B28: Тонкі лінзи - трасування променів

Лінза - це шматок прозорого матеріалу, поверхні якого були сформовані так, що, коли лінза знаходиться в іншому прозорому матеріалі (називайте його середнім 0), світло, що рухається в середовищі 0, при проходженні через лінзу, перенаправляється для створення зображення джерела світла. Середній 0, як правило, повітря, а лінзи зазвичай виготовляються зі скла або пластику. У цьому розділі ми зосереджуємося на певному класі лінз, класі, відомому як тонкі сферичні лінзи. Кожна поверхня тонкої сферичної лінзи являє собою крихітну частку сферичної поверхні. Наприклад, розглянемо дві сфери:

Шматок скла у формі перетину цих двох сферичних обсягів був би тонкою сферичною лінзою. Перетин двох сферичних поверхонь являє собою коло. Це коло буде обідком лінзи. Розглядається обличчям на, контур тонкої сферичної лінзи являє собою коло.

Площина, в якій лежить це коло, називається площиною лінзи. Переглядаючи край об'єктива на, площину об'єктива виглядає як лінія.

Кожна поверхня тонкої сферичної лінзи має радіус кривизни. Радіус кривизни поверхні тонкої сферичної лінзи - це радіус сфери, частиною якої ця поверхня є. Позначення однієї поверхні лінзи як передньої поверхні лінзи і однієї поверхні як задньої поверхні, на наступній схемі:

ми можемо визначити\(R_1\) як радіус кривизни передньої поверхні лінзи і\(R_2\) як радіус кривизни задньої поверхні лінзи.

Визначальною характеристикою лінзи є величина, яка називається фокусною відстанню об'єктива. На цьому етапі я розповім вам, як можна обчислити значення фокусної відстані об'єктива, виходячи з фізичних характеристик об'єктива, перш ніж я навіть скажу вам, що означає фокусна відстань. (Не хвилюйтеся, хоча, ми скоро дістанемося до визначення.) Рівняння об'єктива дає зворотну фокусної відстані з точки зору фізичних характеристик лінзи (і середовища, в якій виявляється об'єктив):

Рівняння виробника об'єктива:

\[\frac{1}{f}=(n-n_0) \Big(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \Big) \label{28-1}\]

де:

• \(f\)- фокусна відстань об'єктива,
• \(n\)- показник заломлення матеріалу, з якого виготовлена лінза,
• \(n_o\)індекс заломлення середовища, що оточує лінзу (зазвичай\(n_o\) становить 1,00, оскільки середовище, що оточує лінзу, як правило, повітря),
• \(R_1\)- радіус кривизни однієї з поверхонь лінзи, і,
• \(R_2\)- радіус кривизни іншої поверхні лінзи.

Перш ніж ми перейдемо від рівняння виробника об'єктива, мені потрібно розповісти вам про угоду алгебраїчних знаків для значень R. Існує два види сферичних поверхонь лінз. Одним з них є «вигнутий» вид, яким володіє будь-яка лінза, яка є перетином двох сфер. (Це такий об'єктив, про який ми говорили.) Така лінза іменується опуклою лінзою (вона ж сходиться лінза) і кожну («вигнуту») поверхню називають опуклою поверхнею. Радіус кривизни\(R\) для опуклої поверхні, за умовністю, позитивний.

Інший вид поверхні лінзи - це частина сфери, яка не охоплює саму лінзу. Така поверхня, як кажуть, «вигнута» і називається увігнутою поверхнею.

За умовністю абсолютне значення\(R\) для увігнутої поверхні все ще є радіусом сфери, поверхня якої збігається з поверхнею лінзи. Але, величина\(R\) містить додаткову інформацію у вигляді знака мінус, який використовується для позначення того, що поверхня лінзи увігнута. \(R\)ще називають радіусом кривизни поверхні лінзи незважаючи на те, що не існує такого поняття, як сфера, радіус якої насправді негативний.

