15.20: Прискорення

На малюнку XV.33 показані два опорні кадри$\Sigma'$,$\Sigma$ причому, останні рухаються$v$ зі швидкістю щодо першого.

Частка рухається з прискоренням$\bf{a'}$ в$\Sigma'$. («in$\Sigma'$» = «посилається на опорний кадр$\Sigma'$».) Швидкість не обов'язково, звичайно, в тому ж напрямку, що і прискорення, і ми припустимо, що її швидкість в$\Sigma'$ є$\bf{u'}$. Компоненти прискорення і швидкості в$\Sigma'$ є$a'_{x'}, a'_{y'}, u'_{x'}, u'_{y'}$.

Що таке прискорення частинки в$\Sigma$? Почнемо з$x$ -компонента.

$x$-складова його прискорення в$\Sigma$ задається

$$a_{x}=\frac{du_{x}}{dt}, \label{15.20.1}$$

де

$$u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{u_{x}'v}{c^{2}}} \label{15.16.2}$$

і

$$t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19}\tag{15.5.19}$$

Рівняння 15.16.2 та 15.5.19 дають нам

$$du_{x}=\frac{du_{x}}{du'_{x}}du'_{x}=\frac{du'_{x}}{\gamma^{2}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{2}} \label{15.20.2}$$

і

$$dt\ =\frac{\partial t}{\partial t'}dt'+\frac{\partial t}{\partial x'}dx'=\gamma dt'\ +\ \frac{\gamma v}{c^{2}}dx' \label{15.20.3}$$

При підстановці їх на рівняння$\ref{15.20.1}$ і дуже маленьку алгебру отримано

$$a_{x}=\frac{a'}{\gamma^{3}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{3}} \label{15.20.4}$$

$y$-складова його прискорення в$\Sigma$ задається

$$a_{y}=\frac{du_{y}}{dt}, \label{15.20.5}$$

Знаменник ми вже опрацювали$dt$ (Equation$\ref{15.20.3}$). Ми знаємо, що

$$u_{y}=\frac{u'_{y'}}{\gamma(1+\frac{u'_{x'}v}{c^{2}})} \label{15.16.3}\tag{15.16.3}$$

з якого

$$du_{y}=\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{x'}}+\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{y'}}\partial u'_{y'}=\frac{1}{\gamma}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}du'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}du'_{y'}\right). \label{15.20.6}$$

Розділіть рівняння$\ref{15.20.6}$ на рівняння$\ref{15.20.3}$ для отримання

$$a_{y}=\frac{1}{\gamma^{2}}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}a'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}a'_{y'}\right). \label{15.20.7}$$