13.5: Хвильова оптика

Електронні мікроскопи можуть робити зображення окремих атомів, але чому мікроскоп видимого світла ніколи не зможе? Стереодинаміки створюють ілюзію музики, яка походить від групи, влаштованої у вашій вітальні, але чому стерео ілюзія не працює з басовими нотами? Чому виробники комп'ютерних чіпів вкладають мільярди доларів в обладнання для травлення чіпів рентгенівськими променями замість видимого світла?

Відповіді на всі ці питання мають відношення до теми хвильової оптики. Поки що ця книга обговорювала взаємодію світлових хвиль з речовиною та її практичне застосування до оптичних пристроїв, таких як дзеркала, але ми використовували променеву модель світла майже виключно. Навряд чи коли-небудь ми явно використовували той факт, що світло - це електромагнітна хвиля. Ми змогли піти з простою моделлю променів, тому що шматки матерії, які ми обговорювали, такі як лінзи та дзеркала, були в тисячі разів більшими за довжину хвилі світла. Тепер перейдемо до явищ і пристроїв, які можна зрозуміти тільки за допомогою хвильової моделі світла.

12.5.1 Дифракція

На малюнку на малюнку\(\PageIndex{1a}\) показана типова проблема в хвильовій оптиці, введена в дію водними хвилями. Може здатися дивним, що ми не отримуємо простий візерунок\(\PageIndex{1b}\), як Рисунок, але візерунок був би таким простим, якби довжина хвилі була в сотні разів коротшою, ніж відстань між зазорами в бар'єрі та шириною проміжків.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): а У цьому вигляді з верхнього боку пряма синусоїдальна хвиля води стикається з бар'єром з двома проміжками в ньому. Сильна хвильова вібрація виникає під кутами X і Z, але немає взагалі під кутом Y (Фігура була ретушована з реальної фотографії водних хвиль. Насправді хвилі за бар'єром були б набагато слабшими, ніж ті, що були до нього, і тому їх було б важко побачити.) b/Цього не відбувається.

Хвильова оптика є широкою темою, але цей приклад допоможе нам вибрати розумний набір обмежень, щоб зробити речі більш керованими:

1. Ми обмежуємося випадками, коли хвиля проходить через рівномірне середовище, стикається з певною областю, в якій середовище має різні властивості, а потім виходить з іншого боку в другу рівномірну область.
2. Ми припускаємо, що вхідна хвиля - це приємний охайний синусоїдальний візерунок з хвильовими фронтами, які є лініями (або, у трьох вимірах, площинами).
3. На малюнку\(\PageIndex{1a}\) ми бачимо, що хвильова картина безпосередньо за бар'єром досить складна, але далі по ній розбирається в набір клинів, розділених щілинами, в яких вода все ще знаходиться. Ми обмежимося вивченням більш простих хвильових закономірностей, які відбуваються далі, так що головне питання, що цікавить, наскільки інтенсивною є вихідна хвиля під заданим кутом.

Вид явища, описаного рестрикцією (1), називається дифракцією. Дифракцію можна визначити як поведінку хвилі, коли вона стикається з перешкодою або нерівномірністю в її середовищі. Загалом, дифракція змушує хвилю нахилятися навколо перешкод і складати моделі сильних і слабких хвиль, що випромінюються за межі перешкоди. Розуміння дифракції є центральною проблемою хвильової оптики. Якщо ви розумієте дифракцію, навіть підмножину дифракційних задач, які підпадають під обмеження (2) та (3), решта хвильової оптики - це глазур на торті.

Дифракція може бути використана для пошуку структури невідомого дифракційного об'єкта: навіть якщо об'єкт занадто малий для вивчення за допомогою звичайної візуалізації, можливо, можна працювати назад від дифракційної картини, щоб дізнатися про об'єкт. Будову кристала, наприклад, можна визначити по його рентгенівської дифракційної картини.

Дифракція також може бути поганою справою. У телескопі, наприклад, світлові хвилі дифрагуються всіма частинами приладу. Це призведе до того, що зображення зірки буде виглядати нечітким навіть тоді, коли фокус був відрегульований правильно. Розуміючи дифракцію, можна дізнатися, як повинен бути сконструйований телескоп, щоб зменшити цю проблему - по суті, він повинен мати максимально можливий діаметр.

Існує два способи, за допомогою яких обмеження (2) зазвичай може бути порушено. По-перше, світло може бути сумішшю довжин хвиль. Якщо ми просто хочемо спостерігати дифракційну картину або використовувати дифракцію як техніку для вивчення об'єкта, який робить дифракцію (наприклад, якщо об'єкт занадто малий, щоб побачити за допомогою мікроскопа), то ми можемо пропустити світло через кольоровий фільтр, перш ніж його дифрагувати.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Практична, низькотехнологічна установка для спостереження за дифракцією світла.

