Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.1: Кронштейн Пуассона

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74972

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Функція\ (\ begin {рівняння}
    f (p, q, t)
    \ end {рівняння}\) координат фазового простору системи та часу має загальну похідну за часом

    \ begin {рівняння}
    \ frac {d f} {d t} =\ фракційний {\ частковий f} {\ частковий т} +\ сума {i}\ лівий (\ frac {\ частковий f} {\ частковий q_ {i}}\ точка {q} _ {i} +\ frac {\ частковий f} {\ частковий р_ {i}}\ точка {p} _ {i} праворуч)
    \ end {рівняння}

    Це часто пишуть як

    \ begin {рівняння}
    \ frac {d f} {d t} =\ frac {\ часткове f} {\ часткове t} + [H, f]
    \ end {рівняння}

    де

    \[[H, f]=\sum_{i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial f}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\right) \label{PoissonBracket}\]

    називається дужкою Пуассона.

    Обережно

    Рівняння\ ref {PoissonBracket} є визначенням Ландау для дужки Пуассона. Відрізняється за знаком від Гольдштейна, Вікіпедії та інших.

    Якщо для функції фазового простору\ (\ begin {рівняння}
    f\ left (p_ {i}, q_ {i}\ право)
    \ end {рівняння}\) (тобто немає явної залежності часу)\ (\ begin {рівняння}
    [H, f] =0,\ text {потім} f\ left (p_ {i}, q_ {i}\ право)
    \ end {рівняння}\) дорівнює константа руху, також називається інтегралом руху.

    Фактично, дужка Пуассона може бути визначена для будь-яких двох функцій, визначених у фазовому просторі:

    \ begin {рівняння}
    [f, g] =\ sum_ {i}\ лівий (\ frac {\ частковий f} {\ частковий f} {\ частковий р_ {i}}\ фракційний г} {\ частковий q_ {i}} {\ частковий q_ {i}}\ frac {\ частковий g} {\ partial p_ {i}}\ правий кінець)
    \ {рівняння}

    Це просто перевірити наступні властивості дужки Пуассона:

    \ begin {рівняння}
    \ почати {вирівняний}
    & [f, g] =- [g, f]\\
    & [f, c] =0\ текст {для} c\ текст {
    константа}\\\ лівий [f_ {1} +f_ {2}, g\ правий] =\ лівий [f_ {1}, g\ праворуч] +\ лівий [f_ {2}, g\ правий]\\
    &\ ліворуч [f_ {1} f_ {2}, g\ праворуч] =f_ {1}\ ліворуч [f_ {2}, g \ правий] +\ лівий [f_ {1}, g\ правий] f_ {2}\\
    &\ frac {\ частковий} {\ частковий t} [f, g] =\ лівий [\ frac {\ частковий f} {\ частковий t}, g\ правий] +\ лівий [f,\ frac {\ частковий г} {\ частковий t}\ кінець {вирівняний} {
    \ частковий т}
    \ кінець {рівняння}

    Дужки Пуассона базових змінних легко знайти, щоб бути:

    \ почати {рівняння}
    \ лівий [q_ {i}, q_ {k}\ праворуч] =0,\ quad\ ліворуч [p_ {i}, p_ {k}\ праворуч] =0,\ quad\ ліворуч [p_ {i}, q_ {k}\ праворуч] =\ delta_ {i k}
    \ кінець {рівняння}

    Тепер, використовуючи

    \ begin {рівняння}
    \ лівий [f_ {1} f_ {2}, g\ правий] =f_ {1}\ лівий [f_ {2}, g\ правий] +\ лівий [f_ {1}, g\ праворуч] f_ {2}
    \ end {рівняння}

    і базова змінна P.B., ми знаходимо

    \ begin {рівняння}
    \ лівий [p, q^ {2}\ праворуч] =2 q,\ ліворуч [p, q^ {3}\ праворуч] =3 q^ {2}
    \ end {рівняння}

    і, власне, дужка р з будь-якою розумно гладкою функцією q дорівнює:

    \ begin {рівняння}
    [p, f (q)] = d f /d q
    \ end {рівняння}