2.13: Моментальний еліпс

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76168

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо плоску пластинку таким чином, що її радіус обертання навколо деякої осі через центр маси є\(k\). Нехай P є вектором у напрямку цієї осі, що бере початок у центрі маси, заданої

\[ {\bf P} = \frac{a^2}{k} {\bf\hat{r}} \label{eq:2.13.1} \]

альт

\( \bf \hat{r} \)Ось одиничний вектор у напрямку, що цікавить;\( k \) є радіусом обертання, і\( a \) є довільною довжиною, введеною таким чином, що розміри довжини, а довжина вектора\( \bf P \) обернено пропорційна радіусу обертання.\( \bf P \) Момент інерції є\(Mk^2 = \frac{Ma^4}{ P^2} \). Тобто сказати

\[ \frac{Ma^4}{P^2} = A \cos ^2 \theta - 2 H \sin \theta \cos \theta + B \sin^2 \theta, \tag{2.13.2}\label{eq:2.13.2} \]

де\(A, H \) і\(B \) є моменти щодо\(x \) - і\(y \) -осей. \( (x , y)\)Дозволяти координати кінчика вектора\( \bf P \), так що\(x = P\cos \theta \) і\(y = P\sin \theta \). Тоді

\[ Ma^4 = Ax^2 -2Hxy + By^2 .\label{eq:2.13.3} \]

Таким чином, незалежно від того, яка форма пластинки, хоч і неправильна і асиметрична, кінчик вектора\( \bf P \) простежує еліпс, осі якого нахилені під кутами\( \frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{2H}{B-A} ) \) до\(x \) - осі.

Це моментальний еліпс, а осі моментального еліпса - головні осі пластинки.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо правильний\(n\) -кутник. За симетрії момент інерції однаковий щодо будь-яких двох осей в площині, нахилених один\( 2 \pi / n \) до одного. Це можливо тільки в тому випадку, якщо моментальним еліпсом є коло. Звідси випливає, що момент інерції однорідної багатокутної площини пластинки однаковий щодо будь-якої осі в її площині і проходить через її центроїд.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Показати, що момент інерції однорідної площини\(n \) - кутника сторони\(2a \) навколо будь-якої осі в її площині і проходить через її центроїд є\( \frac{1}{12} ma^2 (1+3\cot^2 ( \pi /n)) \).

Що це за квадрат? Для рівностороннього трикутника?