27.6: Принцип Архімеда - плавуча сила

Коли ми поміщаємо шматок твердої деревини у воду, деревина плаває на поверхні. Щільність більшості лісів менше щільності води, і тому той факт, що деревина плаває, не здається таким дивним. Однак такі об'єкти, як кораблі, побудовані з таких матеріалів, як сталь, які набагато щільніше води, також плавають. В обох випадках, коли плаваючий об'єкт знаходиться в стані спокою, повинна бути якась інша сила, яка точно врівноважує силу тяжіння. Це балансування сил також справедливо і для самої рідини.

Розглянемо статичну рідину з рівномірною щільністю\( \rho_{f}\). Розглянемо довільний об'ємний елемент рідини з об'ємом V і масою\(m_{f}=\rho_{f} V\). Гравітаційна сила діє на об'ємний елемент, спрямований вниз, і задається тим\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{8}=-\rho_{f} V g \hat{\mathbf{k}}\), де\(\hat{\mathbf{k}}\) знаходиться одиничний вектор, що вказує у напрямку вгору. Тиск на поверхню перпендикулярно поверхні (рис. 27.6). Тому на кожній площі елемента поверхні є перпендикулярна сила на поверхні. Тиск на поверхню перпендикулярно поверхні (рис. 27.6). Тому на кожній площі елемента поверхні є перпендикулярна сила на поверхні.

Малюнок 27.6: Сили внаслідок тиску на поверхню рідкого елемента довільного об'єму

Малюнок 27.7: Діаграма сили вільного тіла на об'ємному елементі, що показує гравітаційну силу та плавучу силу

Нехай\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{B}\) позначають результуючу силу, звану плавучою силою, на поверхні об'ємного елемента за рахунок тиску рідини. Плавуча сила повинна точно врівноважувати силу тяжіння, оскільки рідина знаходиться в статичній рівновазі (рис. 27.7),\[\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{F}}^{B}+\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=\overrightarrow{\mathbf{F}}^{B}-\rho_{f} V g \hat{\mathbf{k}} \nonumber \] Тому\[\overrightarrow{\mathbf{F}}^{B}=\rho_{f} V g \hat{\mathbf{k}} \nonumber \] плавуча сила, отже, плавуча сила залежить від щільності рідини, гравітаційної постійної та об'єму рідкого елемента. Цей макроскопічний опис плавучої сили, що виникає внаслідок дуже великої кількості зіткнень молекул рідини, називається принципом Архімеда.

Тепер ми можемо зрозуміти, чому, коли ми поміщаємо камінь у воду, він тоне. Щільність каменю більше, ніж щільність води, і тому плавуча сила на камені менше, ніж гравітаційна сила на камені, і тому вона прискорюється вниз.

Помістіть рівномірний об'єкт об'ємом V і масою M з щільністю\(\rho_{o}=M / V\) всередині рідини. Якщо щільність предмета менше щільності рідини, ρ, об'єкт буде\(\rho_{o}<\rho_{f}\) плавати на поверхні рідини. Частина предмета, яка знаходиться під поверхнею, витісняє\(V_{1}\) обсяг рідини. Частина предмета, яка знаходиться над поверхнею, витісняє\(V_{2}=V-V_{1}\) обсяг повітря (рис. 27.8).

Малюнок 27.8: Плаваючий об'єкт на поверхні рідини

Оскільки щільність повітря набагато менше щільності рідини, ми можемо знехтувати плавучою силою повітря на об'єкт.

Малюнок 27.9: Діаграма сили вільного тіла на плаваючому об'єкті

Плавуча сила рідини на об'єкті,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{f, o}^{B}=\rho_{f} V_{1} g \hat{\mathbf{k}}\) повинна точно врівноважувати гравітаційну силу на об'єкті за рахунок землі,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{e, \rho}^{g}\)\[\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{f, o}^{B}+\overrightarrow{\mathbf{F}}_{e, o}^{g}=\rho_{f} V_{1} g \hat{\mathbf{k}}-\rho_{o} V g \hat{\mathbf{k}}=\rho_{f} V_{1} g \hat{\mathbf{k}}-\rho_{o}\left(V_{1}+V_{2}\right) g \hat{\mathbf{k}} \nonumber \] тому співвідношення обсягу оголених і занурених частин об'єкта повинно задовольняти\[\rho_{f} V_{1}=\rho_{o}\left(V_{1}+V_{2}\right) \nonumber \] Ми можемо вирішити Eq. (27.6.4) і визначити співвідношення обсягу оголених і занурених частин об'єкта\[\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{\left(\rho_{f}-\rho_{o}\right)}{\rho_{o}} \nonumber \] Ми тепер також можемо зрозуміти, чому плаває корабель масою М. Більш щільна сталь витісняє обсяг води,\(V_{s}\) але набагато більший обсяг води\(V_{w}\) витісняється повітрям. Плавуча сила на кораблі є тоді\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{s}^{B}=\rho_{f}\left(V_{s}+V_{w}\right) g \hat{\mathbf{k}} \nonumber \] Якщо ця сила дорівнює за величиною Mg, корабель буде плавати.

