2.12: Обертання осей
- Page ID
- 76141
Почнемо з згадання результату з елементарної геометрії. Розглянемо дві множини осей О\(xy \) і О\(x_{1}y_{1} \), причому остання нахилена під кутом\( \theta \) до першої. Будь-яка точка на площині може бути описана координатами\( (x , y) \) або по\( (x_{1} , y_{1})\).
Ці координати пов'язані матрицею обертання:
\[ \left(\begin{array}{c}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\cos \theta \quad \sin \theta \\ -\sin \theta \quad \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right), \label{eq:2.12.1} \]
Матриця обертання ортогональна; одна з декількох властивостей ортогональної матриці полягає в тому, що її зворотна - це її транспонування.
\[ \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\cos \theta \quad -\sin \theta \\ \sin \theta \quad \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ y_{1}\end{array}\right). \label{eq:2.12.2} \]
Тепер застосуємо це до моментів інерції плоского пластинки. Припустимо, що осі знаходяться в площині пластинки і що O - центр маси пластинки. \(A, B \)і\(H\) є моментами інерції по відношенню до осей О\(xy \),\(A_{1} , B_{1} \) і\(H_{1} \) є моментами інерції щодо О\(x_{1}y_{1} \). Строго кажучи, ламіна передбачає безперервний розподіл питання в площині, але, оскільки матерія, як нам кажуть, складається з дискретних атомів, є мало труднощів в обґрунтуванні лікування пластинки так, ніби це ми розподіл точкових мас у площині. У будь-якому випадку результати, які слідують, справедливі або для збору точкових мас у площині, або для справжньої безперервної ламіни.
Ми маємо, за визначенням:
\[ A_{1} = \sum my^{2}_{1} \label{eq:2.12.3} \]
\[ B_{1} = \sum mx^{2}_{1} \label{eq:2.12.4} \]
\[ H_{1} = \sum mx_{1}y_{1} \label{eq:2.12.5} \]
Тепер застосуємо рівняння\( \ref{eq:2.12.1}\) до рівняння\( \ref{eq:2.12.3}\):
\[\begin{align*} A_{1} &= \sum m (-x \sin \theta + y \cos\theta )^2 \\[4pt] &= \sin^2 \theta \sum mx^2 - 2\sin\theta \cos \theta \sum mxy + \cos^2 \theta \sum my^2. \end{align*}\]
Тобто (написання третього терміну першим, а перший термін останній)
\[ A_{1} = A \cos^2\theta -2H \sin \theta \cos \theta + B\sin^2 \theta. \label{eq:2.12.6} \]
Аналогічним чином ми отримуємо для інших двох моментів
\[ B_{1} = A \sin^2\theta +2H \sin \theta \cos \theta + B\cos^2 \theta. \label{eq:2.12.7} \]
і
\[ H_{1} = A \sin\theta \cos \theta + H \sin(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - B\sin\theta \cos \theta. \label{eq:2.12.8} \]
Зазвичай зручніше використовувати тригонометричні ідентичності, щоб записати їх як
\[ A_{1} = \frac{1}{2} (B+ A) - \frac{1}{2}(B-A)\cos2\theta - H \sin 2 \theta, \tag{2.12.9}\label{eq:2.12.9} \]
\[ B_{1} = \frac{1}{2} (B+ A) + \frac{1}{2}(B-A)\cos2\theta + H \sin 2 \theta, \tag{2.12.10}\label{eq:2.12.10} \]
\[ H_{1} = H \cos 2 \theta - \frac{1}{2}(B-A)\sin2 \theta \tag{2.12.11}\label{eq:2.12.11} \]
Ці рівняння дозволяють обчислити моменти інерції щодо осей O,\(x_{1}y_{1} \) якщо ми знаємо моменти щодо осей О\(xy \). Далі питання важливості, ми бачимо, з Equation\ ref {eq:2.12.11}, що якщо
\[ \tan 2 \theta = \frac{2H}{B-A} , \tag{2.12.12} \label{eq:2.12.12} \]
момент\( H_{1} \) добутку по відношенню до осей\( Oxy \) дорівнює нулю. Це надає деяке фізичне значення моменту добутку, а саме: Якщо ми можемо знайти деякі осі (які ми можемо, за допомогою Рівняння\( \ref{eq:2.12.12}\)), щодо яких момент добутку дорівнює нулю, ці осі називаються головними осями ламіни, а моментами інерції по відношенню до основної осями називають основні моменти інерції. Я буду використовувати символи\(A_{0} \) і\( B_{0} \) для основних моментів інерції, і я прийму конвенцію, що\( A_{0} ≤ B_{0} \).
Розглянемо три точкові маси за координатами, наведеними нижче:
| Маса | Координати |
|---|---|
| 5 | (1, 1) |
| 3 | (4, 2) |
| 2 | (3, 4) |
Моменти інерції є\( A = 49, B = 71, C = 53 \). Координати центру мас - (2,3, 1,9). Якщо використовувати теорему про паралельні осі, ми можемо знайти моменти інерції щодо осей, паралельних вихідним, але з початком у центрі маси. Відносно цих осей ми знаходимо\( A = 12.9, B = 18.1, H = +9.3 \). Тому головні осі нахилені під кутами\( \theta \) до\(x \) -осі заданої (Рівняння\( \ref{eq:2.12.12}\)) по\( \tan 2 \theta = 3.57669 \); Тобто\( \theta \) = 37 ° 11' і 127 ° 11'. При використанні рівняння\ ref {eq:2.12.9} або\ ref {eq:2.12.10} з цими двома кутами разом з умовою\( A_{0} ≤ B_{0} \), яку ми отримуємо для головних моментів інерції\( A_{0} = 5.84 \) і\(B_{0} = 25.16 \).
Розглянемо прямокутну трикутну пластинку Секції 11. Моменти інерції щодо осей, що проходять через центр мас і паралельні ортогональним сторонам трикутника є\(A= \frac{1}{18} Mb^ 2, B= \frac{1}{18} Ma^2, H=− \frac {1}{36} Mab \). Кути, які основні осі роблять зі стороною\( a \) -, задаються\(\tan 2 \theta = \frac{ab}{b^2-a^2} \). Зацікавлений читач зможе опрацювати вирази, з точки зору\( M, a, b, \) за принциповими моментами.