, що регулює заломлення, було виявлено Снеллом, який, мабуть, зібрав експериментальні дані щось на зразок того, що показано на цьому графіку, а потім спробував методом проб і помилок знайти правильне рівняння. Рівняння, яке він придумав, було

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \text{constant} .\]

Значення константи буде залежати від комбінації використовуваних носіїв. Наприклад, будь-якої з точок даних на графіку вистачило б, щоб показати, що константа становила 1,3 для інтерфейсу повітря-вода (беручи повітря до речовини 1, а вода - речовина 2).

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Взаємозв'язок між кутами при заломленні.

Далі Снелл виявив, що якщо носії A і B дають\(K_{AB}\) константу, а середовища B і C дають константу\(K_{BC}\), то заломлення на межі розділу між А і С буде описуватися константою, рівною добутку,\(K_{AC}=K_{AB}K_{BC}\). Саме цього можна було б очікувати, якби константа залежала від відношення деякого числа, що характеризує одне середовище, до числового, характерного для другого середовища. Це число називається показником заломлення середовища, записаним як\(n\) в рівняннях. Оскільки вимірювання кутів дозволило б йому лише визначити співвідношення показників заломлення двох середовищ, Снелл повинен був вибрати якесь середовище і визначити його як має\(n=1\). Він вирішив визначити вакуум як має\(n=1\). (Індекс заломлення повітря при нормальному атмосферному тиску становить 1.0003, тому для більшості цілей хорошим наближенням є припустити, що повітря має\(n=1\).) Він також повинен був вирішити, яким способом визначити співвідношення, і він вирішив визначити його так, щоб носії з їх променями ближче до норми мали більші показники заломлення. Це мало перевагу в тому, що більш щільні середовища, як правило, мають більш високі показники заломлення, і з цієї причини індекс заломлення також називають оптичною щільністю. Написане за показниками заломлення, рівняння Снелла стає

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1} , \]

але переписуючи його у вигляді

\[ n_1 \sin \theta_1=n_2 \sin \theta_2 \]

[співвідношення між кутами променів на межі між середовищами з індексами заломлення\(n_1\) і\(n_2\); кути визначені відносно норми] робить нас менш імовірними, щоб отримати 1 і 2 змішані, так що більшість людей пам'ятають закон Снелла. Кілька показників заломлення наведені в зворотному боці книги.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

1. Як би виглядав графік для двох речовин з однаковим показником заломлення?
2. Виходячи з графіка, коли заломлення на межі розділу повітря-вода змінює напрямок променя найсильніше?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Приклад\(\PageIndex{1}\): Finding an angle using Snell's law

Підводний човен світить своїм прожектором вгору до поверхні води. Який кут\(\alpha \) зображений на малюнку\(\PageIndex{8}\)?

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Приклад 10.

Рішення

Складна частина полягає в тому, що закон Снелла відноситься до кутів щодо нормального. Забути про це - дуже поширена помилка. Промінь знаходиться під\(30°\) кутом щодо норми у воді. Давайте позначимо повітря як середовище 1, а воду - 2. Вирішуючи закон Снелла за\(\theta_1\), знаходимо

\[ \theta_1 = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\right) . \]

Як уже згадувалося вище, повітря має показник заломлення дуже близький до 1, а вода становить близько 1,3, тому ми знаходимо\(\theta_1=40°\). Таким чином\(\alpha \), кут є\(50°\).

Те, що ні Снелл, ні Ньютон не знали, так це те, що існує дуже проста інтерпретація показника заломлення. Це може стати полегшенням для читача, який здивований складним міркуванням, що включає пропорції, що призвели до його визначення. Пізніші експерименти показали, що показник заломлення середовища обернено пропорційний швидкості світла в цьому середовищі. Оскільки\(c\) визначається як швидкість світла у вакуумі, і\(n=1\) визначається як показник заломлення вакууму, ми маємо

\[ n=\frac{c}{v} .\]

[індекс заломлення\(n=\) середовища,\(v=\) швидкість світла в цьому середовищі,\(c=\) швидкість світла у вакуумі]

Багато підручників починаються з цього як визначення індексу заломлення, хоча такий підхід робить назву кількості дещо загадкою, і залишає студентів цікаво, чому\(c/v\) використовувався, а не\(v/c\). Слід також зазначити, що вимірювання кутів заломлення є куди більш практичним методом визначення,\(n\) ніж пряме вимірювання швидкості світла в цікавить речовині.

