8.1: Вступ
- Page ID
- 76008
Коли мова йде про свою справу, частка може відчувати багато різних сил. У главі 7 ми розглянули вплив сил, які залежать тільки від швидкості частки. У наступному розділі ми розглянемо сили, які залежать тільки від положення частинки. (Такі сили будуть називатися консервативними силами.) У цьому розділі ми розглянемо вплив сил, які змінюються з часом. Звичайно, цілком можливо, що нещасна частка може бути розбита силами, які залежать від її швидкості, від її положення, і від часу - але, що стосується цієї глави, ми будемо дивитися на сили, які залежать тільки від часу.
Всім відомо, що другий закон руху Ньютона стверджує, що коли сила діє на тіло, імпульс тіла змінюється, а швидкість зміни імпульсу дорівнює прикладеній силі. Тобто,\( F=\frac{dp}{dt}\). Якщо сила, яка змінюється з часом\( F(t)\), діє на тіло протягом часу\( T\), інтеграл сили протягом часу,\( \int_{0}^{T}F(t)dt \) називається імпульсом сили, і це призводить до зміни імпульсу,\( \Delta P \) який дорівнює імпульсу. Я використовую символ\( J\) для представлення імпульсу, або тимчасовий інтеграл сили. Його одиниці СІ були б N с, а його розміри MLT -1, що збігається з розмірами імпульсу.
Таким чином, другий закон руху Ньютона
\[ F=\dot{p}. \nonumber \]
Коли інтегрований з часом, це стає
\[ J=\Delta p. \nonumber \]
Так само при обертальному русі кутовий імпульс\( L\) тіла змінюється, коли на нього\( \tau\) діє крутний момент, таким чином, що швидкість зміни моменту дорівнює прикладеному крутному моменту:
\[ \tau = \dot{L}. \nonumber \]
Якщо крутний момент, який може змінюватися з часом, діє протягом часу\( T\), інтегралом крутного моменту з плином часу\( \int_{0}^{T}\tau dt \) є кутовий імпульс, який я позначу символом\( K\), і це призводить до зміни моменту моменту:
\[ K =\Delta L. \nonumber \]
Одиницями СІ кутового імпульсу є N м с, а розміри - ML 2 T -1, які такі ж, як у кутового моменту.
Наприклад, припустимо, що м'яч для гольфу вражений силою змінюється з часом, як
\[ F = \hat{F}\left[1-\left(\frac{|t-t_{0}|}{\tau}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{2}} \nonumber \]
Це може виглядати дуже надуманою і малоймовірною функцією, але на малюнку VIII.1 я її намалював\( \hat{F}=1\)\( t_{0}=3\),\( \tau=1\) і ви побачите, що це досить правдоподібна функція. Клуб контактує з м'ячем час\( t_{0}-\tau\) до\( t_{0}+\tau\).
Якщо м'яч, маси\( m\), починається з відпочинку, якою буде його швидкість\( V\) відразу після того, як він покине клуб? Відповідь полягає в тому, що його новий імпульс\( mV\), буде дорівнювати імпульсу (або тимчасовому інтегралу) вищевказаної сили:
\[ mV = \hat{F}\int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau}\left[1-\left(\frac{|t-t_{0}|}{\tau}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{2}}dt. \nonumber \]
Це дуже легко зрозуміти; якщо є якісь труднощі, це може бути в механіці розробки цього інтеграла. Це хороша практика інтеграції, але, якщо ви не можете зробити це після розумних зусиль, і ви хочете натяку, запитайте мене (jtatum@uvic.ca) і я побачу, що я можу зробити. Ви повинні отримати
\[ mV = \frac{3\pi}{16}\hat{F}\tau =0.589\hat{F}\tau \nonumber \]
Ось дуже схожий приклад, за винятком того, що інтеграція досить простіше. Куля масою 500 г, спочатку в стані спокою, вдаряється з силою, яка змінюється з часом як
\(F = \hat{F}\left[1-\left(\frac{t-t_{0}}{\tau}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\),
де\( \hat{F}\) = 4000Н,\( t_{0}\) = 10 мс,\( t\) = 3 мс. Намалюйте (точно, за допомогою комп'ютера) графік\( F\) проти часу (це виглядає не зовсім так, як малюнок VIII.1). Як швидко рухається м'яч відразу після удару?
(Я роблю це 37,7 м с -1.)