17.10: Вода

Вода складається з маси\(M\) («кисню»), з'єднаної з двома меншими рівними масами\(m\) («воднем») двома рівними пружинами силових постійних\(k\), кут між пружинами якого є\(2\theta \). Рівноважна довжина кожної пружини дорівнює\(r\). Крутний момент, необхідний для збільшення кута між пружинами на\(2\delta \theta \) є\(2c\delta \theta \). Див. Рисунок XVII.10. (\(\theta \)становить близько 52°.)

У будь-який час нехай координати трьох мас (зліва направо) будуть

\( (x_1,y_1), \qquad (x_2,y_2), \qquad (x_3,y_3) \)

і нехай положення рівноваги

\((x_{10},y_{10}), \qquad (x_{20},y_{20}), \qquad (x_{30},y_{30}), \text{ where} y_{30} = y_{10} \)

Ми припускаємо, що ці координати відносяться до кадру, в якому центр маси системи нерухомий.

Спробуємо уявити, на малюнку XVII.11, коливальні режими. Ми можемо легко уявити собі режим, при якому кут відкривається і закривається симетрично. Дозвольте вирішити цей режим у\(x\) -commonent та\(y\) -commonent. У\(x\) -компоненті цього руху один атом водню рухається вправо на відстань,\(q_1\) а інший рухається вліво на рівну відстань\(q_1\). У\(y\) -компоненті цього симетричного руху обидва водню рухаються вгору на відстань\(q_2\), в той час як, щоб центр маси системи не рухався, кисень обов'язково рухається вниз на відстань\(2mq_2/M\). Ми також можемо уявити асиметричний режим, в якому одна пружина розширюється, а інша стискається. Один водень рухається вліво на відстань\(q_3\), а інший рухається вгору вліво на ту ж відстань. Тим часом кисень повинен рухатися вправо на відстань\((2mq_3 \sin \theta )/M\), щоб центр маси не рухався.

Ми спробуємо записати кінетичну та потенційну енергії з точки зору внутрішніх координат\(q_1, q_2\) і\(q_3\).

Легко записати кінетичну енергію за\( (x , y) \) координатами:

\[ T\ =\ \frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}\ +\ \dot{y}_{1}^{2})\ +\ \frac{1}{2}M(\dot{x}_{2}^{2}\ +\ \dot{y}_{2}^{2})\ +\frac{1}{2}m(\dot{x}_{3}^{2}\ +\ \dot{y}_{3}^{2}). \label{17.10.1} \]

З геометрії ми маємо:

\[ \begin{align} \dot{x}_{1} &=\ \dot{q}_{1}-\dot{q}_{3}\sin\theta \\[5pt] \dot{y}_{1} &= \dot{q}_{2}-\dot{q}_{3}\cos\theta \label{17.10.2a,b} \\[5pt] \dot{x}_{2} &= \frac{2m\dot{q}_{3}\sin\theta}{M} \\[5pt] \dot{y}_{2} &= -\frac{2m\dot{q}_{2}}{M} \label{17.10.3a,b} \\[5pt] \dot{x}_{3} &= -\dot{q}_{1} - \dot{q}_{3}\sin\theta \\[5pt] \dot{y}_{3} &= \dot{q}_{2}\ +\ \dot{q}_{3}\cos\theta \label{17.10.4a,b} \end{align} \]

Поклавши їх у рівняння,\( \ref{17.10.1} \) отримаємо

\[ T\ =\ m\dot{q}_{1}^{2}\ +\ m\left(1+\frac{2m}{M}\right)\dot{q}_{2}^{2}\ +\ m\left(1+\frac{(2m\sin^{2}\theta)}{M}\right)\dot{q}_{3}^{2} \label{17.10.5} \]

Коротше кажучи, я збираюся написати це як

\[ T=a_{11}\dot{q}_{1}^{2}+a_{22}\dot{q}_{2}^{2}+a_{33}\dot{q}_{3}^{2} \label{17.10.6} \]

Тепер про потенційну енергію.

Подовження лівої пружини

\[ \delta r_{1}=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\cos\theta-\frac{2mq_{2}\cos\theta}{M}+q_{3}+\frac{2mq_{3}\sin\theta\cos\theta}{M}\\=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\left(\frac{1+2m}{M}\right)\cos\theta+q_{3}\left(1+\frac{(2m\sin^{2}\theta)}{M }\right) \label{17.10.7} \]

Розширення правої пружини

\[ \delta r_{2}=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\cos\theta-\frac{2mq_{2}\cos\theta}{M}-q_{3}-\frac{2mq_{3}\sin^{2}\theta}{M}\\=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\left(\frac{1+2m}{M}\right)\cos\theta-q_{3}\left(1+\frac{(2m\sin^{2}\theta)}{M }\right). \label{17.10.8} \]

Збільшення кута між пружинами становить

\[ 2\delta\theta=-\frac{2q_{1}\cos\theta}{r}\ +\ \frac{2(1+\frac{2m}{M})q_{2}\sin\theta}{r}. \label{17.10.9} \]

Потенційна енергія (вище положення рівноваги)

\[ V=\frac{1}{2}k(\delta r_{1})^{2}\ +\ \frac{1}{2}k(\delta r_{2})^{2}\ +\ \frac{1}{2}c(2\delta\theta)^{2}. \label{17.10.10} \]

Про підстановці рівнянь\( \ref{17.10.7}\),\( \ref{17.10.8}\) а\( \ref{17.10.9}\) в це отримуємо рівняння виду

\[ V=b_{11}q_{1}^{2}\ +\ 2bq_{12}q_{1}q_{2}\ +\ b_{22}q_{2}^{2}\ +\ b_{33}q_{3}^{2}, \label{17.10.11} \]

де я залишаю його читачеві, якщо він/вона бажає, опрацювати докладні вирази для коефіцієнтів. У нас все ще є перехресний член, тому ми не можемо повністю розділити координати, але ми можемо легко застосувати рівняння Лагранжа до рівнянь\ ref {17.10.6} і\ ref {17.10.11}, а потім шукати прості гармонічні рішення звичайним способом. Встановлення визначника коефіцієнтів в нуль призводить до наступного рівняння для кутових частот нормальних режимів:

\[ \begin{bmatrix}b_{11}-\omega^{2}a_{11} & b_{12} & 0 \\ b_{12} & b_{22}-\omega^{2}a_{22} & 0\\ 0 & 0 & b_{33}-\omega^{2}a_{33} \end{bmatrix}\ =\ 0. \label{17.10.12} \]

Таким чином, враховуючи маси\(r, \theta, k\) і і\(c\), можна передбачити частоти нормальних режимів. Чи можна обчислити\(k\) і\(c\) задати частоти? Не знаю, по правді кажучи. Чи можу я залишити це читачеві для подальшого дослідження?