Механічна модель закону Снелла

Чому заломлення повинно бути пов'язане зі швидкістю світла? Механічна модель, показана на малюнку, може допомогти зробити це більш правдоподібним. Припустимо, середній 2 - це густа, липка бруд, яка уповільнює роботу автомобіля. Праве колесо автомобіля потрапляє в бруд першим, внаслідок чого права сторона автомобіля сповільнюється. Це призведе до того, що автомобіль повернеться вправо, поки він не рухається досить далеко вперед, щоб ліве колесо перетнуло в бруд. Після цього дві сторони автомобіля знову будуть рухатися з однаковою швидкістю, і машина буде їхати прямо.

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Механічна модель заломлення.

Звичайно, світло - це не машина. Чому промінь світла повинен мати щось, що нагадує «ліве колесо» і «праве колесо»? Адже механічна модель передбачила б, що мотоцикл буде їхати прямо, а мотоцикл здається кращим наближенням до променя світла, ніж автомобіль. Вся справа - лише модель, а не опис фізичної реальності.

A Виведення закону Снелла

Однак інтуїтивно привабливою може бути механічна модель, світло - це хвиля, і ми повинні використовувати хвильові моделі для опису заломлення. Насправді закон Снелла може бути виведений досить просто з хвильових понять. \(\PageIndex{9}\)На малюнку показано заломлення водяної хвилі. Вода у верхній лівій частині резервуара менша, тому швидкість хвиль там повільніше, а їх довжини хвиль коротше. Відбита частина хвилі також дуже слабо видно.

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Походження закону Снелла.

У режимі крупного плану праворуч пунктирні лінії є нормалями інтерфейсу. Два позначені кути з правого боку обидва рівні\(\theta_1\), а два зліва до\(\theta_2\).

Тригонометрія дає

\[\begin{align*} \sin \theta_1 &= \lambda_1/h \text{and} \\ \sin \theta_2 &= \lambda_2/h . \end{align*}\]

\(h\)Усунувши діленням рівнянь, знаходимо

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2} . \]

Частоти двох хвиль повинні бути рівними, інакше вони вийдуть з кроку, тому\(v=f\lambda \) ми знаємо, що їх довжини хвиль пропорційні їх швидкостей. Поєднуючи\(\lambda\propto v\) з\(v\propto 1/n\) дарує\(\lambda\propto 1/n\), тому ми знаходимо

\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1} , \]

яка є однією з форм закону Снелла.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Ocean waves near and far from shore

Океанічні хвилі утворюються вітрами, як правило, на відкритому морі, а хвильові фронти перпендикулярні напрямку вітру, який їх сформував. На пляжі, однак, ви, безсумнівно, помітили, що хвилі, як правило, надходять зі своїми хвилефронтами дуже майже (але не точно) паралельно береговій лінії. Це пояснюється тим, що швидкість водних хвиль на мілководді залежить від глибини: чим дрібніше вода, тим повільніше хвиля. Хоча перехід від швидкохвильової області до області повільної хвилі є поступовим, а не різким, все ще існує заломлення, і рух хвилі майже перпендикулярний нормі в повільній області.

Колір і заломлення

Взагалі швидкість світла в середовищі залежить як від середовища, так і від довжини хвилі світла. Інший спосіб сказати, що індекс заломлення середовища змінюється залежно від довжини хвилі. Ось чому призму можна використовувати для поділу пучка білого світла на веселку. Кожна довжина хвилі світла заломлюється під різним кутом.

Скільки світла відбивається, і скільки передається?

