8.1: Вступ

Коли мова йде про свою справу, частка може відчувати багато різних сил. У главі 7 ми розглянули вплив сил, які залежать тільки від швидкості частки. У наступному розділі ми розглянемо сили, які залежать тільки від положення частинки. (Такі сили будуть називатися консервативними силами.) У цьому розділі ми розглянемо вплив сил, які змінюються з часом. Звичайно, цілком можливо, що нещасна частка може бути розбита силами, які залежать від її швидкості, від її положення, і від часу - але, що стосується цієї глави, ми будемо дивитися на сили, які залежать тільки від часу.

Всім відомо, що другий закон руху Ньютона стверджує, що коли сила діє на тіло, імпульс тіла змінюється, а швидкість зміни імпульсу дорівнює прикладеній силі. Тобто,$F=\frac{dp}{dt}$. Якщо сила, яка змінюється з часом$F(t)$, діє на тіло протягом часу$T$, інтеграл сили протягом часу,$\int_{0}^{T}F(t)dt$ називається імпульсом сили, і це призводить до зміни імпульсу,$\Delta P$ який дорівнює імпульсу. Я використовую символ$J$ для представлення імпульсу, або тимчасовий інтеграл сили. Його одиниці СІ були б N с, а його розміри MLT ^-1, що збігається з розмірами імпульсу.

Таким чином, другий закон руху Ньютона

$$F=\dot{p}. \nonumber$$

Коли інтегрований з часом, це стає

$$J=\Delta p. \nonumber$$

Так само при обертальному русі кутовий імпульс$L$ тіла змінюється, коли на нього$\tau$ діє крутний момент, таким чином, що швидкість зміни моменту дорівнює прикладеному крутному моменту:

$$\tau = \dot{L}. \nonumber$$

Якщо крутний момент, який може змінюватися з часом, діє протягом часу$T$, інтегралом крутного моменту з плином часу$\int_{0}^{T}\tau dt$ є кутовий імпульс, який я позначу символом$K$, і це призводить до зміни моменту моменту:

$$K =\Delta L. \nonumber$$

Одиницями СІ кутового імпульсу є N м с, а розміри - ML ² T ^-1, які такі ж, як у кутового моменту.

Наприклад, припустимо, що м'яч для гольфу вражений силою змінюється з часом, як

$$F = \hat{F}\left[1-\left(\frac{|t-t_{0}|}{\tau}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{2}} \nonumber$$

Це може виглядати дуже надуманою і малоймовірною функцією, але на малюнку VIII.1 я її намалював$\hat{F}=1$$t_{0}=3$,$\tau=1$ і ви побачите, що це досить правдоподібна функція. Клуб контактує з м'ячем час$t_{0}-\tau$ до$t_{0}+\tau$.

Якщо м'яч, маси$m$, починається з відпочинку, якою буде його швидкість$V$ відразу після того, як він покине клуб? Відповідь полягає в тому, що його новий імпульс$mV$, буде дорівнювати імпульсу (або тимчасовому інтегралу) вищевказаної сили:

$$mV = \hat{F}\int_{t_{0}-\tau}^{t_{0}+\tau}\left[1-\left(\frac{|t-t_{0}|}{\tau}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{2}}dt. \nonumber$$

Це дуже легко зрозуміти; якщо є якісь труднощі, це може бути в механіці розробки цього інтеграла. Це хороша практика інтеграції, але, якщо ви не можете зробити це після розумних зусиль, і ви хочете натяку, запитайте мене ([e-mail]) і я побачу, що я можу зробити. Ви повинні отримати

$$mV = \frac{3\pi}{16}\hat{F}\tau =0.589\hat{F}\tau \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Ось дуже схожий приклад, за винятком того, що інтеграція досить простіше. Куля масою 500 г, спочатку в стані спокою, вдаряється з силою, яка змінюється з часом як

$F = \hat{F}\left[1-\left(\frac{t-t_{0}}{\tau}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}$,

де$\hat{F}$ = 4000Н,$t_{0}$ = 10 мс,$t$ = 3 мс. Намалюйте (точно, за допомогою комп'ютера) графік$F$ проти часу (це виглядає не зовсім так, як малюнок VIII.1). Як швидко рухається м'яч відразу після удару?

(Я роблю це 37,7 м с ^-1.)