2.12: Обертання осей

Почнемо з згадання результату з елементарної геометрії. Розглянемо дві множини осей О$xy$ і О$x_{1}y_{1}$, причому остання нахилена під кутом$\theta$ до першої. Будь-яка точка на площині може бути описана координатами$(x , y)$ або по$(x_{1} , y_{1})$.

Ці координати пов'язані матрицею обертання:

$$\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\cos \theta \quad \sin \theta \\ -\sin \theta \quad \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right), \label{eq:2.12.1}$$

Матриця обертання ортогональна; одна з декількох властивостей ортогональної матриці полягає в тому, що її зворотна - це її транспонування.

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\cos \theta \quad -\sin \theta \\ \sin \theta \quad \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ y_{1}\end{array}\right). \label{eq:2.12.2}$$

Тепер застосуємо це до моментів інерції плоского пластинки. Припустимо, що осі знаходяться в площині пластинки і що O - центр маси пластинки. $A, B$і$H$ є моментами інерції по відношенню до осей О$xy$,$A_{1} , B_{1}$ і$H_{1}$ є моментами інерції щодо О$x_{1}y_{1}$. Строго кажучи, ламіна передбачає безперервний розподіл питання в площині, але, оскільки матерія, як нам кажуть, складається з дискретних атомів, є мало труднощів в обґрунтуванні лікування пластинки так, ніби це ми розподіл точкових мас у площині. У будь-якому випадку результати, які слідують, справедливі або для збору точкових мас у площині, або для справжньої безперервної ламіни.

Ми маємо, за визначенням:

$$A_{1} = \sum my^{2}_{1} \label{eq:2.12.3}$$

$$B_{1} = \sum mx^{2}_{1} \label{eq:2.12.4}$$

$$H_{1} = \sum mx_{1}y_{1} \label{eq:2.12.5}$$

Тепер застосуємо рівняння$\ref{eq:2.12.1}$ до рівняння$\ref{eq:2.12.3}$:

$$\begin{align*} A_{1} &= \sum m (-x \sin \theta + y \cos\theta )^2 \\[4pt] &= \sin^2 \theta \sum mx^2 - 2\sin\theta \cos \theta \sum mxy + \cos^2 \theta \sum my^2. \end{align*}$$

Тобто (написання третього терміну першим, а перший термін останній)

$$A_{1} = A \cos^2\theta -2H \sin \theta \cos \theta + B\sin^2 \theta. \label{eq:2.12.6}$$

Аналогічним чином ми отримуємо для інших двох моментів

$$B_{1} = A \sin^2\theta +2H \sin \theta \cos \theta + B\cos^2 \theta. \label{eq:2.12.7}$$

і

$$H_{1} = A \sin\theta \cos \theta + H \sin(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - B\sin\theta \cos \theta. \label{eq:2.12.8}$$

Зазвичай зручніше використовувати тригонометричні ідентичності, щоб записати їх як

$$A_{1} = \frac{1}{2} (B+ A) - \frac{1}{2}(B-A)\cos2\theta - H \sin 2 \theta, \tag{2.12.9}\label{eq:2.12.9}$$

$$B_{1} = \frac{1}{2} (B+ A) + \frac{1}{2}(B-A)\cos2\theta + H \sin 2 \theta, \tag{2.12.10}\label{eq:2.12.10}$$

$$H_{1} = H \cos 2 \theta - \frac{1}{2}(B-A)\sin2 \theta \tag{2.12.11}\label{eq:2.12.11}$$

Ці рівняння дозволяють обчислити моменти інерції щодо осей O,$x_{1}y_{1}$ якщо ми знаємо моменти щодо осей О$xy$. Далі питання важливості, ми бачимо, з Equation\ ref {eq:2.12.11}, що якщо

$$\tan 2 \theta = \frac{2H}{B-A} , \tag{2.12.12} \label{eq:2.12.12}$$

момент$H_{1}$ добутку по відношенню до осей$Oxy$ дорівнює нулю. Це надає деяке фізичне значення моменту добутку, а саме: Якщо ми можемо знайти деякі осі (які ми можемо, за допомогою Рівняння$\ref{eq:2.12.12}$), щодо яких момент добутку дорівнює нулю, ці осі називаються головними осями ламіни, а моментами інерції по відношенню до основної осями називають основні моменти інерції. Я буду використовувати символи$A_{0}$ і$B_{0}$ для основних моментів інерції, і я прийму конвенцію, що$A_{0} ≤ B_{0}$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо три точкові маси за координатами, наведеними нижче:

Маса	Координати
5	(1, 1)
3	(4, 2)
2	(3, 4)

Моменти інерції є$A = 49, B = 71, C = 53$. Координати центру мас - (2,3, 1,9). Якщо використовувати теорему про паралельні осі, ми можемо знайти моменти інерції щодо осей, паралельних вихідним, але з початком у центрі маси. Відносно цих осей ми знаходимо$A = 12.9, B = 18.1, H = +9.3$. Тому головні осі нахилені під кутами$\theta$ до$x$ -осі заданої (Рівняння$\ref{eq:2.12.12}$) по$\tan 2 \theta = 3.57669$; Тобто$\theta$ = 37 ° 11' і 127 ° 11'. При використанні рівняння\ ref {eq:2.12.9} або\ ref {eq:2.12.10} з цими двома кутами разом з умовою$A_{0} ≤ B_{0}$, яку ми отримуємо для головних моментів інерції$A_{0} = 5.84$ і$B_{0} = 25.16$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Розглянемо прямокутну трикутну пластинку Секції 11. Моменти інерції щодо осей, що проходять через центр мас і паралельні ортогональним сторонам трикутника є$A= \frac{1}{18} Mb^ 2, B= \frac{1}{18} Ma^2, H=− \frac {1}{36} Mab$. Кути, які основні осі роблять зі стороною$a$ -, задаються$\tan 2 \theta = \frac{ab}{b^2-a^2}$. Зацікавлений читач зможе опрацювати вирази, з точки зору$M, a, b,$ за принциповими моментами.