16.9: Плавучі тіла

Це найстрашніша тема в гідростатиці.

Ми можемо почати із спостереження, яке ми вже зробили в Розділі 16.7, а саме, якщо тіло вільно плаває, гідростатична тяга дорівнює вазі тіла.

Я також введу тут термін центр плавучості, який є центром маси витісненої рідини. У вільно плаваючому тілі в рівновазі центр плавучості знаходиться вертикально нижче центру маси плаваючого тіла. Що стосується обчислення моменту навколо деякої осі гідростатичної тяги, то підйом можна вважати, що діє через центр плавучості, так само, як вага об'єкта можна вважати, що діє через його центр маси. Див. Розділ 1.1 глави 1, наприклад, для обговорення цього питання.

Крім того, перш ніж ми почнемо йти, ось ще одна невелика проблема.

Завдання 8

На кресленні зображено тіло, відносна щільність якого (тобто його щільність щодо щільності рідини, в якій він плаває) є$s_{1}$. Пунктирна лінія - це ділянка водопроводу.

Тепер, на наступному кресленні, тіло точно такого ж розміру і форми (але не обов'язково однакової щільності) плаває догори дном, з тим же перетином ватерлінії.

Яка відносна щільність цього другого тіла?

Відповідь

Встановимо деякі позначення.

$V$= загальний обсяг кожного тіла

$fV$= об'єм рідини, витісненої першим тілом (тобто обсяг нижче ватерлінії на першому кресленні)

$(1-f)V$= об'єм рідини, витісненої другим тілом (тобто обсяг нижче ватерлінії на другому кресленні)

$\rho_{0}$= щільність рідини

$\rho_{1}$ = щільність першого тіла =$s_{1}\rho_{0}$

$\rho_{2}$ = щільність першого тіла =$s_{2}\rho_{0}$

$\text{g}$= гравітаційне прискорення

Зараз:

Вага першого тіла = маса рідини, що витісняється:$V\rho_{1}\text{g}=fV\rho_{0}\text{g}$ тобто.$s_{1}=f$

Вага другого тіла = маса рідини, що витісняється:$V\rho_{2}\text{g}=(1-f)V\rho_{0}\text{g}$ тобто.$s_{2}=f$

Звідси$\underline{\underline{s_{2}=f}}$.

Я хочу зараз подивитися на стабільність рівноваги вільно плаваючого тіла. Хоча на перший погляд це може бути не дуже цікавою темою, якщо вам коли-небудь трапиться бути пасажиром на океанському лайнері, то ви можете знайти це досить цікаво, бо вам буде цікаво дізнатися, якщо лайнеру надається невелике кутове переміщення з вертикального положення, чи буде він перекидатися і кинути вас в море, або чи правильно воно себе. За таких обставин це дійсно стає дуже цікавою темою.

Перш ніж почати, я просто хочу встановити один невеликий геометричний результат.

На малюнку XVI.9 показана плоска двосторонньо-симетрична площа. Я намалював пунктирну лінію через центроїд області. Області ліворуч і праворуч від цієї лінії є$A_{1}$ і$A_{2}$, і я вказав положення центроїдів цих двох областей. (Я не розрахував позиції трьох центроїдів точно - я просто намалював їх приблизно там, де я думав, що вони будуть.) Зверніть увагу на те, що, так як пунктирна лінія йде через центроїд всієї області,$A_{1}\overline{x}_{1}=A_{2}\overline{x}_{2}$. Тепер поверніть область навколо пунктирною лінії через кут$\theta$. За теоремою Паппуса (див. Розділ 1, розділ 1.6) обсяг,$A_{1}$ змітається є$A_{1}\times\overline{x}_{1}\theta$ і обсяг, змітається$A_{2}$ є$A_{2} \times \overline{x}_{2} \theta$. Таким чином, ми встановили геометричний результат, який я хотів, а саме: коли двостороння симетрична область обертається навколо осі, перпендикулярної її осі симетрії і проходячи через її центроїд, області зліва і праворуч від осі обертання змітаються рівні обсяги.

Тепер ми можемо повернутися до плаваючих тіл, і я збираюся розглянути стійкість рівноваги двосторонньо симетричного плаваючого тіла до обертального зміщення навколо осі, що лежить в ділянці водної лінії і перпендикулярно осі симетрії.