Підводячи підсумок, наша умовність для радіуса кривизни поверхні лінзи:

Поверхня об'єктива	Алгебраїчний знак радіуса кривизни R
Опуклий
увігнутий

Отже, що ж робить лінза? Він заломлює світло на обох поверхнях. Особливість лінзи - це ефект, який він надає на нескінченний набір променів, колективно. Ми можемо охарактеризувати операційний ефект лінзи з точки зору впливу, який вона надає на вхідні промені, які всі паралельні головній осі лінзи. (Основна вісь лінзи - це уявна лінія, яка перпендикулярна площині лінзи і проходить через центр лінзи.) Сходяться лінза змушує всі
такі промені проходити через одну точку на іншій стороні лінзи. Ця точка є фокусною\(F\) точкою об'єктива. Його відстань від об'єктива називається фокусною\(f\) відстанню об'єктива.

Відзначимо, що на схемі ми показуємо промені світла, що зазнають різку зміну напрямку в площині лінзи. Це називається наближенням тонкої лінзи, і ми будемо використовувати його у всіх наших стосунках з лінзами. Ви знаєте, що світло заломлюється двічі, проходячи через лінзу, один раз на інтерфейсі, де він потрапляє в середовище лінзи, і знову, де він виходить з середовища лінзи. Два заломлення разом змушують вхідні промені рухатися в напрямках, в яких вони подорожують. Тонка лінза наближення розглядає пару заломлень як одну зміну шляху, що відбувається на площині лінзи. Наближення тонкої лінзи добре до тих пір, поки товщина лінзи невелика порівняно з фокусною відстанню, відстанню об'єкта та відстанню зображення.

Промені, паралельні головній осі лінзи, які входять в лінзу з протилежного напрямку (протилежного напрямку променів, розглянутих вище), також будуть змушені сходитися до фокусної точки на іншій стороні лінзи. Дві фокусні точки - це одне і те ж відстань\(f\) від площини об'єктива.

Два явища, розглянуті вище, є оборотними в тому сенсі, що промені світла, що надходять від точкового джерела, в будь-якій точці фокусу, призведуть до паралельних променів з іншого боку лінзи. Тут ми показуємо цю ситуацію для випадку точкового джерела в одному з координаційних точок:

і тут ми показуємо це для випадку точкового джерела в іншому фокусному пункті.

Важливим у цьому є те, що будь-який промінь, який проходить через фокусну точку на шляху до лінзи, після проходження через лінзу буде паралельним головній осі лінзи.

У разі розходяться лінзи, що надходять паралельні промені змушені розходитися:

щоб вони подорожували по лініях, які показує зворотний зв'язок,

всі проходять через одну і ту ж точку. Тобто при проходженні через лінзу колись паралельні промені розходяться так, ніби вони виникли з точки. Ця точка відома як фокусна точка розходяться лінзи. Відстань від площини об'єктива до фокусної точки - це величина фокусної відстані об'єктива. Але, за умовністю, фокусна відстань розходяться лінзи негативне. Іншими словами, фокусна відстань розходяться лінзи - це мінус відстані від площини лінзи до фокусної точки.

Як і у випадку з сходящейся лінзою, на іншій стороні лінзи є ще одна фокусна точка, така ж відстань від площини лінзи, як і фокусна точка, розглянута вище:

Цей ефект є оборотним тим, що будь-який промінь, який рухається через простір на одній стороні лінзи і направляється безпосередньо до фокусної точки на іншій стороні лінзи, після проходження через об'єктив стане паралельним головній осі лінзи.