Друге питання полягає в тому, що світло від таких джерел, як сонце або лампочка, не складається з приємної акуратної плоскої хвилі, за винятком дуже маленьких областей простору. Різні частини хвилі знаходяться поза кроком один з одним, а хвиля іменується як некогерентна. Один із способів боротьби з цим показаний на малюнку\(\PageIndex{2}\). Після фільтрації, щоб вибрати певну довжину хвилі червоного світла, ми пропускаємо світло через невелику щіпку. Область світла, яка перехоплюється точковим отвором, настільки мала, що одна його частина не йде в ногу з іншою. За межами точкового отвору світло поширюється сферичною хвилею; це аналогічно тому, що відбувається, коли ви говорите в одному кінці рулону паперового рушника, а звукові хвилі поширюються у всіх напрямках з іншого кінця. На той час, як сферична хвиля потрапляє до подвійної щілини, вона розширилася і зменшила свою кривизну, так що тепер ми можемо думати про неї як про просту плоску хвилю.

d/Нижня фігура - це просто копія середньої частини верхньої, збільшеної в два рази. Всі кути однакові. Фізично кутова картина дифракційних бахром не може бути різною, якщо ми масштабуємо обидва\(\lambda\) і\(d\) за одним і тим же коефіцієнтом, залишаючи\(\lambda/d\) незмінним.

Якщо це здається трудомістким, ви можете з полегшенням знати, що сучасні технології дають нам простіший спосіб виробляти однохвильовий когерентний промінь світла: лазер.

Частини кінцевого зображення на екрані на малюнку\(\PageIndex{2}\) називаються дифракційними бахромами. Центр кожної бахроми - точка максимальної яскравості, а на півдорозі між двома бахромою - мінімум.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Discussion Question

Чому рентгенівські промені, а не видиме світло будуть використані для пошуку структури кристала? Звукові хвилі використовуються для створення зображень плодів в утробі матері. Що вплине на вибір довжини хвилі

12.5.2 Масштабування дифракції

Ця глава має «оптику» у своїй назві, тому номінально мова йде про світло, але ми почали з прикладу за участю водних хвиль. Водні хвилі, звичайно, легше візуалізувати, але чи є це законним порівнянням? Насправді аналогія працює досить добре, незважаючи на те, що світлова хвиля має довжину хвилі приблизно в мільйон разів коротше. Це пов'язано з тим, що дифракційні ефекти масштабуються рівномірно. Тобто, якщо ми збільшимо або зменшимо всю дифракційну ситуацію на той самий коефіцієнт, включаючи як довжини хвиль, так і розміри перешкод, з якими стикається хвиля, результат все ще є дійсним рішенням.

Це надзвичайно проста поведінка! У підрозділі 0.2.2 ми побачили багато прикладів більш складного масштабування, таких як неможливість бактерій розміром з собак або необхідність слона усунути тепло через вуха через його невелике співвідношення поверхні до об'єму, тоді як спосіб життя крихітної землерийки зосереджується навколо збереження тепла свого тіла.

Звичайно, водні хвилі і світлові хвилі відрізняються багато в чому, не тільки за масштабом, але загальні факти, які ви дізнаєтеся про дифракції, застосовні до всіх хвиль. У певному сенсі було б доцільніше вставити цю главу після розділу 6.2 про обмежені хвилі, але багато важливих додатків стосуються світлових хвиль, і ви, мабуть, знайшли б це набагато складніше без будь-якого фону в оптиці.

Інший спосіб констатувати просту поведінку масштабування дифракції полягає в тому, що кути дифракції, які ми отримуємо, залежать лише від безодиничного\(\lambda \) співвідношення/d, де\(\lambda\) довжина хвилі і\(d\) є деякою розмірністю дифракційних об'єктів, наприклад, міжцентровим інтервалом між прорізи на малюнку а Якщо, наприклад, ми збільшимо обидва\(\lambda \) і\(d\) в 37 разів, співвідношення\(\lambda /d\) буде незмінним.

12.5.3 Принцип листування

Єдина причина, по якій ми зазвичай не помічаємо дифракції світла в повсякденному житті, полягає в тому, що ми зазвичай не маємо справу з предметами, порівнянними за розміром з довжиною хвилі видимого світла, яка становить близько мільйонної частини метра. Чи означає це, що хвильова оптика суперечить променевій оптиці, або що хвильова оптика іноді дає неправильні результати? Ні. Якщо ви тримаєте три пальці під сонячним світлом і кидаєте ними тінь, для прогнозування прямого результату можна використовувати або хвильову оптику, або променеву оптику: тіньовий малюнок з двома яскравими лініями, де світло пройшло через проміжки між пальцями. Хвильова оптика є більш загальною теорією, ніж променева оптика, тому в будь-якому випадку, коли променева оптика дійсна, дві теорії погодяться. Це приклад загальної ідеї, висловленої фізиком Нільсом Бором, яка називається принципом відповідності: коли недоліки фізичної теорії призводять до створення нової і більш загальної теорії, нова теорія все одно повинна погодитися зі старою теорією в межах своєї більш обмеженої області застосовність. Адже теорія створюється лише як спосіб опису експериментальних спостережень. Якби первісна теорія взагалі не спрацювала, вона б ніколи не стала прийнятою.

