8.2: Проблема

У цьому розділі пропоную набір різних проблем. У типовій задачі передбачається, що імпульсна сила або крутний момент діє лише дуже короткий час. Під «дуже коротким» часом я маю на увазі, що час, протягом якого діє сила або крутний момент, дуже малий або незначний порівняно з іншими часом, які можуть бути залучені до проблеми. Наприклад, якщо гольф-клуб потрапляє м'яч, клуб контактує з м'ячем на час, який є незначним порівняно з часом, в якому м'яч знаходиться в повітрі. Або якщо маятник піддається імпульсному моменту, час, протягом якого застосовується імпульсний крутний момент, мізерно малий в порівнянні з періодом дії маятника.

У багатьох проблемах вам скажуть, що тіло піддається імпульсу$J$. Найпростіший спосіб інтерпретувати це - сказати, що лінійний імпульс тіла раптово змінюється на$J$. Або вам можуть сказати, що тіло піддається імпульсному крутному моменту$K$. Найпростіший спосіб інтерпретувати це - сказати, що кутовий імпульс тіла раптово змінюється на$K$.

У деяких з проблем, наприклад, першої, відповідне тіло вільно шарнірно навколо фіксованої точки; тобто воно може вільно обертатися навколо цієї точки.

Перш ніж дати першу проблему, ось невелика історія. Однією з найбільш надихаючих лекцій, яку я пам'ятаю, була одна з лекцій, яку прочитав науковий педагог. Вона скаржилася, що професор замість того, щоб надихати своїх учнів любов'ю і вдячністю до великих і глибоких ідей науки і цивілізації, «інфаталізував» клас з стомлюючим наполяганням, щоб клас використовував сині олівці для векторів швидкості, зелений - для прискорення, а червоний - для сил. Я відразу визнав, що це чудовий спосіб дати студентам оцінку глибоких ідей фізики, і з тих пір я наполягав на цьому з моїми власними студентами. У деяких з наступних малюнків я використовував цю колірну конвенцію, хоча я не знаю, чи буде ваш комп'ютер відтворювати кольори, які я використовував. У будь-якому випадку, я настійно рекомендую вам використовувати колірну конвенцію, настільки застарілу педагогом, якщо ви хочете зрозуміти великі ідеї цивілізації, такі як ідеї імпульсивних сил.

Вправа$\PageIndex{1}$

На малюнку VIII.2 тіло вільно обертається навколо нерухомої осі O. Центр маси тіла знаходиться на С. Тіло уражається з силою імпульсу$J$ при А, така, що ОА =$x$. Маса тіла є$m$. Його обертальна інерція про С є$mk^{2}$, а обертальна інерція про О є$m(k^{2}+h^{2})$.

В результаті удару тіло буде обертатися з кутовою швидкістю w і центр маси буде рухатися вперед з лінійною швидкістю h w. Одним з питань в цій задачі є розрахунок$\omega$

Тіло також буде штовхати з імпульсивною силою проти осі на О. Не відразу очевидно, чи буде тіло штовхати вгору проти осі в тому ж напрямку$J$, що і, або лівий кінець тіла буде гойдатися вниз, і тіло буде штовхати вниз на осі. Ви, напевно, погодитеся, що якщо A дуже близько до O, тіло буде штовхати вгору по осі, але якщо А знаходиться біля правого кінця, тіло буде штовхати вниз по осі. На малюнку я припускаю, що тіло штовхає вгору на осі; тому вісь штовхає вниз на тіло, з силою імпульсу$P$, і те, що показує малюнок, - це дві імпульсивні сили, які діють на тілі. Друге питання, яке потрібно задати в цій проблемі, полягає в тому, щоб знайти $P$в плані$J$ і$x$.

