Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.20: Прискорення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75855

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    На малюнку XV.33 показані два опорні кадри\( \Sigma'\),\( \Sigma\) причому, останні рухаються\( v\) зі швидкістю щодо першого.

    альт

    Частка рухається з прискоренням\( \bf{a'}\) в\( \Sigma'\). («in\( \Sigma'\)» = «посилається на опорний кадр\( \Sigma'\)».) Швидкість не обов'язково, звичайно, в тому ж напрямку, що і прискорення, і ми припустимо, що її швидкість в\( \Sigma'\) є\( \bf{u'}\). Компоненти прискорення і швидкості в\( \Sigma'\) є\( a'_{x'}, a'_{y'}, u'_{x'}, u'_{y'}\).

    Що таке прискорення частинки в\( \Sigma\)? Почнемо з\( x\) -компонента.

    \( x\)-складова його прискорення в\( \Sigma\) задається

    \[ a_{x}=\frac{du_{x}}{dt}, \label{15.20.1} \]

    де

    \[ u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{u_{x}'v}{c^{2}}} \label{15.16.2} \]

    і

    \[ t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19}\tag{15.5.19} \]

    Рівняння 15.16.2 та 15.5.19 дають нам

    \[ du_{x}=\frac{du_{x}}{du'_{x}}du'_{x}=\frac{du'_{x}}{\gamma^{2}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{2}} \label{15.20.2} \]

    і

    \[ dt\ =\frac{\partial t}{\partial t'}dt'+\frac{\partial t}{\partial x'}dx'=\gamma dt'\ +\ \frac{\gamma v}{c^{2}}dx' \label{15.20.3} \]

    При підстановці їх на рівняння\( \ref{15.20.1}\) і дуже маленьку алгебру отримано

    \[ a_{x}=\frac{a'}{\gamma^{3}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{3}} \label{15.20.4} \]

    \( y\)-складова його прискорення в\( \Sigma\) задається

    \[ a_{y}=\frac{du_{y}}{dt}, \label{15.20.5} \]

    Знаменник ми вже опрацювали\( dt\) (Equation\(\ref{15.20.3}\)). Ми знаємо, що

    \[ u_{y}=\frac{u'_{y'}}{\gamma(1+\frac{u'_{x'}v}{c^{2}})} \label{15.16.3}\tag{15.16.3} \]

    з якого

    \[ du_{y}=\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{x'}}+\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{y'}}\partial u'_{y'}=\frac{1}{\gamma}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}du'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}du'_{y'}\right). \label{15.20.6} \]

    Розділіть рівняння\( \ref{15.20.6}\) на рівняння\( \ref{15.20.3}\) для отримання

    \[ a_{y}=\frac{1}{\gamma^{2}}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}a'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}a'_{y'}\right). \label{15.20.7} \]