9.2: Рівняння часу та енергії

Розглянемо одновимірну ситуацію, в якій є сила$F(x)$ that depends on the one coordinate only and is therefore a conservative force. If a particle moves under this force, its equation of motion is

$$m\ddot{x}=F(x) \nonumber$$

і ми можемо отримати інтеграл простору звичайним способом, написавши$\ddot{x}$ як$v\frac{dv}{dx}$.

Таким чином

$$mv\frac{dv}{dx}=F(x) \nonumber$$

Інтеграція прибутковості

$$\frac{1}{2}mv^{2}=\int F(x)dx + T_{0} \nonumber$$

Тут$\frac{1}{2}mv^{2}$ is called the kinetic energy and the integration constant $T_{0}$ can be interpreted as the initial kinetic energy. Thus the gain in kinetic energy is

$$T-T_{0}=\int F(x)dx \tag{9.2.4}\label{eq:9.2.4}$$

правою стороною просто є робота, виконана силою.

Так як$F$ is a function of $x$ alone, we can find a $V$ such that $F=-\frac{dV}{dx}$ . [Це правда, що ми також могли б знайти функцію$V$ such that $F=+\frac{dV}{dx}$, but we shall shortly find that the choice of the minus sign gives $V$ a desirable property that we can make use of.] If we integrate this equation, we find

$$V = -\int F(x)dx + V_{0} \tag{9.2.5}\label{eq:9.2.5}$$

Тут$V$ is the potential energy and $V_{0}$ is the initial potential energy. From Equations $\ref{eq:9.2.4}$ and $\ref{eq:9.2.5}$ we obtain

$$V + T = V_{0}+T_{0} \tag{9.2.6}\label{eq:9.2.6}$$

Таким чином, кількість$V+T$ is conserved under the action of a conservative force. (This would not have been the case if we had chosen the + sign in our definition of $V$.) We may call the sum of the two energies $E$, the total energy, and we have

$$T=E-V(x) \tag{9.2.7}\label{eq:9.2.7}$$

або

$$\frac{1}{2}mv^{2}=E-V(x) \tag{9.2.8}\label{eq:9.2.8}$$

З$v =\frac{dx}{dt}$, отримаємо, інтегруючи рівняння$\ref{eq:9.2.8}$,

$$t=\pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}} \tag{9.2.9a}\label{eq:9.2.9a}$$

Спочатку це може здатися дуже формальним і трудомістким способом досягнення чогось дуже очевидного і чогось, що ми знали з моменту першого вивчення фізики, але ми побачимо, що це часто може бути досить корисним рівнянням. Ви можете, до речі, перевірити, чи є це рівняння розмірно правильним.

Вибір знака в Рівняння$\ref{eq:9.2.9a}$ may require some care, as will be evident in the examples that follow in the next section. If the particle is moving away from the origin, then its speed is $v=\frac{dx}{dt}$, and we choose the positive sign. If the particle is moving towards from the origin, then its speed is $v=-\frac{dx}{dt}$, і ми вибираємо негативний знак. Однак я вважаю правильним наступне: якщо частка віддаляється від походження, то$x$ початкове значення менше кінцевого значення. Якщо частка рухається в бік початку, то$x$ початкове значення більше кінцевого значення. Здавалося б, безпечно, значить, завжди використовувати позитивний знак, але тоді нижньою межею інтеграції є менша величина$x$ (не обов'язково початкове значення), а верхня межа інтеграції - це більше значення$x$ (не обов'язково кінцеве значення). Тому може бути простіше написати рівняння у формі

$$t=\pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{smaller}}^{x_{larger}}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}} \tag{9.2.9b}\label{eq:9.2.9b}$$

Все, що це означає, що для консервативної сили час, необхідний для подорожі «назад», рівний часу, необхідному для вихідної подорожі, тому можна завжди розрахувати час для вихідної подорожі.

У деяких класах задачі, таких як маятники або стрижні, що падають, потенційна енергія може бути записана як функція кута, а кінетична енергія обертання - кінетична енергія обертання, записана у формі.$\frac{1}{2}I\omega^{2}$ where $\omega = \frac{d\theta}{dt}$. У цьому випадку рівняння$\ref{eq:9.2.9b}$ набуває вигляду

$$t=\pm\sqrt{\frac{I}{2}}\int_{\theta_{0}}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{E-V(\theta)}}. \tag{9.2.10}\label{eq:9.2.10}$$

Ви повинні перевірити, чи це теж є правильним розмірами.