9.1: Вступ

У главі 7 ми розібралися з силами на частинку, які залежать від швидкості частинки. У розділі 8 ми розібралися з силами, які залежать від часу. У цьому розділі ми маємо справу з силами, які залежать тільки від положення частинки. Такі сили називають консервативними силами. Поки діють тільки консервативні сили, сума потенційної і кінетичної енергій зберігається.

Консервативні сили мають ряд властивостей. Один з них полягає в тому, що робота, виконана консервативною силою (або, що становить те ж саме, лінійний інтеграл консервативної сили), коли вона рухається з однієї точки в іншу, є незалежною від маршруту. Проведена робота залежить тільки від координат початкової і кінцевої точок, а не від шляху, зробленого для того, щоб дістатися від однієї до іншої. З цього випливає, що робота, виконана консервативною силою, або її лінійним інтегралом, навколо замкнутого шляху дорівнює нулю. (Якщо вам нагадають тут властивості функції стану в термодинаміці, все до добра.) Ще одна властивість консервативної сили полягає в тому, що вона може бути виведена з потенційної енергетичної функції. Таким чином, для будь-якої консервативної сили існує скалярна функція\( V\) ( \( x\), \( y\), \( z\) ) such that the force is equal to - град\( V\), or \( -\boldsymbol\nabla V\). In a one-dimensional situation, a sufficient condition for a force to be conservative is that it is a function of its position alone. In two- and three-dimensional situations, this is a necessary condition, but it is not a sufficient one. That a conservative force must be derivable from the gradient of a potential energy function and that its line integral around a closed path must be zero implies that the curl of a conservative force must be zero, and indeed a zero curl is a necessary and a sufficient condition for a force to be conservative.

Це все дуже добре, але припустимо, що ви застрягли в середині іспиту, і ваш розум йде порожнім, і ви не можете думати, що інтеграл лінії або град або завиток, або ви ніколи не розуміли їх в першу чергу, як ви можете сказати, якщо сила консервативна або ні? Ось правило, яке майже ніколи не підведе вас: якщо сила - це напруга в розтягнутій пружній струні або пружині, або тяга в стислій пружині, або якщо сила тяжіння або якщо це електростатична сила, сила консервативна. Якщо це не одне з них, це не консервативно.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Чоловік піднімає кошик з продуктами зі столу. Чи є сила, яку він чинить консервативною силою?

Рішення

Ні, це не так. Сила - це не натяг в струні або пружині, а також не електростатична. І хоча він може боротися з гравітацією, сила, яку він чинить своїми м'язами, не є гравітаційною силою. Тому це не консервативна сила. Розумієте, він може прискорюватися, коли рухає кошик вгору, і в цьому випадку сила, яку він надає, більша за вагу продуктів. Якщо він рухається з постійною швидкістю, сила, яку він чинить, дорівнює вазі бакалії. Таким чином, сила, яку він чинить, залежить від того, прискорюється він чи ні; сила не залежить лише від положення.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Але ви зараз не на іспиті, і у вас є достатньо часу, щоб нагадати собі, що таке локон. Кожна з наступних двох сил є функціями тільки позиції - необхідна умова для того, щоб вони були консервативними. Але це не достатня умова. Насправді один з них консервативний, а інший - ні. Доведеться це з'ясувати, оцінивши локон кожного. Той, що має нульовий завиток, - консервативний. Коли ви його визначили, відпрацюйте потенційну енергетичну функцію, з якої вона може бути виведена. Іншими словами, знайдіть\( V(x,y,z)\) such that \( \bf{F}=-\boldsymbol\nabla V\) .

я.\( \bf{F}=(3x^{2}z-3y^{2}z)\bf{i}-6xyz\bf{j}+(x^{3}-xy^{2})\bf{k}\)

II. \( \bf{F}=ax^{2}yz\bf{i}-bxy^{2}z\bf{j}+cxyz^{2}\bf{k}\)

Коли ви визначили, яка з цих сил є ірротаційною (тобто має нульовий завиток), ви можете знайти потенційну функцію, обчисливши роботу, виконану при русі сили від початку до (\( x\),\( y\),\( z\)) along any route you choose. Indeed, you might try more than one route to convince yourself that the line integral is route-independent.

Можна було б розробити багато вправ для визначення того, чи є різні силові функції консервативними, і якщо так, то якими є відповідні потенційні енергетичні функції, але я збираюся обмежитися цією главою лише однією темою, а саме