У випадку з оптикою принцип відповідності говорить нам про те,\(\lambda /d\) що при невеликому рівні і промінь, і хвильова модель світла повинні давати приблизно однаковий результат. Припустимо, ви розправляєте пальці і кидаєте ними тінь за допомогою когерентного джерела світла. Кількість\(\lambda /d\) приблизно\(10^{-4}\), тому дві моделі погодяться дуже тісно. (Якщо бути конкретним, тіні ваших пальців будуть окреслені серією світлих і темних бахром, але кут, підтягнутий бахромою, буде на порядку\(10^{-4}\) радіанів, тому вони будуть непомітні і вимиваються природною нечіткістю країв сонячних тіней, викликаної кінцевим розміром сонця. )

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Яку довжину хвилі мала б мати електромагнітна хвиля, щоб різко дифракціюватися навколо вашого тіла? Чи суперечить це принципу відповідності?

Відповідь

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

12.5.4 Принцип Гюйгенса

/Крістіан Гюйгенс (1629-1695).

f/Двощілинна дифракція.

Повертаючись до прикладу двощілинної дифракції, f, зверніть увагу на сильне візуальне враження двох перекриваються множин концентричних півкіл. Це приклад принципу Гюйгенса, названого на честь голландського фізика і астронома. (Перший склад римується з «хлопчик».) Принцип Гюйгенса стверджує, що будь-який хвильовий фронт може бути розбитий на багато невеликих піків хвилі пліч-о-пліч, г, які потім поширюються як кругові брижі, h, і за принципом суперпозиції, результат складання цих наборів брижів повинен дати той же результат, що дозволяє хвилі поширюватися вперед, i.

г/Хвильовий фронт можна проаналізувати за принципом суперпозиції, розбиваючи його на безліч дрібних частин.

h/Якби це було саме по собі, кожна з частин розтікалася б у вигляді кругової пульсації.

i/Складання брижі створює новий хвильовий фронт.

У випадку звукових або світлових хвиль, які поширюються в трьох вимірах, «брижі» насправді сферичні, а не кругові, але ми часто можемо уявити речі в двох вимірах для простоти.

У двощілинній дифракції застосування принципу Гюйгенса візуально переконливо: ніби всі набори брижів були заблоковані, крім двох. Це досить дивовижний математичний факт, однак, що принцип Гюйгенса дає правильний результат у випадку безперешкодної лінійної хвилі, h і i Теоретично нескінченна кількість кругових хвильових візерунків якось змовляються, щоб скласти разом і створити простий лінійний хвильовий рух, з яким ми знайомі.

Оскільки принцип Гюйгенса еквівалентний принципу суперпозиції, а суперпозиція - властивість хвиль, те, що створив Гюйгенс, було по суті першою хвильовою теорією світла. Однак він уявляв світло як серію імпульсів, як плескати руками, а не як синусоїдальну хвилю.

Історія цікава. Ісаак Ньютон настільки любив атомну теорію матерії, що захоплено шукав докази того, що світло також було зроблено з крихітних частинок. Шляхи його світлових частинок відповідали б променям у нашому описі; єдина суттєва різниця між променевою моделлю та моделлю частинок світла відбулася б, якби можна було виділити окремі частинки і показати, що світло має «зернистість» до нього. Ньютон ніколи цього не робив, тому, хоча він думав про свою модель як про модель частинок, точніше сказати, що він був одним із будівельників променевої моделі.

Майже все, що було відомо про відбиття і заломлення світла, можна було інтерпретувати однаково добре з точки зору моделі частинок або хвильової моделі, але Ньютон мав одну причину сильно протилежної хвильової теорії Гюйгенса. Ньютон знав, що хвилі демонструють дифракцію, але дифракцію світла важко спостерігати, тому Ньютон вважав, що світло не проявляє дифракції, а тому не повинно бути хвилею. Хоча критичні зауваження Ньютона були досить справедливими, дебати також взяли на себе підтекст націоналістичної суперечки між Англією та континентальною Європою, що підживлюється англійським обуренням щодо передбачуваного плагіату Лейбніца обчислення Ньютона. Ньютон написав книгу про оптику, і його престиж і політична популярність, як правило, перешкоджали сумніву його моделі.

