16.6: Центр тиску

«Центр тиску - це точка, в якій тиск може вважатися діючим». Це досить безглузде речення, все ж воно не зовсім позбавлене всього сенсу. Якщо ви звернетеся до лівої частини малюнка XVI.5, ви побачите нескінченне число (я намалював лише вісім) сил. Якби ви замінили всі ці сили єдиною силою, куди б ви її поклали? Або, точніше, якби ви замінили всі ці сили однією силою такою, що (перший) момент цієї сили про лінію через поверхню рідини такий самий, як (перший) момент всіх фактичних сил, де б ви розмістили цю єдину силу? Ви б поставили його в центр тиску. Глибина центру тиску - це глибина такої, що момент сумарної сили на вертикальній поверхні навколо лінії в поверхні рідини такий же, як момент всіх гідростатичних сил навколо лінії в поверхні рідини. Я використовую грецьку$\zeta$ букву для позначення глибини центру тиску. Ми можемо продовжувати використовувати малюнок XVI.5.

Сила на смузі області$dA$ на глибині$z$, як ми бачили$\rho gzdA$, тому перший момент цієї сили є$\rho gz^{2}dA$. Таким чином, загальний момент$\rho g\int z^{2}dA$ є, за визначенням радіуса обертання ($k$див. Розділ 2),$\rho gk^{2}A$. Загальна сила, як ми бачили, є,$pg\overline{z}A$ і загальний момент має бути в цей час$\zeta$. Таким чином, глибина центру тиску дорівнює

$$\zeta = \dfrac{k^{2}}{\overline{z}} \label{16.6.1}$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Напівкруглий жолоб радіусу$a$ заповнюється водою, щільністю$\rho$. Один напівкруглий кінець жолоба вільно шарнірний по його діаметру (товста лінія на малюнку). Яку силу необхідно докласти в нижній частині корита, щоб кінець не розгойдався?

Рішення

Площа півкола дорівнює$\frac{1}{2}\pi a^{2}$. Глибина центроїда$\frac{4a}{3\pi}$ така загальна гідростатична сила$\frac{2}{3}\rho ga^{2}$. Квадрат радіуса обертання є$\frac{1}{4}a^{2}$, тому глибина центру тиску дорівнює$\zeta = \frac{3\pi}{16}a$. Таким чином, момент гідростатичних сил є$\frac{1}{8}\pi\rho ga^{3}$. Якщо необхідна сила є$F$, це повинно дорівнювати$Fa$, а значить$F=\frac{1}{8}\pi\rho ga^{2}$.