У розділі 6.2 ми розробили рівняння для відсотка енергії хвилі, яка передається, і відсотка, відбитого на кордоні між середовищами. Це було зроблено лише у випадку хвиль в одному вимірі, однак, і замість того, щоб обговорювати повне тривимірне узагальнення, буде корисніше перейти до деяких якісних спостережень про те, що відбувається. По-перше, відображення відбувається тільки на межі розділу між двома носіями, а два носія з однаковим показником заломлення діють так, ніби вони є єдиним середовищем. Таким чином, на межі розділу між носіями з однаковим показником заломлення немає відображення, а промінь продовжує йти прямо. Продовжуючи цю лінію думки, не дивно, що ми спостерігаємо дуже мало роздумів на межі між носіями з подібними показниками заломлення.

Наступне, що слід зазначити, це те, що можна мати ситуації, коли жоден можливий кут для заломленого променя не може задовольнити закон Снелла. Вирішуючи закон Снелла за\(\theta_2\), знаходимо

\[ \theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right) , \]

і якщо\(n_1\) більше\(n_2\), то будуть великі значення,\(\theta_1\) для яких величина\((n_1/n_2)\sin\theta \) більше одиниці, а це означає, що ваш калькулятор буде блимати повідомлення про помилку при спробі взяти зворотний синус. Що може статися фізично в такій ситуації? Відповідь полягає в тому, що все світло відбивається, тому немає заломленого променя. Це явище відоме як повне внутрішнє відображення, і використовується в волоконно-оптичних кабелів, які в даний час здійснюють майже всі міжміські телефонні дзвінки.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Повне внутрішнє відображення в волоконно-оптичному кабелі.

Електричні сигнали з вашого телефону надходять до комутаційного центру, де вони перетворюються з електрики в світло. Звідти світло направляється по всій країні тонким прозорим волокном. Світло спрямоване прямо в кінець волокна, і до тих пір, поки волокно ніколи не проходить через занадто різкі повороти, світло завжди буде стикатися з краєм волокна під кутом, досить косим, щоб дати повне внутрішнє відображення. Якщо волоконно-оптичний кабель досить товстий, можна побачити зображення на одному кінці будь-якого іншого кінця.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Спрощений креслення хірургічного ендоскопа. Перша лінза утворює реальне зображення на одному кінці пучка оптичних волокон. Світло передається через пучок, і остаточно збільшується окуляром.

Як варіант, можна використовувати пучок кабелів, так як один товстий кабель занадто важко зігнути. Ця техніка для бачення навколо кутів корисна для того, щоб зробити операцію менш травматичною. Замість того, щоб розрізати людину широко відкритою, хірург може зробити невеликий розріз «замкової щілини» і вставити в тіло пучок волоконно-оптичного кабелю (відомого як ендоскоп).

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Ендоскопічні зображення виразки дванадцятипалої кишки.

Оскільки промені при досить великих кутах по відношенню до нормалі можуть повністю відбиватися, не дивно, що відносна величина відбиття змінюється в залежності від кута падіння, і є найбільшою для великих кутів падіння.

Питання для обговорення

◊ Яким показником заломлення повинна володіти риба, щоб бути невидимою для інших риб?

◊ Чи потрібен хірургу, який використовує ендоскоп, джерело світла всередині порожнини тіла? Якщо так, то як це можна було зробити, не вставляючи лампочку через розріз?

◊ Більш щільний зразок газу має більш високий показник заломлення, ніж менш щільний зразок (тобто зразок під меншим тиском), але чому б не було сенсу, щоб показник заломлення газу був пропорційним щільності?

◊ Земна атмосфера стає все тонше і тонше, коли ви йдете вище на висоті. Якщо промінь світла походить від зірки, яка знаходиться нижче зеніту, що буде з ним, коли він потрапляє в земну атмосферу?

◊ Чи відбувається повне внутрішнє відображення, коли світло в більш щільному середовищі стикається з менш щільним середовищем, або навпаки? Або це може статися в будь-якому випадку?