Я намалював на малюнку XVI.10 центр маси C всього тіла, центр плавучості H та центроїд ділянки водної лінії. Тіло двосторонньо симетричне щодо площини паперу, і ми будемо обертати тіло навколо осі через O перпендикулярно площині паперу, і ми хочемо знати, чи рівновага стабільна проти такого кутового зміщення. Ми будемо обертати його таким чином, щоб об'єм зануреного не змінювався обертанням - а це означає, що гідростатична тяга залишатиметься рівною вазі тіла, і вертикального прискорення не буде. Геометрична теорема, яку ми щойно встановили, показує, що якщо ми обертаємо тіло навколо осі через центроїд ділянки водопровідної лінії, об'єм, занурений, буде постійним; навпаки, наша умова, що об'єм зануреного є постійним, означає, що обертання відбувається навколо осі через центроїд ділянки водопроводу.

Я збираюся встановити набір прямокутних осей, початок O, з$x$ -віссю вправо,$y$ -вісь до вас, і$z$ -вісь вниз. Я буду називати глибину центру H плавучості$\overline{z}$. Тепер проведемо обертання близько О через кут$\theta$.

Я намалював положення нового центру плавучості H 'і хочу знайти його координати$(\overline{x}',\overline{z}')$ відносно O. Ми виявимо, що він трохи перемістився горизонтально порівняно з початковим положенням H, але його глибина майже незмінна. Дійсно$\theta$, для малого, ми знайдемо$\theta^{2}$,$\overline{z}'-\overline{z}$ що порядок, а$\overline{x}'-\overline{x}$ порядок$\theta$. Таким чином, до першого порядку в$\theta$, я припускаю, що глибина центру плавучості залишилася незмінною.

Однак$\overline{x}'$ координата нового центру плавучості буде цікава з наступної причини. Вага тіла діє в центрі маси C, тоді як гідростатична тяга діє в новому центрі плавучості H ', і ці дві сили утворюють пару і надають крутний момент. Ви зрозумієте з малюнка XVI.11, що якщо H 'знаходиться зліва від C, крутний момент перекине тіло, тоді як якщо H' знаходиться праворуч від C, крутний момент стабілізує тіло. Дійсно, горизонтальна відстань між C і H 'відома як правий важіль. Точка на лінії COH вертикально вище H 'називається метацентром. Я не намалював його на схемі, щоб мінімізувати безлад, але я буду використовувати символ M для позначення метацентру. Ми бачимо, що умовою стабільності рівноваги є те, що HM > HC. Ось чому ми зацікавлені в тому, щоб знайти точне положення нового центру плавучості H '.

У верхній частині малюнка XVI.12 я намалював старий і новий ділянки водної лінії, як видно збоку, а в нижній частині я намалював новий ділянку водної лінії, видно зверху. Я вказав елементний об'єм$\delta x$ ширини витісненої рідини на відстані$x$ від центроїда О ділянки водопроводу. Для$\theta$ невеликої глибини цей елемент є$x\theta$. Назвемо його площа на ділянці$\delta A$ водопроводу, щоб елемент об'єму був$x\theta\delta A$. Назвемо загальний обсяг витісненої рідини (який не змінений обертанням)$V$.

Розглянемо моменти об'єму близько$x$ -осі. У нас є

$V\overline{z}'=V\overline{z}\ -\ \int_{O}^{A'}\frac{1}{2}x\theta .x\theta\delta A\ +\ \int_{O}^{B'}\frac{1}{2}x\theta .x\theta\delta A$

$$V(\overline{x}'-\overline{x})=\theta\int_{A'}^{B'}x^{2}dA. \label{16.9.1}$$

Таким чином, як стверджувалося раніше, вертикальне зміщення центру плавучості є порядковим$\theta^{2}$, і, до першого порядку в,$\theta$ може бути знехтовано.

Тепер розглянемо моменти обсягу близько$y$ -осі. У нас є

$V\overline{x}'=V\overline{x}\ -\ \int_{O}^{A'}x\theta\ dA\ x\ +\ \int_{O}^{A'}x\theta\ dA\ x$

$$V\ (\overline{x}'-\overline{x})\ =\ \theta\int_{A'}^{B'}x^{2}dA. \label{16.9.2}$$

Але інтеграл з правого боку Рівняння$\ref{16.9.2}$$A$ є$Ak^{2}$, де площа ділянки водопроводу, і$k$ його радіус обертання.