j/ Томас Янг

Томас Янг (1773-1829) був людиною, яка, нарешті, через сто років зробила ретельний пошук ефектів хвильових перешкод зі світлом і правильно проаналізувала результати. Він спостерігав подвійну щілинну дифракцію світла, а також безліч інших дифракційних ефектів, всі з яких показали, що світло проявляє хвильові інтерференційні ефекти, і що довжини хвиль видимого світла були надзвичайно короткими. Вінцевим досягненням стала демонстрація експериментатором Генріхом Герцом і теоретиком Джеймсом Клерком Максвеллом, що світло - це електромагнітна хвиля. Кажуть, що Максвелл пов'язував своє відкриття зі своєю дружиною одного зоряного вечора і сказав їй, що вона єдина інша людина у світі, яка знала, що таке зоряне світло.

12.5.5 Двічі щілинна дифракція

k/Двощілинна дифракція.

Давайте тепер проаналізуємо подвійну щілинну дифракцію, k, використовуючи принцип Гюйгенса. Найцікавіше питання полягає в тому, як обчислити кути, такі як X і Z, де інтенсивність хвилі максимальна, і проміжні кути, такі як Y, де вона мінімізована. Відміряємо всі наші кути щодо вертикальної осьової лінії фігури, яка була початковим напрямком поширення хвилі.

л/Використання принципу Гюйгенса.

Якщо припустити, що ширина щілин невелика (на порядку довжини хвилі хвилі або менше), то можна уявити тільки єдиний набір брижів Гюйгенса, що розпливаються з кожної, л. білі лінії представляють піки, чорні - жолоби. Єдиний розмір дифракційних щілин, який впливає на геометричний малюнок перекриваються брижі\(d\), - це відстань між центрами між прорізами.

m/Конструктивні перешкоди по осьовій лінії.

З нашого обговорення масштабування дифракції ми знаємо, що має бути деяке рівняння, яке пов'язує кут, подібний\(\theta_Z\) до співвідношення\(\lambda /d\),

\[\begin{equation*} \frac{\lambda}{d} \leftrightarrow \theta_Z . \end{equation*}\]

Якщо рівняння для\(\theta_Z\) залежало від якогось іншого виразу, наприклад\(\lambda +d\) або\(\lambda^2/d\), то воно зміниться, коли ми масштабуємо\(\lambda \) і\(d\) за тим же коефіцієнтом, що порушило б те, що ми знаємо про масштабування дифракції.

Уздовж центральної максимальної лінії, X, ми завжди маємо позитивні хвилі, що збігаються з позитивними і негативні хвилі, що збігаються з негативними. (Я довільно вирішив зробити знімок візерунка в момент, коли хвилі, що виходять з щілини, відчувають позитивний пік.) Таким чином, суперпозиція двох наборів брижів призводить до подвоєння амплітуди хвилі уздовж цієї лінії. Відбувається конструктивне втручання. Це легко пояснити, тому що за допомогою симетрії кожна хвиля повинна була пройти рівну кількість довжин хвиль, щоб дістатися від її щілини до центральної лінії, м: Оскільки обидва набори брижів мають десять довжин хвиль, щоб охопити, щоб досягти точки вздовж напрямку X, вони будуть в кроці, коли вони туди потраплять.

У точці вздовж напрямку Y, показаного на тому ж малюнку, одна хвиля пройшла десять довжин хвиль і, отже, знаходиться в позитивній крайності, але інша пройшла лише дев'ять з половиною довжин хвиль, тому вона в негативній крайності. Існує ідеальне скасування, тому точки уздовж цієї лінії не відчувають руху хвиль.

Але пройдена відстань не обов'язково повинна бути рівною, щоб отримати конструктивне втручання. У точці уздовж напрямку Z одна хвиля пішла дев'ять довжин хвиль, а інша десять. Вони обидва знаходяться в позитивній крайності.

самостійна перевірка:

У точці на половину довжини хвилі нижче точки, зазначеної уздовж напрямку X, проводять аналогічний аналіз.

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Підводячи підсумок, ми матимемо ідеальні конструктивні перешкоди в будь-якій точці, де відстань до однієї щілини відрізняється від відстані до іншої щілини на ціле число довжин хвиль. Ідеальні руйнівні перешкоди виникнуть, коли кількість довжин хвиль різниці довжини шляху дорівнює цілому числу плюс половину.

n/Хвилі подорожують відстані\(L\) і\(L'\) від двох щілин, щоб дістатися до однієї і тієї ж точки в просторі, під кутом\(\theta\) від центральної лінії.