12.4.2 Лінзи

На малюнках n/1 і n/2 показані приклади лінз, що утворюють зображення. Там, по суті, нічого для вас, щоб дізнатися про зображення з лінзами, які дійсно нові. Ви вже знаєте, як будувати та використовувати променеві діаграми, а також знаєте про реальні та віртуальні зображення. Поняття фокусної відстані об'єктива таке ж, як і для вигнутого дзеркала. Рівняння розташування зображень і визначення збільшень мають однакову форму. Це дійсно просто питання згинання ваших психічних м'язів на декількох прикладах. Наступні самоперевірки та обговорення питання допоможуть вам розпочати роботу.

Малюнок\(\PageIndex{13}\): 1. Сходяться лінза утворює зображення полум'я свічки 2. Розходяться лінзи.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

1. У малюнках Figure\(\PageIndex{13; part 1}\)\(\PageIndex{13; part 2}\) and Figure класифікуйте зображення як реальні або віртуальні.
2. Скло має показник заломлення, який більший, ніж у повітря. Розглянемо самий верхній промінь на малюнку\(\PageIndex{13; part 1}\). Поясніть, чому промінь робить невеликий поворот вліво при вході в лінзу, і ще один лівий поворот при виході.
3. Якби полум'я на малюнку\(\PageIndex{13; part 2}\) було переміщено ближче до об'єктива, що сталося б з місцем розташування зображення?

Відповідь

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Питання для обговорення

◊ На малюнках n/1 і n/2 передня і задня поверхні розташовані паралельно один одному в центрі лінзи. Що буде з променем, який входить поблизу центру, але не обов'язково уздовж осі лінзи? Намалюйте діаграму BIG променів і покажіть промінь, який йде від осі.

У дискусійних питаннях B-F не малюйте наддетальні діаграми променів, як у А.

◊ Припустимо, ви хотіли змінити налаштування на малюнку n/1 так, щоб місце фактичного полум'я на малюнку було зайнято зображенням полум'я. Куди б вам довелося перемістити свічку, щоб досягти цього? А як щодо п/2?

◊ Існує три якісно різних типу формування зображення, які можуть відбуватися з лінзами, з яких цифри n/1 і n/2 вихлопні тільки дві. З'ясуйте, що таке третя можливість. Яка з трьох можливостей може призвести до збільшення більше однієї? Ср. завдання 10, с. 797.

◊ Класифікувати приклади, показані на малюнку o, відповідно до типів зображень, розмежованих у дискусійному питанні С.

◊ На малюнках n/1 і n/2 єдиними промінчиками були ті, що потрапили в лінзи. Обговоріть це стосовно малюнка o.

◊ У правій частині фігури o зображення, яке переглядається через об'єктив, знаходиться у фокусі, але сторона троянди, яка стирчить з-за лінзи, немає. Чому?

Малюнок\(\PageIndex{14}\): Два зображення троянди, створені одним об'єктивом і записані однією і тією ж камерою.

Рівняння лінзмейкера

Малюнок\(\PageIndex{15}\): Радіуси кривизни, що з'являються в рівнянні об'єктива.

Фокусна відстань сферичного дзеркала просто\(r/2\), але ми не можемо очікувати, що фокусна відстань лінзи буде задана чистою геометрією, оскільки це також залежить від показника заломлення лінзи. Припустимо, у нас є лінза, передня і задня поверхні якої обидва сферичні. (Це не велика втрата спільності, оскільки будь-яка поверхня з досить дрібною кривизною може бути наближена зі сферою.) Тоді якщо лінза занурена в середовище з показником заломлення 1, її фокусна відстань задається приблизно на

\[ f = \dfrac{1}{(n-1) \left|\dfrac{1}{r_1}\pm\dfrac{1}{r_2}\right|} \label{LM}\]

де\(n\) - показник заломлення і\(r_1\) і\(r_2\) - радіуси кривизни двох поверхонь кришталика. Рівняння\ ref {LM} відоме як рівняння об'єктива. На мій погляд, це не особливо гідне запам'ятовування. Позитивний знак використовується, коли обидві поверхні вигнуті назовні або обидві вигнуті всередину; в іншому випадку застосовується негативний знак. Доказ цього рівняння залишається як вправа тим читачам, які досить сміливі і мотивовані.