Таким чином

$$HH'=\frac{Ak^{2}\theta}{V}. \label{16.9.3}$$

Тепер$HH'\ =\ HM\ \sin\ \theta$, де M - метацентр, або, в першому порядку в$\theta$, HH '= HM%$\theta$.

$$\text{HM}\ =\ \frac{Ak^{2}}{V}. \label{16.9.4}$$

Тому умовою стабільності рівноваги є те, що

$$\frac{Ak^{2}}{V}>\text{HC}. \label{16.9.5}$$

Тут,$A$ і$k^{2}$ зверніться до розділу водопроводу,$V$ це об'єм занурений, а HC - відстань між центром плавучості та центром маси.

Приклад. Припустимо, що тіло являє собою куб бічної$2a$ і відносної щільності$s$. Ділянка водопроводу - квадрат, а$A=4a^{2}$ і$k^{2}=\frac{a^{2}}{3}$. Обсяг зануреного є$8a^{3}s$. Відстань між центрами маси і плавучості є$a(1-s)$, і тому умовою стійкості є

$$\frac{a}{6s}>a(1-s) \label{16.9.6}$$

Рівновага нестабільна, якщо

$$6s^{2}\ -\ 6s \ +\ 1<0. \label{16.9.7}$$

Тобто рівновага нестабільна, якщо$s$ знаходиться між$0.2113$ і$0.7887$. Куб буде плавати вертикально тільки в тому випадку, якщо щільність менше$0.2113$ або якщо вона більше$0.7887$.

Завдання 9

Тут, в Британській Колумбії, є велика лісозаготівельна промисловість, і багато колод плавають горизонтально у воді. Вони поступово перезволожуються, і, коли щільність колоди майже така ж щільна, як вода, вертикальне положення стає стабільним, а кінчики колоди до вертикального положення, майже всі вони занурені, лише на дюйм або близько того над поверхнею. Тоді це стає небезпекою для човнів. Якщо довжина колоди є$2l$ і радіус його дорівнює$a$, яка найменша відносна щільність, при якій вертикальне положення стабільно?

Відповідь

Умова стабільності рівноваги полягає в тому, що

$\frac{Ak^{2}}{V}>\text{HC}$

Тут,$A$ і$k^{2}$ зверніться до розділу водопроводу,$V$ це об'єм занурений, а HC - відстань між центром маси та центром плавучості.

У даному випадку ми маємо колоду радіусу$a$ і довжини$2l$. В даному випадку

$A=\pi a^{2},\quad k^{2}=\frac{1}{2}a^{2},\quad V=2\pi a^{2}l$.

$\frac{Ak^{2}}{V}=\frac{a^{2}}{4l}$

Щільність колоди =$\rho$ Щільність води =$\rho_{0}$ Відносна щільність$s=\frac{\rho}{\rho_{0}}$ Деякі відстані: АБ =$2l$ змінного струму =$l$ СБ =$2ls$ АС =$2l(1-s)$ Ш =$ls$ СК = АС - АС =$2ls-l$ 2лс-л\) НС = Ш - СК =$l(1-s)$ Умова стабільності полягає в тому, що$\frac{a^{2}}{4l}>l(1-s)$ Тобто:$s>1\ -\frac{1}{4}\left(\frac{\text{diameter}}{\text{length}}\right)^{2}$.

довжина/діаметр =	0.5	0,71	1	2	10	40
відносна щільність >	0	0,50	0,75	0,9375	0,9975	0,9988

Плоске колоду, довжина якого менше половини його діаметра, плаває своєю віссю вертикально, незалежно від його щільності (за умови, звичайно, що вона менше, ніж у води, коли вона буде тонути). Якщо його довжина дорівнює його діаметру, він буде плавати вертикально за умови, що його щільність становить не менше 0,75 щільності води. Дуже довге колоду плаває горизонтально до тих пір, поки майже повністю не просочиться водою, а потім перекинеться у вертикальне положення, майже повністю занурене, коли його не легко видно і це тоді становить небезпеку для човнів. Умова вертикально-плаваючої стабільної рівноваги проілюстровано на двох графіках нижче.

ParseError: ")" expected (click for details)

Callstack:
    at (фізики/Класична_механіка/Класична_механіка_(Tatum)/16:_Гідростатика/16.09:_Плавучі_тіла), /content/body/pre, line 1, column 48