Приклад 27.4 Принцип Архімеда: Плаваюча деревина

Розглянемо склянку рівномірної площі поперечного перерізу А, заповнену водою щільності\(\rho_{w}\). Коли в стакан поміщений прямокутний брусок з дерева площею поперечного перерізу\(A_{2}\), висоти і маси\(M_{b}\), дно блоку знаходиться на невідомій глибині z нижче поверхні води. (а) Наскільки нижче поверхні z знаходиться нижня частина блоку? (б) На скільки піднялася висота води в склянці, коли блок помістили в склянку?

Рішення

Ми нехтуємо плавучою силою через витіснене повітря, оскільки вона незначна порівняно з плавучою силою через воду. Стакан, з плаваючим блоком деревини, показаний на малюнку 27.10.

Малюнок 27.10 Блок деревини, що плаває в склянці води

(а) Щільність блоку деревини -\(\rho_{b}=M_{b} / V_{b}=M_{b} / A_{b} h\) Об'єм зануреної частини деревини становить\(V_{1}=A_{b} z\). Обсяг блоку над поверхнею задається по\(V_{2}=A_{b}(h-z)\). Ми можемо застосувати Eq. (27.6.5), і визначити, що Тепер\[\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{A_{b}(h-z)}{A_{b} z}=\frac{(h-z)}{z}=\frac{\left(\rho_{w}-\rho_{b}\right)}{\rho_{b}} \nonumber \] ми можемо вирішити Eq. (27.6.7) для глибини z дна блоку\[z=\frac{\rho_{b}}{\rho_{w}} h=\frac{\left(M_{b} / A_{b} h\right)}{\rho_{w}} h=\frac{M_{b}}{\rho_{w} A_{b}} \nonumber \]

(б) Перед тим, як блок був поміщений в склянку, обсяг води в склянці дорівнює\(V_{w}=A s_{i}\), де\(s_{i}\) початкова висота води в склянці. Коли деревина плаває в склянці, обсяг води в склянці дорівнює тому\(V_{w}=A s_{f}-A_{b} z\), де\(s_{f}\) знаходиться кінцева висота води, в склянці і\(A_{b} z\) є об'ємом зануреної частини блоку. Оскільки обсяг води не змінився\[A s_{i}=A s_{f}-A_{b} z \nonumber \] Ми можемо вирішити Eq. (27.6.9) для зміни висоти води\(\Delta s=s_{f}-s_{i}\), в плані i глибина z дна блоку, Тепер\[\Delta s=s_{f}-s_{i}=\frac{A_{b}}{A} z \nonumber \] підставляємо Eq. (27.6.8) в Eq. (27.6.10) і визначаємо зміну висоти води\[\Delta s=s_{f}-s_{i}=\frac{M_{b}}{\rho_{w} A} \nonumber \]

Приклад 27.5 Рок всередині плаваючої салатниці

Камінь маси г і щільності\(m_{r}\) поміщають в салатник з масою\(m_{b}\). Салатник і скеля плавають в склянці води щільності\(\rho_{w}\). Стакан має площу поперечного перерізу А. породу потім виймають з чаші і дають опуститися на дно мензурки. Підвищується або падає рівень води при падінні породи в воду?

Малюнок 27.11: Скеля в плаваючому салатнику

Рішення

Коли гірська порода поміщається в плаваючий салатник, обсяг V води витісняється. Плавуча сила\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{B}=\rho_{w} V g \hat{\mathbf{k}}\) врівноважує силу тяжіння на скелі і салатниці,\[\left(m_{r}+m_{b}\right) g=\rho_{w} V g=\rho_{w}\left(V_{1}+V_{2}\right) g \nonumber \] де\(V_{1}\) знаходиться частина обсягу витісненої води, яка необхідна для врівноваження якраз сили тяжіння на скелі\(m_{r} g=\rho_{w} V_{1} g\), і\(V_{2}\) є частиною обсягу зміщеного вода, яка необхідна для врівноваження саме сили тяжіння на чаші\(m_{b} g=\rho_{w} V_{2} g\), Тому\(V_{1}\) повинна задовольняти умову, що\(V_{1}=m_{r} g / \rho_{w}\). Обсяг породи задається по\(V_{r}=m_{r} / \rho_{r}\). Зокрема\[V_{1}=\frac{\rho_{r}}{\rho_{w}} V_{r} \nonumber \] Оскільки щільність породи більша за щільність води, скеля витісняє більше води\(\rho_{r}>\rho_{w}\), коли вона плаває, ніж коли вона занурена у воду,\(V_{1}>V_{r}\). Тому рівень води падає, коли скеля опускається в воду з салатниці.