12.4.3 Дисперсія

Для більшості матеріалів ми спостерігаємо, що показник заломлення трохи залежить від довжини хвилі, будучи найвищим на синьому кінці видимого спектру і найнижчим на червоному. Наприклад, біле світло розсіюється в веселку при проходженні крізь призму, q.

Малюнок\(\PageIndex{16}\): Розсіювання білого світла призмою. Біле світло являє собою суміш всіх довжин хвиль видимого спектра. Хвилі різної довжини хвиль піддаються різній кількості заломлення.

Навіть коли задіяні хвилі не є світловими хвилями, і навіть коли заломлення не представляє інтересу, залежність швидкості хвилі від довжини хвилі називається дисперсією. Дисперсія всередині сферичних крапель дощу відповідає за створення веселки на небі, а в оптичному інструменті, такому як око або камера, відповідає за тип аберації, званий хроматичною аберацією (підрозділ 12.3.3 та проблема 28). Як ми побачимо в підрозділі 13.3.2, дисперсія викликає хвилю, яка не є чистою синусоїдою, спотворює свою форму під час подорожі, а також призводить до того, що швидкість, з якою енергія та інформація транспортуються хвилею, відрізнятися від того, що можна було б очікувати від наївного розрахунку. Мікроскопічні причини розсіювання світла в речовині розглядаються в необов'язковому підрозділі 12.4.6.

Принцип найменшого часу для заломлення

Раніше ми бачили, як правила, що регулюють прямолінійний рух світла та відбиття світла, можуть бути виведені з принципу найменшого часу. А як щодо заломлення? На малюнку дійсно правдоподібно, що вигин променя служить для мінімізації часу, необхідного для того, щоб дістатися від точки А до точки Б. Якщо промінь слідував розгнутому шляху, показаному пунктирною лінією, йому доведеться пройти більшу відстань в середовищі, в якому його швидкість повільніша. Згинаючи правильну кількість, він може зменшити відстань, яку він повинен покрити в більш повільному середовищі, не виходячи занадто далеко від свого шляху. Це правда, що закон Снелла дає саме той набір кутів, який мінімізує час, необхідний для того, щоб світло потрапив з однієї точки в іншу. Доказ цього факту залишають як вправу (завдання 38, стор. 802).

Малюнок\(\PageIndex{17}\): Принцип найменшого часу застосовується до заломлення.

Мікроскопічний опис заломлення

Враховуючи, що швидкість світла різна в різних середовищах, ми бачили два різних пояснення (на с. 774 і в підрозділі 12.4.5 вище) того, чому має відбуватися заломлення. Ми ще не пояснили, чому швидкість світла залежить від середовища.

Малюнок\(\PageIndex{18}\): Індекс заломлення кремнезему скла, перемальований з Кітамура, Пілона та Йонаша, Прикладна оптика 46 (2007) 8118, передруковано в Інтернеті за адресою http://www.seas.ucla.edu/~pilon/Publ...s/AO2007-1.pdf.

Хороша підказка щодо того, що відбувається, походить від фігури s відносно незначна варіація індексу заломлення у видимому спектрі вводить в оману. На певних конкретних частотах\(n\) проявляє дикі коливання в позитивному і негативному напрямках. Після кожного такого гойдалки доходимо до нового, нижнього плато на графіку. Ці частоти є резонансами. Наприклад, видима частина спектра лежить на лівому хвості резонансу приблизно\(2\times10^{15}\ \text{Hz}\), що відповідає ультрафіолетовій частині спектра. Цей резонанс виникає внаслідок вібрації електронів, які пов'язані з ядрами немов маленькими пружинами. Оскільки цей резонанс вузький, вплив на частоти видимого світла відносно невеликий, але він сильніший на синьому кінці спектра, ніж на червоному кінці. Біля кожного резонансу не тільки дико коливається показник заломлення, але скло стає майже непрозорим; це тому, що вібрація стає дуже сильною, внаслідок чого енергія розсіюється як тепло. Ефект «сходи» той самий, що видно в будь-якому резонансі, наприклад, цифра k на p. 180: осцилятори мають кінцевий відгук для\(f \ll f_0\), але відповідь наближається до нуля для\(f \gg f_0\).

