5.2: Підстрибуючі кульки

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5.1: Вступ
- 5.3: Лобове зіткнення рухомої сфери з початково нерухомою сферою

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Коли м'яч опускається на землю, може статися одна з чотирьох речей:

Він може відскочити з точно такою ж швидкістю, як і швидкість, з якою він вдарився об землю. Це пружне зіткнення.
Може прийти до повного спокою, наприклад, якби це був куля м'якої шпаклівки. Я буду називати це абсолютно нееластичним зіткненням.
Він може відскакувати назад, але зі зниженою швидкістю. Для відсутності кращого терміна я буду називати це дещо нееластичним зіткненням.
Якщо трапиться трохи купи пороху, що лежить на столі, де м'яч б'є його, він може відскочити назад з більш швидкою швидкістю, ніж це було безпосередньо перед зіткненням. Це було б наделастичне зіткнення.

Співвідношення

$\dfrac{\text{speed after collision}}{\text{speed before collision}} \nonumber$

називається коефіцієнтом реституції, для якого я використовую символ швидкості перед зіткненням $e$ . Коефіцієнт дорівнює 1 для пружного зіткнення, менше 1 для непружного зіткнення, нуль для абсолютно непружного зіткнення і більше 1 для надпружного зіткнення. Відношення кінетичної енергії (після) до кінетичної енергії (до) очевидно, в цій ситуації $e^{2}$ .

Якщо м'яч впаде на стіл з висоти $h_{0}$ , то буде потрібно час, $t_{0} = \sqrt{2H_{0}lg}$ щоб впасти. Якщо зіткнення дещо нееластичне, воно підніметься на висоту, $h_{1}=e^{2}h_{0}$ і $et$ для досягнення висоти знадобиться певний час $h_{1}$ . Тоді він знову впаде, і знову відскакує, на цей раз на меншу висоту. І, якщо коефіцієнт реституції залишиться колишнім, він буде продовжувати робити це протягом нескінченної кількості відскоків. Після мільярда відскоків ще належить нескінченна кількість відскоків. Загальна пройдена відстань становить

$h = h_{0} +2h_{0}(e^{2}+e^{4}+e^{6}+...) \tag{5.2.1}\label{eq:5.2.1}$

і витрачений час

$t = t_{0} +2t_{0}(e + e^{2}+e^{3}+...). \tag{5.2.2}\label{eq:5.2.2}$

Це геометричні ряди, а їх суми

$h = h_{0} \left(\frac{1+e^{2}}{1-e^{2}}\right), \tag{5.2.3}\label{eq:5.2.3}$

який не залежить від g (тобто від планети, на якій проводиться цей експеримент), і

$t = t_{0} \left(\frac{1+e}{1-e} \right) \tag{5.2.4}\label{eq:5.2.4}$

Наприклад, припустимо, $h_{0}$ = 1 m, $e$ = 0.5, $g$ = 9.8 m s ⁻², тоді куля відпочиває через 1,36 с після того, як пройшов 1,67 м після нескінченної кількості відскоків.

Обговорити

Чи припиняє м'яч коли-небудь підстрибуючи, враховуючи, що після кожного відскоку ще нескінченне число ще попереду; але через 1,36 секунди він більше не підстрибує...?