Якщо ми маємо рацію в нашому інтуїтивному почутті, яке$P$ діє вгору або вниз відповідно до положення А - тобто на місце удару тіла - імовірно є якесь положення А таке, що реактивний імпульс осі на тілі дорівнює нулю. Дійсно, є, і положення А, що породжує нульовий реактивний імпульс при А, називається центром ударних ударів, і третє питання в цій задачі полягає в тому, щоб знайти положення центру ударних. Де на биту слід вдарити в бейсбол, якщо ви хочете нульової імпульсивної реакції на зап'ястях? Де слід розташувати дверний упор, щоб привести до нульової реакції на дверні петлі? Ніколи не дозволяйте говорити про те, що теоретична фізика не має важливих практичних застосувань. Саме позиціонування двері-упору залежить від досконального розуміння принципів класичної механіки.

Чистий висхідний імпульс є$J - P$, і це призводить до зміни лінійного імпульсу$mh\omega$:

$$J - P = mh\omega \tag{8.2.1}\label{eq:8.2.1}$$

Імпульсивний крутний момент про O є$Jx$, і це призводить до зміни кутового моменту$I\omega$; тобто$m(k^{2}+h^{2})\omega$:

$$Jx=m(k^{2}+h^{2})\omega. \tag{8.2.2}\label{eq:8.2.2}$$

Ці два рівняння дозволяють нам вирішувати для двох невідомих$\omega$ і$P$. Дійсно, Рівняння$\ref{eq:8.2.2}$ дає нам$\omega$ негайно, і усунення$\omega$ між двома рівняннями дає нам$P$:

$$P = J\left(1-\frac{xh}{k^{2}+h^{2}}\right). \tag{8.2.3}\label{eq:8.2.3}$$

Якщо права сторона$\ref{eq:8.2.3}$ Рівняння позитивна, то малюнок VIII.2 вірний: вісь штовхається вниз на тіло, а тіло штовхається вгору на осі. Тобто $P$діє вниз якщо$x<\frac{k^{2}+h^{2}}{h}$, і вгору, якщо$x>\frac{k^{2}+h^{2}}{h}$. Положення центру перкусії є$x=\frac{k^{2}+h^{2}}{h}$.

Якщо корпус є рівномірним стрижнем довжини$l$, O is at one end of the rod, then $k^{2}=\frac{1}{12}l^{2}$ so that, in this case, $x=\frac{2}{3}l$. саме тут слід розташувати дверний упор. Тут також слід вдарити по бейсболу битою - якщо бита є рівномірним стрижнем. Однак, Я визнаю, що не знаючи багато про бейсбольні біти, і якщо така біта не є рівномірним стрижнем, але, наприклад, товщі і важче на дистальному, ніж проксимальний кінець, центр ударних буде далі до далекого кінця.

Вправа$\PageIndex{2}$

Важкий стрижень, маси$m$ і довжини$2l$, вільно звисає з одного кінця. Йому дається імпульс$J$ , як показано в точці на відстані $x$від верхнього кінця. Обчисліть максимальну кутову висоту, через яку піднімається стрижень.

Ми можемо використовувати Рівняння$\ref{eq:8.2.2}$, щоб знайти кутову швидкість$\omega$ відразу після удару. У цьому рівнянні$m(k^{2}+h^{2})$ відбувається обертальна інерція стрижня навколо його кінця, яка є$\frac{4ml^{2}}{3}$, так що

$\omega = \frac{3Jx}{4ml^{2}}$.

Кінетична енергія відразу після удару є,$\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}ml^{2}\cdot\omega^{2}$ і ми повинні прирівняти це до подальшого посилення потенційної енергії$mgl(1-\cos\theta)$.

Таким чином

$\cos\theta=1-\frac{2l\omega^{2}}{3g}=1-\frac{2J^{2}x^{2}}{8gm^{2}l^{3}}$.

Щоб стрижень розгойдався через 180 ^о, подається кутовий імпульс повинен бути

$Jx=4ml\sqrt{\frac{gl}{3}}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Однорідний стрижень маси$m$ і довжини$2l$ вільно шарнірно на одному кінці О. до стрижня на відстані прикріплюється маса$cm$ (де$c$ константа)$x$ від О. імпульс$J$ подається на інший кінець стрижня від О. Де повинна$cm$ розташовуватися маса, якщо лінійна швидкість маси$cm$ відразу після застосування імпульсу повинна бути Найбільший?