Приклад 27.6 Блок, що плаває між нафтою та водою

Кубічний брусок з дерева, кожна сторона довжиною l = 10 см, плаває на стику між повітрям і водою. Потім повітря замінюється d = 10 см масла, яке плаває поверх води.

а) Підніметься чи впаде блок? Коротко поясніть свою відповідь.

Після того, як масло було додано та встановлено рівновагу, кубічний блок деревини плаває на межі розділу між нафтою та водою з нижньою поверхнею\(h=2.0 \times 10^{-2} \mathrm{m}\) нижче межі розділу. Щільність масла є\(\rho_{o}=6.5 \times 10^{2} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3}\). Щільність води становить\(\rho_{w}=1.0 \times 10^{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{-3}\).

б) Яка щільність блоку деревини?

Рішення

(а) Плавуча сила дорівнює гравітаційній силі на блоці. Тому\[\rho_{b} g V=\rho_{\mathrm{w}} g V_{1}+\rho_{a} g\left(V-V_{1}\right) \nonumber \] де\(V_{1}\) обсяг води,\(V_{2}=V-V_{1}\) витісняється блоком, - це обсяг повітря, витісненого блоком V - це обсяг блоку,\(\rho_{b}\) це щільність блоку деревини, а\(\rho_{a}\) це щільність повітря (рис. 27.12 (а)).

Малюнок 27.12: (а) Блок, що плаває на воді, (б) Блок, що плаває на межі розділу нафти - вода

Тепер вирішуємо екв. (27.6.14) для обсягу води, витісненої блоком

\[V_{1}=\frac{\left(\rho_{b}-\rho_{a}\right)}{\left(\rho_{w}-\rho_{a}\right)} V \nonumber \]Коли масло додається, ми можемо повторити аргумент, що веде до Eq. (27.6.15),\(\rho_{a}\) замінивши на\(\rho_{o}\), (рис. 27.12 (b)), поступаючись

\[\rho_{b} g V=\rho_{w} g V_{1}^{\prime}+\rho_{\sigma} g V_{2}^{\prime} \nonumber \]

де\(V_{1}^{\prime}\) - обсяг води, витісненої\(V_{2}^{\prime}\) блоком, - обсяг масла, витісненого блоком, V - обсяг блоку, а ρ b - щільність блоку деревини. \(V_{2}^{\prime}=V-V_{1}^{\prime}\)Тому що ми переписуємо Eq. (27.6.16) як

\[\rho_{b} g V=\rho_{\mathrm{w}} g V_{1}^{\prime}+\rho_{o} g\left(V-V_{1}^{\prime}\right) \nonumber \]Тепер вирішуємо екв. (27.6.17) для обсягу води, витісненої блоком,

\[V_{1}^{\prime}=\frac{\left(\rho_{b}-\rho_{o}\right) V}{\left(\rho_{w}-\rho_{o}\right)} \nonumber \]Тому що\(\rho_{o} \gg \rho_{a}\), порівнюючи рівняння (27.6.18) і (27.6.15), ми робимо висновок, що\(V_{1}^{\prime}>V_{1}\). Блок піднімається, коли масло додається, оскільки витісняється більше води.

(б) Використовуємо той факт\(V_{1}^{\prime}=l^{2} h, V_{2}^{\prime}=l^{2}(l-h)\), що, і\(V=l^{3}\), в ур. (27.6.16) і вирішуємо для щільності блоку

\[\rho_{b}=\frac{\rho_{w} V_{1}^{\prime}+\rho_{o} V_{2}^{\prime}}{V}=\frac{\rho_{w} l^{2} h+\rho_{o} l^{2}(l-h)}{l^{3}}=\left(\rho_{w}-\rho_{o}\right) \frac{h}{l}+\rho_{o} \nonumber \]

Тепер підставляємо задані значення з постановки задачі і знаходимо, що щільність блоку дорівнює

\ [\ begin {масив} {l}
\ rho_ {b} =\ лівий (\ лівий (1.0\ раз 10^ {3}\ mathrm {кг}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ праворуч) -\ вліво (6.5\ раз 10^ {2}\ mathrm {кг}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ праворуч)\ frac {\ ліворуч (2.0\ раз 10^ {-2}\ mathrm {m}\ праворуч)} {\ ліворуч (1,0\ раз 10^ {-1}\ mathrm {m}\ праворуч)} +\ ліворуч (6.5\ раз 10^ {2}\ mathrm {кг }\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}\ право)\
\ rho_ {b} =7.2\ раз 10^ {2}\ математика {кг}\ cdot\ mathrm {m} ^ {-3}
\ кінець {масив}\ nonnumber\]

Тому що\(\rho_{b}>\rho_{o}\), вищевказаний аналіз є дійсним.