2.13: Моментальний еліпс

Розглянемо плоску пластинку таким чином, що її радіус обертання навколо деякої осі через центр маси є$k$. Нехай P є вектором у напрямку цієї осі, що бере початок у центрі маси, заданої

$${\bf P} = \frac{a^2}{k} {\bf\hat{r}} \label{eq:2.13.1}$$

$\bf \hat{r}$Ось одиничний вектор у напрямку, що цікавить;$k$ є радіусом обертання, і$a$ є довільною довжиною, введеною таким чином, що розміри довжини, а довжина вектора$\bf P$ обернено пропорційна радіусу обертання.$\bf P$ Момент інерції є$Mk^2 = \frac{Ma^4}{ P^2}$. Тобто сказати

$$\frac{Ma^4}{P^2} = A \cos ^2 \theta - 2 H \sin \theta \cos \theta + B \sin^2 \theta, \tag{2.13.2}\label{eq:2.13.2}$$

де$A, H$ і$B$ є моменти щодо$x$ - і$y$ -осей. $(x , y)$Дозволяти координати кінчика вектора$\bf P$, так що$x = P\cos \theta$ і$y = P\sin \theta$. Тоді

$$Ma^4 = Ax^2 -2Hxy + By^2 .\label{eq:2.13.3}$$

Таким чином, незалежно від того, яка форма пластинки, хоч і неправильна і асиметрична, кінчик вектора$\bf P$ простежує еліпс, осі якого нахилені під кутами$\frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{2H}{B-A} )$ до$x$ - осі.

Це моментальний еліпс, а осі моментального еліпса - головні осі пластинки.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розглянемо правильний$n$ -кутник. За симетрії момент інерції однаковий щодо будь-яких двох осей в площині, нахилених один$2 \pi / n$ до одного. Це можливо тільки в тому випадку, якщо моментальним еліпсом є коло. Звідси випливає, що момент інерції однорідної багатокутної площини пластинки однаковий щодо будь-якої осі в її площині і проходить через її центроїд.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що момент інерції однорідної площини$n$ - кутника сторони$2a$ навколо будь-якої осі в її площині і проходить через її центроїд є$\frac{1}{12} ma^2 (1+3\cot^2 ( \pi /n))$.

Що це за квадрат? Для рівностороннього трикутника?