Тепер ми готові знайти рівняння, яке пророкує кути максимумів і мінімумів. Хвилі подорожують на різну відстань, щоб дістатися до однієї точки в просторі, п. Нам потрібно знайти, чи є хвилі у фазі (у кроці) або поза фазою в цій точці, щоб передбачити, чи будуть конструктивні перешкоди, руйнівні перешкоди чи щось середнє.

o/Крупним планом малюнок n, що показує, як різниця довжини шляху\(L-L'\) пов'язана з кутом\(d\) і з ним\(\theta\).

Одне з наших основних припущень у цій главі полягає в тому, що ми будемо мати справу лише з дифракційною хвилею в областях, дуже далеких від об'єкта, який його дифрактує, тому трикутник довгий і худий. Більшість реальних прикладів з дифракцією світла насправді мали б трикутники з рівними пропорціями шкіри, ніж цей. Таким чином, дві довгі сторони дуже майже паралельні, і ми виправдані в малюванні прямокутного трикутника, показаного на малюнку o, позначаючи одну ніжку прямокутного трикутника як різницю в довжині шляху\(L-L'\), і позначаючи гострий кут як\(\theta \). (Насправді цей кут трохи більше, ніж той, який позначений на\(\theta \) малюнку n.)

Різниця в довжині шляху пов'язана з\(\theta \) рівнянням\(d\) і

\[\begin{equation*} \frac{L-L'}{d} = \sin \theta . \end{equation*}\]

Конструктивна перешкода призведе до максимуму під кутами, для яких\(L-L'\) є ціле число довжин хвиль,

\[\begin{multline*} L-L' = m\lambda . \\ {\text{[condition for a maximum;}}\ \text{$m$ is an integer]} \end{multline*}\]

Тут\(m\) дорівнює 0 для центрального максимуму,\(-1\) для першого максимуму ліворуч,\(+2\) для другого максимуму справа і т.д. склавши всі інгредієнти разом, знаходимо\(m\lambda/d=\sin \theta \), або

\[\begin{multline*} \frac{\lambda}{d} = \frac{\sin\theta}{m} . \\ {\text{[condition for a maximum;}}\ \text{$m$ is an integer]} \end{multline*}\]

Аналогічно умова для мінімуму

\[\begin{multline*} \frac{\lambda}{d} = \frac{\sin\theta}{m} . \\ {\text{[condition for a minimum;}}\ \text{$m$ is an integer plus $1/2$]} \end{multline*}\]

Тобто мінімуми знаходяться приблизно на півдорозі між максимумами.

Як і очікувалося на основі масштабування, це рівняння пов'язує кути з безодиничним співвідношенням\(\lambda /d\). Крім того, можна сказати, що ми довели властивість масштабування в окремому випадку подвійної щілинної дифракції. Це було неминуче, щоб результат мав ці властивості масштабування, оскільки весь доказ був геометричним, і був би однаково дійсним при збільшенні або зменшенні на копіювальній машині!

Контрінтуїтивно це означає, що дифракційний об'єкт з меншими розмірами створює більшу дифракційну картину, p.

p/ Розрізання\(d\) навпіл подвоює кути дифракційних бахром.

Приклад 12: Двощілинна дифракція синього та червоного світла
Синє світло має коротшу довжину хвилі, ніж червоний. Для заданого двощілинного інтервалу\(d\) менша величина\(\lambda /d\) for призводить до менших значень\(\sin \theta \), а отже, до більш близького набору дифракційних бахром q q/ Двощілинні дифракційні візерунки довгохвильового червоного світла (зверху) та короткохвильового синього світла (знизу).

Приклад 13: Принцип відповідності

Розглянемо також, як рівняння двощілинної дифракції відносяться до принципу відповідності. Коли співвідношення\(\lambda /d\) дуже мало, ми повинні відновити випадок простої променевої оптики. Тепер, якщо\(\lambda /d\) він невеликий,\(\sin\theta \) повинен бути невеликим, а відстань між дифракційними бахромами також буде невеликим. Хоча ми цього не довели, центральна бахрома завжди найяскравіша, а бахрома стає тьмянішою і тьмянішою, коли ми йдемо далі від неї. При малих значеннях\(\lambda /d\), частина дифракційного малюнка, яка є досить яскравою, щоб її можна було виявити, охоплює лише невеликий діапазон кутів. Це саме те, що ми очікували б від променевої оптики: промені, що проходять через дві щілини, залишатимуться паралельними, і продовжували б рухатися в\(\theta =0\) напрямку. (Насправді на екрані були б зображення двох окремих прорізів, але наш аналіз був весь з точки зору кутів, тому ми не повинні очікувати, що він вирішить питання про те, чи є структура всередині набору променів, які всі рухаються у\(\theta =0\) напрямку.)