Кутовий імпульс про О є$2lJ$. Обертальна інерція про О є$\frac{4}{3}ml^{2}+cmx^{2}$. Якщо w - кутова швидкість відразу після удару, то кутовий момент дорівнює$(\frac{4}{3}ml^{2}+cmx^{2})\omega$. Якщо прирівняти це до імпульсу, ми знаходимо

$\omega=\frac{6lJ}{m(4l^{2}+3cx^{2})}$.

Лінійна швидкість маси$cm$ в$x$ рази більше, або$\frac{6lJ}{m(4l^{2}+3cx^{2})}$. За обчисленням це найбільше, коли$x=\frac{2l}{\sqrt{3c}}$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Рівномірний стрижень буває маси$m$ і довжини$2l$. Імпульс$J$ подається так, як показано на відстані$x$ від середини стрижня. P - точка на відстані y від середини стрижня. Рухається P вперед або назад? Яким шляхом рухається A?

Перше, що ми можемо зробити, це знайти$u$ лінійну швидкість центру маси стрижня і кутову швидкість$\omega$ стрижня. Робимо це, прирівнюючи імпульс до збільшення лінійного імпульсу і моменту імпульсу (тобто кутового імпульсу) до збільшення кутового моменту:

$J = mu$

і

$Jx=\frac{1}{3}ml^{2}\omega$.

Швидкість вперед P дорівнює$u +y\omega$. Тобто сказати$\frac{J}{m}+\frac{3Jxy}{ml^{2}}$. Це позитивне, якщо,$y>-\frac{l^{2}}{3x}$ але негативне в іншому випадку. Для точки А$y=-l$, так що A буде рухатися вперед$x<\frac{l}{3}$, якщо, і він буде рухатися назад в іншому випадку.

Вправа$\PageIndex{5}$

Сферична планета$m$, маса$a$, радіус, вражена астероїдом з імпульсом,$J$ як показано, з параметром удару$x$. P - точка по діаметру, відстань$y$ від центру планети. Рухається P вперед або назад? Яким шляхом рухається A?

Як і в попередній задачі, ми з легкістю можемо знайти$u$ і$\omega$:

$J = mu$

і

$Jx = \frac{2}{5}ma^{2}\omega$.

Швидкість вперед P дорівнює$u+y\omega$. Тобто сказати$\frac{J}{m}(1+\frac{5xy}{2a^{2}})$. Це позитивне, якщо,$y>-\frac{2a^{2}}{5x}$ але негативне в іншому випадку. Для точки А$y=-a$, так що A буде рухатися вперед$x<\frac{2a}{5}$, якщо, і він буде рухатися назад в іншому випадку. Тобто A буде рухатися назад, якщо удар складе більше 70% шляху від А до Б.

Вправа$\PageIndex{6}$

Обруч, радіус, маса$a$$m$, рухаючись зі швидкістю$v$, потрапляє в бордюр висоти,$h$ як показано на малюнку. Чи буде він змонтувати борддю, або він впаде назад?

Єдиний імпульс діє в точці А., Таким чином, момент імпульсу близько А дорівнює нулю, і тому немає зміни кутового моменту по відношенню до точки А.

Перед ударом кутовий момент по відношенню до точки А дорівнює

$mva+mv(a-h)=mv(2a-h)$.

$\omega$Дозволяти бути кутова швидкість близько А після удару. Кутовий імпульс близько А є тоді$2ma^{2}\omega$. Вони рівні, так що

$\omega=\frac{(2a-h)v}{2a^{2}}$

Якщо потрібно монтувати бордюр, нова кінетична енергія$\frac{1}{2}(2ma^{2})\omega^{2}$ повинна бути більшою, ніж потенційна енергія, яку потрібно подолати,$mgh$.

Тому

$v>\frac{2a\sqrt{gh}}{2a-h}$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Три рівні частинки, A, B і C, кожна з масою m, з'єднані легкими нерозтяжними струнами, як показано на малюнку, кут BAC дорівнює 60 ^o. А дається різке перетягування імпульсу,$J$ як показано на малюнку. Знайдіть початкові швидкості частинок і початкові натяги в струн.