Наш план тут полягає у використанні фактів про те, що лінза робить для вхідних променів світла, які паралельні головній осі об'єктива або прямують безпосередньо до або від фокусної точки, щоб визначити, де лінза буде формувати зображення об'єкта. Перш ніж ми це зробимо, мені потрібно розповісти вам ще одну річ про обидва види тонких сферичних лінз. Цей останній факт є нагадуванням про те, що вся наша дискусія - це наближення, яке залежить від того, що лінзи, з якими ми маємо справу, дійсно тонкі. Ось новий факт: Будь-який промінь, який прямує безпосередньо до центру лінзи, проходить прямо. Обгрунтування полягає в тому, що в центрі лінзи дві поверхні лінзи паралельні. Отже, в тій мірі, в якій вони паралельні в невеликій області близько центру лінзи, це так, ніби світло проходить через тонкий шматок пластинчастого скла (або будь-який прозорий засіб у формі пластинчастого скла.) Коли світло в повітрі, падає під деяким кутом падіння, відмінним від 0°, на пластинчастому склі, після того, як він потрапляє через обидва інтерфейси повітря/скло, промінь паралельний вхідному променю. Величина, на яку виходить промінь зміщений убік, щодо вхідного променя, залежить від того, наскільки товста пластина - тонша пластина, тим ближче вихідний промінь до колінеарності з вхідним променем. У наближенні тонкої лінзи ми розглядаємо вихідний промінь як точно колінеарний з вхідним променем.

Використання діаграм трасування променів

Враховуючи об'єкт висоти\(h\)\(o\), положення об'єкта та\(f\) фокусну відстань об'єктива, щодо якого задано положення об'єкта, потрібно вміти схематично визначити: де зображення цього об'єкта буде сформовано лінзою, наскільки велике зображення, чи є зображення є прямостоячим (правою стороною вгору) або перевернутим (догори ногами), і чи є зображення реальним чи віртуальним (ці терміни будуть визначені найближчим часом). Ось як ви це робите для випадку розбіжною лінзи заданої фокусної відстані, для якої відстань об'єкта\(o > |f |\):

Намалюйте площину лінзи і головну вісь лінзи. Намалюйте об'єктив, але думайте про це як іконку, просто розповідаючи вам, з якою лінзою ви маєте справу. Продовжуючи роботу з діаграмою, будьте обережні, щоб не показувати промені, що змінюють напрямок на поверхні вашої піктограми. Крім того, переконайтеся, що ви намалювали розбіжну лінзу, якщо фокусна відстань негативна. Виміряйте відстань |f | до обох сторін площини об'єктива та намалюйте фокусні точки. Виміряйте від об'єкта відстань o від площини лінзи, а, висоту h об'єкта. Малюйте в об'єкті.

Визначаємо положення зображення кінчика стрілки за допомогою трьох головних променів. Три основні промені - це промені, на яких ефект лінзи легко визначити, виходячи з нашого розуміння того, що лінза робить для вхідних променів, які рухаються до центру лінзи, вхідні промені, які рухаються до або далеко від фокусної точки, і вхідні промені, які подорожують безпосередньо до центру лінзи. Почнемо з легкого, Principal Ray I. Він залишає кінчик стрілки і прямує прямо до центру лінзи. Він проходить прямо.

Далі йде головний Рей II. Вона йде паралельно головній осі лінзи, і, на площині лінзи, стрибає по розбіжній лінії, яка, якщо простежити назад, проходить через фокусну точку на тій же стороні лінзи, що і об'єкт. Зверніть увагу на необхідність відслідковування.

У випадку з розбіжною лінзою, Principal Ray III - це промінь, який, наближаючись до лінзи, прямує прямо до фокусної точки з іншого боку лінзи. У площині лінзи основний промінь III перестрибує на шлях, паралельний головній осі лінзи.

Зверніть увагу, що, пройшовши через лінзу, всі три промені розходяться один від одного. Trace-back дає видиму точку походження променів, зображення кінчика стрілки. Він знаходиться в тому місці, де перетинаються три лінії. (На практиці, використовуючи лінійку і олівець, через людську помилку лінії будуть перетинатися в трьох різних точках. Вважайте, що це вершини трикутника і намалюйте кінчик стрілки на те, що ви вважаєте геометричним центром трикутника.) Розташувавши зображення кінчика стрілки, намалюйте вал зображення стрілки, показуючи, що вона простягається від точки перетину, до головної осі лінзи, і, що вона перпендикулярна головній осі лінзи.