Приклад 14: Відстань між бахромами під малими кутами

При малих кутах ми можемо використовувати наближення\(\sin\theta\approx\theta\), яке справедливо, якщо\(\theta \) вимірюється в радіанах. Рівняння для двощілинної дифракції стає просто \[\begin{equation*} \frac{\lambda}{d} = \frac{\theta}{m} , \end{equation*}\] які можна вирішити,\(\theta \) щоб дати \[\begin{equation*} \theta = \frac{m\lambda}{d} . \end{equation*}\] Різниця в куті між послідовними бахромами - це зміна\(\theta \), що виникає внаслідок зміни\(m\) на плюс або мінус один, \[\begin{equation*} \Delta\theta = \frac{\lambda}{d} . \end{equation*}\] r/Інтерпретація кутового інтервалу\(\Delta\theta\) в прикладі 14. Його можна визначити як від максимуму до максимуму, так і від мінімуму до мінімуму. Так чи інакше, результат однаковий. Не має сенсу намагатися інтерпретувати\(\Delta\theta\) як ширину бахроми; з графіка та на зображенні нижче видно, що не очевидно, що така річ чітко визначена, або що вона буде однаковою для всіх бахром. Наприклад, якщо ми пишемо\(\theta_7\) для кута сьомої яскравої бахроми з одного боку центрального максимуму і\(\theta_8\) для сусідньої, то маємо \[\begin{align*} \theta_8-\theta_7 &= \frac{8\lambda}{d}-\frac{7\lambda}{d}\\ &= \frac{\lambda}{d} , \end{align*}\] і аналогічно для будь-якої іншої сусідньої пари бахроми.

Хоча\(\lambda /d=\sin \theta /m\) рівняння справедливе лише для подвійної щілини, воно все ще може бути керівництвом до нашого мислення, навіть якщо ми спостерігаємо дифракцію світла вірусом або ногою блохи: завжди вірно, що

(1) великі значення\(\lambda /d\) свинцю до широкої дифракційної картини, і

(2) дифракційні візерунки повторюються.

У багатьох випадках рівняння виглядає так само, як,\(\lambda /d =\sin \theta /m\) але з додатковим числовим коефіцієнтом, що вкидається, і\(d\) інтерпретується як якийсь інший вимір об'єкта, наприклад, діаметр шматка дроту.

12.5.6 Повторення

с/Потрійна щілина.

Припустимо, ми замінюємо подвійну щілину потрійною щілиною, с., Ми можемо думати про це як про третє повторення структур, які були присутні в подвійній щілині. Чи буде цей пристрій покращенням над подвійною щілиною з будь-яких практичних причин?

Відповідь так, як це можна показати за допомогою малюнка u Для зручності візуалізації я порушив наше звичне правило тільки розглядати точки, дуже далекі від дифракційного об'єкта. Масштаб малюнка такий, що довжина хвиль дорівнює одному см. У u/1 всі три хвилі подорожують цілим числом довжин хвиль, щоб досягти тієї ж точки, тому є яскрава центральна пляма, як ми очікували від нашого досвіду з подвійною щілиною. На малюнку u/2 ми показуємо довжини шляху до нової точки. Ця точка знаходиться далі від щілини А на чверть довжини хвилі і відповідно ближче до щілини С. Відстань від щілини В практично не змінилося. Оскільки довжини шляхів, пройдених з щілин A і C, відрізняються на половину довжини хвилі, між цими двома хвилями будуть ідеальні руйнівні перешкоди. Існує ще деяка нескасована інтенсивність хвилі через щілини В, але амплітуда буде втричі менше, ніж на малюнку u/1, що призведе до зменшення яскравості в 9 разів. Таким чином, трохи рухаючись вправо, ми перейшли від яскравого центрального максимуму до точки, яка є досить темною.

u/1. Є яскравий центральний максимум 2. У цей момент трохи від центрального максимуму, довжини шляху, пройденого трьома хвилями, змінилися.

Тепер давайте порівняємо з тим, що сталося б, якби щілина C була покрита, створивши звичайну стару подвійну щілину. Хвилі, що надходять з щілин A і B, були б поза фазою на 0.23 довжини хвиль, але це не спричинило б дуже серйозних перешкод. Точка на малюнку u/2 була б досить яскраво освітлена.

Підводячи підсумок, ми виявили, що додавання третьої щілини різко звужує центральну бахрому. Те ж саме стосується і всіх інших бахром, а так як однакова кількість енергії зосереджена в більш вузьких дифракційних бахромах, кожна бахрома яскравіше і легше видно, т.

t/Двощілинний дифракційний візерунок (зверху) та візерунок, виконаний п'ятьма прорізами (знизу).

Це приклад більш загального факту про дифракцію: якщо повторюється якась особливість дифракційного об'єкта, то місця розташування максимумів і мінімумів незмінні, але вони стають більш вузькими.

Прийнявши це міркування до свого логічного завершення, дифракційний об'єкт з тисячами прорізів би створював надзвичайно вузькі бахроми. Такий об'єкт називається дифракційної решіткою.