Нехай початкові напруги в БА і змінному струмі будуть$T$ і$T'$ відповідно.

Нехай початкова швидкість A буде$u\bf{i}+v\bf{j}$.

Тоді початкова швидкість B дорівнює$u\bf{i}$

а початкова швидкість С -$\frac{1}{2}(u-\sqrt{3v})$ до А.

Рівняннями імпульсного руху є:

Для B:

$mu=T$

Для C:

$\frac{1}{2}(u-\sqrt{3v})=T'$

Для А:

$mu=J-T-\frac{1}{2}T'$

$mv=\frac{1}{2}\sqrt{3}T'$

Розв'язками цих рівнянь є:

$u=\frac{7J}{15m}$,$v=\frac{\sqrt{3}J}{15m}$,

$T=\frac{7J}{15}$,$T'=\frac{2J}{15}$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Два стрижні, кожен з маси$m$ і довжини$2l$, вільно з'єднані, як показано на малюнку. Одному з них дається імпульс,$J$ як показано на малюнку. Те, що відбувається тоді, так це те, що кінець одного стрижня дає кінець іншого імпульсивний удар$P$, а інший дає одному рівний удар в протилежному напрямку. Центр маси системи рухається вперед зі швидкістю,$u$ а два стрижні обертаються з кутовими швидкостями$\omega_{1}$ і$\omega_{2}$. Проблема полягає у$P$ визначенні$u$,$\omega_{1}$ і$\omega_{2}$.

Рівняннями імпульсного руху є:

Шток LH, переклад:

$J-P=m(u+l\omega_{1})$,

RH стрижень, переклад:

$P=m(u+l\omega_{2})$

Шток LH, обертання:

$Pl=\frac{1}{3}ml^{2}\omega_{1}$

RH стрижень, обертання:

$Pl=\frac{1}{3}ml^{2}\omega_{1}$

Розв'язками цих рівнянь є:

$u=\frac{J}{2m}$,

$\omega_{1}=\omega_{2}=\frac{3J}{8ml}$,

$P=\frac{J}{8}$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Два стрижні, кожен з маси$m$ і довжини$2l$, вільно з'єднуються спочатку під прямим кутом. Їх опускають на рівний горизонтальний стіл і вдаряють по ньому зі швидкістю$V$. Знайдіть швидкість, з$\dot{\theta}$ якою стрижні розлітаються відразу після удару.

Розглянемо динаміку правої штанги. При ударі він відчуває вертикальний імпульс$J$ на своєму нижньому кінці, і він відчуває горизонтальний імпульс$P$ (від іншого стрижня) на його верхньому кінці. Відразу після удару нехай складові швидкості центру маси правої руки штанги будуть$u$ і$v$, а кутова швидкість стрижня - необхідна кількість$\dot{\theta}$.

З геометрії ми маємо

$x=l\sin\theta$і$y=l\cos\theta$

і, отже,

$u=\dot{x}=l\cos\theta\dot{\theta}=\frac{l\dot{\theta}}{\sqrt{2}}$і$v=-\dot{y}=l\sin\theta\dot{\theta}=\frac{l\theta}{\sqrt{2}}$.

Імпульсивні рівняння руху

$P=mu$

і

$J=m(V-v)$.

Після цього деяка алгебра призводить до

$\dot{\theta}=\frac{\sqrt{18}V}{8l}$.

Вправа$\PageIndex{10}$

Квадратна пластина крутиться близько вертикального діаметра з кутовою швидкістю$\omega_{1}$. Він вражає нерухому перешкоду на куті А, так що згодом обертається навколо вертикальної осі через А з кутовою швидкістю$\omega_{2}$. Знайти$\omega_{2}$.

Оскільки імпульс знаходиться на А, момент імпульсу про А дорівнює нулю, так що кутовий імпульс близько А зберігається. Відповідні моменти інерції можна обчислити з інформації, наведеної в главі 2, а значить, отримаємо

$\frac{1}{3}ma^{2}\omega_{1}=\frac{7}{3}ma^{2}\omega_{2}$.
$\omega_{2}=\frac{\omega_{1}}{7}$.