9.2: Рівняння часу та енергії

Розглянемо одновимірну ситуацію, в якій є сила\( F(x)\) that depends on the one coordinate only and is therefore a conservative force. If a particle moves under this force, its equation of motion is

\[ m\ddot{x}=F(x) \nonumber \]

і ми можемо отримати інтеграл простору звичайним способом, написавши\( \ddot{x}\) як\( v\frac{dv}{dx}\).

Таким чином

\[ mv\frac{dv}{dx}=F(x) \nonumber \]

Інтеграція прибутковості

\[ \frac{1}{2}mv^{2}=\int F(x)dx + T_{0} \nonumber \]

Тут\( \frac{1}{2}mv^{2}\) is called the kinetic energy and the integration constant \( T_{0}\) can be interpreted as the initial kinetic energy. Thus the gain in kinetic energy is

\[ T-T_{0}=\int F(x)dx \tag{9.2.4}\label{eq:9.2.4} \]

правою стороною просто є робота, виконана силою.

Так як\( F\) is a function of \( x\) alone, we can find a \( V\) such that \( F=-\frac{dV}{dx}\) . [Це правда, що ми також могли б знайти функцію\( V\) such that \( F=+\frac{dV}{dx}\), but we shall shortly find that the choice of the minus sign gives \( V\) a desirable property that we can make use of.] If we integrate this equation, we find

\[ V = -\int F(x)dx + V_{0} \tag{9.2.5}\label{eq:9.2.5} \]

Тут\( V\) is the potential energy and \( V_{0}\) is the initial potential energy. From Equations \( \ref{eq:9.2.4}\) and \( \ref{eq:9.2.5}\) we obtain

\[ V + T = V_{0}+T_{0} \tag{9.2.6}\label{eq:9.2.6} \]

Таким чином, кількість\( V+T\) is conserved under the action of a conservative force. (This would not have been the case if we had chosen the + sign in our definition of \( V\).) We may call the sum of the two energies \( E\), the total energy, and we have

\[ T=E-V(x) \tag{9.2.7}\label{eq:9.2.7} \]

або

\[ \frac{1}{2}mv^{2}=E-V(x) \tag{9.2.8}\label{eq:9.2.8} \]

З\( v =\frac{dx}{dt}\), отримаємо, інтегруючи рівняння\( \ref{eq:9.2.8}\),

\[ t=\pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{0}}^{x}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}} \tag{9.2.9a}\label{eq:9.2.9a} \]

Спочатку це може здатися дуже формальним і трудомістким способом досягнення чогось дуже очевидного і чогось, що ми знали з моменту першого вивчення фізики, але ми побачимо, що це часто може бути досить корисним рівнянням. Ви можете, до речі, перевірити, чи є це рівняння розмірно правильним.

Вибір знака в Рівняння\( \ref{eq:9.2.9a}\) may require some care, as will be evident in the examples that follow in the next section. If the particle is moving away from the origin, then its speed is \( v=\frac{dx}{dt}\), and we choose the positive sign. If the particle is moving towards from the origin, then its speed is \( v=-\frac{dx}{dt}\), і ми вибираємо негативний знак. Однак я вважаю правильним наступне: якщо частка віддаляється від походження, то\( x\) початкове значення менше кінцевого значення. Якщо частка рухається в бік початку, то\( x\) початкове значення більше кінцевого значення. Здавалося б, безпечно, значить, завжди використовувати позитивний знак, але тоді нижньою межею інтеграції є менша величина\( x\) (не обов'язково початкове значення), а верхня межа інтеграції - це більше значення\( x\) (не обов'язково кінцеве значення). Тому може бути простіше написати рівняння у формі

\[ t=\pm\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{smaller}}^{x_{larger}}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}} \tag{9.2.9b}\label{eq:9.2.9b} \]

Все, що це означає, що для консервативної сили час, необхідний для подорожі «назад», рівний часу, необхідному для вихідної подорожі, тому можна завжди розрахувати час для вихідної подорожі.

У деяких класах задачі, таких як маятники або стрижні, що падають, потенційна енергія може бути записана як функція кута, а кінетична енергія обертання - кінетична енергія обертання, записана у формі.\( \frac{1}{2}I\omega^{2}\) where \( \omega = \frac{d\theta}{dt}\). У цьому випадку рівняння\( \ref{eq:9.2.9b}\) набуває вигляду

\[ t=\pm\sqrt{\frac{I}{2}}\int_{\theta_{0}}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{E-V(\theta)}}. \tag{9.2.10}\label{eq:9.2.10} \]

Ви повинні перевірити, чи це теж є правильним розмірами.