12.5.7 Одно-щілинна дифракція

Якщо ми використовуємо лише одну щілину, чи існує дифракція? Якщо щілина не широка в порівнянні з довжиною хвилі світла, то ми можемо наблизити її поведінку, використовуючи лише один набір брижів Гюйгенса. Немає інших наборів брижів, щоб додати до нього, тому немає ніяких конструктивних або руйнівних ефектів втручання, і немає максимумів або мінімумів. Результатом стане рівномірна сферична хвиля світла, що поширюється на всі боки, як те, що ми очікували від крихітної лампочки. Ми могли б назвати це дифракційною схемою, але вона абсолютно безликова, і вона не може бути використана, наприклад, для визначення довжини хвилі світла, як це могли б інші дифракційні моделі.

Все це, однак, передбачає, що щілина вузька порівняно з довжиною хвилі світла. Якщо, з іншого боку, щілина ширша, дійсно буде перешкода серед наборів брижів, що поширюються з різних точок уздовж отвору. На малюнку v показаний приклад з водними хвилями, а цифра w зі світлом.

v/Однощілинна дифракція водних хвиль.

ж/Однощілинна дифракція червоного світла. Зверніть увагу на подвійну ширину центрального максимуму.

x/Досить гарне моделювання однощілинного малюнка фігури v, зроблене за допомогою трьох двигунів для отримання перекриваються брижі з трьох сусідніх точок у воді.

самостійна перевірка:

Як довжина хвилі хвиль порівнюється з шириною щілини на малюнку v?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Ми не будемо вдаватися в подробиці аналізу однощілинної дифракції, але давайте подивимося, як її властивості можуть бути пов'язані із загальними речами, які ми дізналися про дифракцію. Ми знаємо на основі аргументів масштабування, що кутові розміри ознак у дифракційній схемі повинні бути пов'язані з довжиною хвилі та шириною щілини деяким співвідношенням форми\(a\)

\[\begin{equation*} \frac{\lambda}{a} \leftrightarrow \theta . \end{equation*}\]

Це дійсно так, і, наприклад, кут між максимумом центральної бахроми і максимумом наступної бахроми з одного боку дорівнює\(1.5\lambda/a\). Масштабування аргументів ніколи не дасть таких факторів, як 1.5, але вони говорять нам, що відповідь повинна включати\(\lambda /a\), тому всі знайомі якісні факти є правдивими. Наприклад, світло з короткою довжиною хвилі буде виробляти більш тісно розташовану дифракційну картину.

y/Зображення зоряного скупчення Плеяд. Кругові кільця навколо яскравих зірок обумовлені однощілинною дифракцією в гирлі трубки телескопа.

Важливим науковим прикладом однощілинної дифракції є телескопи. Зображення окремих зірок, як на малюнку у, є хорошим способом вивчити дифракційні ефекти, оскільки всі зірки, крім сонця, знаходяться настільки далеко, що жоден телескоп, навіть при найбільшому збільшенні, не може зобразити їх диски або особливості поверхні. Таким чином, будь-які особливості зображення зірки повинні бути обумовлені виключно оптичними ефектами, такими як дифракція. Навколо найяскравішої зірки з'являється видатний хрест, а більш тьмяні оточують більш тьмяні зірки. Щось подібне видно на більшості фотографій телескопа, і вказує на те, що всередині трубки телескопа були дві перпендикулярні стійки або опори. Світло дифрагувалося навколо цих підкосів. Ви можете подумати, що дифракція може бути повністю усунена шляхом позбавлення від усіх перешкод у трубці, але кола навколо зірок - це дифракційні ефекти, що виникають внаслідок однощілинної дифракції в гирлі трубки телескопа! (Насправді ми навіть не говорили про дифракцію через круговий отвір, але ідея така ж.) Оскільки кутові розміри дифракційних зображень залежать\(\lambda \) від/a, єдиним способом покращити роздільну здатність зображень є збільшення діаметра трубки.\(a\) Це одна з головних причин (крім потужності, що збирає світло), чому найкращі телескопи повинні бути дуже великими в діаметрі.

z/Радіотелескоп.

самостійна перевірка:

Що б це означало про радіотелескопи порівняно з телескопами видимого світла?

(відповідь у зворотному боці PDF-версії книги)

Дифракція з подвійною щілиною легше зрозуміти концептуально, ніж дифракція з однією щілиною, але якщо ви проводите дифракційний експеримент з подвійною щілиною в реальному житті, ви, швидше за все, зіткнетеся зі складною схемою, як фігура aa/1, а не простіший, 2, який ви очікували. Це пояснюється тим, що щілини досить великі порівняно з довжиною хвилі використовуваного світла. У нас дійсно є дві різні відстані в нашій парі щілин:\(d\) відстань між прорізами, і\(w\), ширина кожної щілини. Пам'ятайте, що менші відстані на об'єкті, навколо якого дифрагує світло, відповідають більшим особливостям дифракційної картини. Таким чином, візерунок 1 має два інтервали в ньому: короткий інтервал, відповідний великій відстані\(d\), і довгий інтервал, який відноситься до малого розміру\(w\).