Поки що ми маємо якісне пояснення частотно-варіації вільно визначеної «сили» ефекту скла на світлову хвилю, але ми не пояснили, чому ефект спостерігається як зміна швидкості, або чому кожен резонанс - це гойдалка вгору вниз, а не один позитивний пік. Щоб більш детально розібратися в цих ефектах, потрібно розглянути фазову характеристику генератора. Як показано на нижній панелі малюнка j на p. 181, фазовий відгук змінюється, коли ми проходимо через резонанс.

Малюнок\(\PageIndex{19}\): 1. Хвиля, що падає на лист скла, збуджує струм в склі, який виробляє вторинну хвилю. Вторинна хвиля накладається на вихідну хвилю, як представлено у комплексному представленні, введеному в підрозділі 10.5.7.

Припустимо, що плоска хвиля зазвичай падає на ліву сторону тонкого аркуша скла, т/1, в\(f \ll f_0\). Світлова хвиля, що спостерігається з правого боку, складається з суперпозиції падаючої хвилі, що складається\(\mathbf{E}_0\)\(\mathbf{B}_0\) з вторинної хвилі\(\mathbf{E}^*\) та\(\mathbf{B}^*\) генерується коливальними зарядами в склі. Оскільки частота набагато нижче резонансу,\(q\mathbf{x}\) реакція вібраційного заряду\(q\) знаходиться в фазі з рушійною силою\(\mathbf{E}_0\). Струм є похідною від цієї величини, а тому на 90 градусів випереджає його по фазі. Магнітне поле, що генерується листом струму, було проаналізовано в підрозділі 11.2.1, і результат, показаний на малюнку е на стор. 664, якраз те, що ми очікуємо від правила правої руки. Ми знаходимо, т/1, що вторинна хвиля на 90 градусів випереджає падаючу по фазі. Падаюча хвиля все ще існує з правого боку аркуша, але вона накладається на вторинну. Їх додавання показано в т/2 з використанням комплексного числового представлення, введеного в підрозділі 10.5.7. Накладення двох полів відстає від падаючої хвилі, що є ефектом, який ми очікували б, якби хвиля повільніше подорожувала крізь скло.

У випадку застосовується той же аналіз\(f \gg 0\), за винятком того, що фаза вторинної хвилі зворотна. Передана хвиля просувається, а не затримується у фазі. Цим пояснюється падіння, яке спостерігається на малюнку s після кожного спайка.

Все це відповідає нашому розумінню відносності, гл. 7, в якому ми\(c\) побачили, що універсальну швидкість слід розуміти принципово як коефіцієнт перетворення між одиницями, що використовуються для вимірювання часу та простору, а не як швидкість світла. Оскільки\(c\) не визначається як швидкість світла, не має принципового значення, чи має світло різну швидкість у речовині, ніж у вакуумі. Насправді, картина, яку ми створили тут, - це та, в якій усі наші електромагнітні хвилі рухаються\(c\); поширення з якоюсь іншою швидкістю - це лише те, що, здається, відбувається через суперпозицію\((\mathbf{E}_0,\mathbf{B}_0)\) та\((\mathbf{E}^*,\mathbf{B}^*)\) хвиль, обидві з яких рухаються\(c\).

Але викликає занепокоєння те, що на частотах де\(n\lt1\), швидкість хвилі більше, ніж\(c\). Відповідно до спеціальної відносності, інформація ніколи не повинна передаватися зі швидкістю, більшою\(c\), оскільки це призведе до ситуацій, коли сигнал може бути отриманий до його передачі! Ця складність вирішується в підрозділі 13.3.2, де ми показуємо, що існують дві різні швидкості, які можуть бути визначені для хвилі в дисперсійному середовищі, фазової швидкості і групової швидкості. Групова швидкість - це швидкість, з якою передається інформація, і вона завжди менше\(c\).

Автори та атрибуція

Template:ContribCrowell