Вимірювання за допомогою лінійки дають висоту зображення\(h′\) та величину відстані зображення\(|i|\). Зображення, як кажуть, є віртуальним зображенням. Віртуальне зображення точки, це точка, з якої з'являються промені, що випливають, як визначається слідом назад, але, через яку промені не всі, насправді проходять. За умовністю відстань зображення є негативною, коли зображення знаходиться на тій же стороні об'єктива, що і об'єкт. Негативна відстань зображення також означає віртуальне зображення. Зверніть увагу, що зображення прямостояче. За умовністю, прямостояче зображення має позитивну висоту зображення\(h′\). Збільшення M задається:

\[M=\frac{h'}{h}\]

За умовністю позитивне значення\(M\) означає, що зображення зводиться (правою стороною вгору).

Для випадку сходяться лінзи Principal Ray I ідентичний відповідному променю для розбіжної лінзи. Він починається прямо на голові до центру лінзи, і, він проходить прямо через. Основний промінь II починається так само, як Principal Ray II зробив для розходяться лінзи - він йде паралельно головній осі об'єктива - але, починаючи з площини лінзи, а не розходяться, він змушений сходитися в тій мірі, в якій він проходить через фокусну точку на іншій стороні лінзи.

Основний промінь III для сходяться лінзи (з об'єктом далі від лінзи, ніж фокусна точка), проходить через фокусну точку на тій же стороні лінзи (сторона лінзи, на якій знаходиться об'єкт), а потім, коли він потрапляє в площину лінзи, виходить паралельно головній осі лінзи.

Якщо розташувати себе так, щоб промені, пройшовши крізь лінзу, йшли на вас, причому, ви перебуваєте досить далеко від лінзи, ви знову побачите промені, що розходяться від точки. Але цього разу всі промені фактично проходять через цю точку. Тобто лінза сходяться промені до точки, і вони знову не починають розходитися, поки вони не пройдуть через цю точку. Ця точка є зображенням кінчика стрілки. Це справжній образ. Ви можете сказати, тому що якщо ви простежуєте лінії, по яких промені подорожують, ви приходите до точки, через яку насправді подорожують всі промені. Визначивши точку перетину як кінчик стрілки, малюємо вал і головку стрілки.

Цього разу зображення перевернуто. Ми можемо виміряти довжину зображення і відстань зображення від площини дзеркала. За умовністю висота зображення є негативною, коли зображення перевернуто, і відстань зображення є позитивною, коли зображення знаходиться на стороні лінзи, протилежної об'єкту. Збільшення M знову задається

\[M=\frac{h'}{h}\label{28-2}\]

який,\(h′\) будучи негативним, виявляється самим негативним. Це узгоджується з умовністю про те, що негативне збільшення означає, що зображення перевернуто.

Основний промінь III відрізняється для сходяться лінзи, коли об'єкт знаходиться ближче до площини лінзи, ніж фокусна точка дорівнює:

Головний промінь III, як і кожен основний промінь, починається на кінчику об'єкта і рухається до площини лінзи. У випадку під рукою, на шляху до площини об'єктива, Principal Ray III рухається вздовж лінії, яка, якщо простежується назад, проходить через фокусну точку на тій же стороні об'єктива, що і об'єкт.

На цьому наша дискусія щодо визначення особливостей та положення зображення за допомогою трасування променів. Закриваючи цю главу, я узагальнюю умовності алгебраїчних знаків у вигляді таблиці:

Фізична кількість	Символ	Підпишіть конвенцію
фокусна відстань	f	+ для конвергентної лінзи - для розбіжних лінз
відстань зображення	я	+ для реального зображення (на протилежній стороні об'єктива як об'єкта) - для віртуального зображення (на тій же стороні об'єктива, що і об'єкт)
висота зображення	ч'	+ для зведення зображення - для перевернутого зображення
збільшення	М	+ для зведення зображення - для перевернутого зображення