аа/1. Дифракційний малюнок, утворений справжньою подвійною щілиною. Ширина кожної щілини досить велика в порівнянні з довжиною хвилі світла. Це справжнє фото. 2. Ця ідеалізована картина, швидше за все, не відбудеться в реальному житті. Щоб отримати його, вам потрібно, щоб кожна щілина була настільки вузькою, щоб її ширина була порівнянна з довжиною хвилі світла, але це зазвичай неможливо. Це не справжня фотографія. Справжня фотографія однощілинної дифракційної картини, викликаної щілиною, ширина якої така ж, як ширина щілин, використовуваних для створення верхнього візерунка.

Обговорення Питання

◊ Чому оптично неможливо розвивати очі, які використовують видиме світло для формування зображень?

Принцип найменшого часу

У підрозділі 12.1.5 і 12.4.5 ми побачили, як в променевої моделі світла як заломлення, так і відображення можна описати елегантно і красиво за єдиним принципом, принципом найменшого часу. Тепер ми можемо обґрунтувати принцип найменшого часу, заснований на хвильовій моделі світла. Розглянемо приклад із залученням рефлексії, ab. Починаючи з точки А, принцип Гюйгенса для хвиль говорить нам, що ми можемо думати про хвилю як про поширення в усіх напрямках. Припустимо, ми уявляємо всі можливі шляхи, якими промінь міг пройти від А до Б. Ми показуємо це, намалювавши 25 можливих шляхів, з яких центральний є найкоротшим. Оскільки принцип найменшого часу з'єднує хвильову модель з моделлю променя, ми повинні очікувати отримання найбільш точних результатів, коли довжина хвилі набагато коротша за задіяні відстані - для цього числового прикладу скажімо, що довжина хвилі становить 1/10 найкоротшого відбитого шляху від А до Б. У таблиці, 2, показані відстані, пройдені 25 променями.

Зверніть увагу, наскільки схожі відстані, пройдені групою 7 променів, позначені дужкою, які наближаються до дотримання принципу найменшого часу. Якщо ми думаємо про кожного з них як про хвилю, то всі 7 знову майже в фазі в точці B. Однак промені, які знаходяться далі від задоволення принципу найменшого часу, показують більш швидко змінюються відстані; при возз'єднанні в точці B їх фази є випадковим перемиканням, і вони дуже майже скасують один одного. Таким чином, майже жодна енергія хвилі, що доставляється до точки В, не йде цими довшими шляхами. Фізично ми виявляємо, наприклад, що хвильовий пульс, що випромінюється при А, спостерігається при B через проміжок часу, що відповідає дуже майже найкоротшому шляху, і імпульс не дуже «розмазується», коли він потрапляє туди. Чим коротше довжина хвилі в порівнянні з розмірами фігури, тим точнішими стають ці наближені твердження.

ab/Light може приймати багато різних шляхів від А до Б.

Замість того, щоб малювати скінченну кількість променів, таких 25, що станеться, якщо ми думаємо про кут\(\theta \), випромінювання променя як безперервно мінливу змінну? Мінімізація відстані\(L\) вимагає

\[\begin{equation*} \frac{dL}{d\theta} = 0 . \end{equation*}\]

Оскільки\(L\) повільно змінюється поблизу кута, який задовольняє принципу найменшого часу, всі промені, які виходять близько до цього кута, мають дуже майже однакові\(L\), і залишаються дуже майже в фазі, коли вони досягають B. Це основна причина, чому дискретна таблиця, ab/2, вийшла мати групу променів, які всі пройшли майже однакову відстань.

Як обговорювалося в підрозділі 12.1.5, принцип найменшого часу насправді є принципом найменшого або найбільшого часу. Це має сенс, так як\(dL/d \theta =0\) може взагалі описати або мінімум, або максимум

Принцип найменшого часу дуже загальний. Це стосується не лише заломлення та відбиття — його навіть можна використовувати, щоб довести, що світлові промені подорожують по прямій лінії через порожній простір, не беручи об'їздів! Цей загальний підхід до хвильового руху використовував Річард Фейнман, один з піонерів, який у 1950-х роках примирив квантову механіку з відносністю. Дуже читабельне пояснення дано в книзі Фейнман, написаної для мирян, QED: Дивна теорія світла і матерії.

Автори та атрибуція

• Template:ContribCrowell