1.1: Вступ та деякі визначення

У цій главі розглядається розрахунок положень центрів мас різних тіл. Почнемо з короткого пояснення значення центру маси, центру ваги і центроїда, і дуже мало коротких речень про їх фізичне значення. Багато студентів побачать використання обчислення при обчисленні позицій центрів маси, і ми робимо це для

Площини площини

i для яких рівняння задано в\( x - y \) координатах;

ii для яких рівняння задано в полярних координатах.

Криві площини

i для яких рівняння задано в\( x - y \) координатах;

ii для яких рівняння задано в полярних координатах.

Тривимірні фігури, такі як суцільні і порожнисті півкулі і конуси.

Є деякі фігури, для яких цікаві геометричні похідні можна зробити без числення; наприклад, трикутні ламіни, і тверді тетраедри, піраміди і конуси. А теореми Паппуса дозволяють знаходити центри мас напівкруглих пластин і дуг в голові без обчислення.

По-перше, деякі визначення.

Розглянемо кілька точкових мас в\( x - y \) площині:

\( m_{1} \)в (\( x_{1} , y_{1} \))

\( m_{2} \)в (\( x_{2} , y_{2} \))

і т.д.

Центром маси є точка (\( \bar{x} , \bar{y} \)), координати якої визначаються

\[ \overline{x} = \frac{ \sum m_{i} x_{i} }{M} \qquad \overline{y} = \frac{ \sum m_{i} y_{i} }{M} \label{eq:1.1.1} \]

де\( M\) - загальна маса\( \sum m_{i} \). Сума\( \sum m_{i} x_{i} \) - це перший момент маси по відношенню до осі y. Сума\( \sum m_{i} y_{i} \) - це перший момент маси по відношенню до\( x\) осі.

Якщо маси розподілені в тривимірному просторі, з\( m_{1} \) at (\( x_{1} , y_{1}, z_{1} \)) тощо, центром маси є точка (\( \overline{x}, \overline{y}, \overline{z} \)) така, що

\[ \overline{x} = \frac{ \sum m_{i} x_{i} }{M} \qquad \overline{y} = \frac{ \sum m_{i} y_{i} }{M} \qquad \overline{y} = \frac{ \sum m_{i} z_{i} }{M} \label{eq:1.1.2} \]

У цьому випадку\( \sum m_{i} x_{i} \)_{,\( \sum m_{i} y_{i} \),,\( \sum m_{i} z_{i} \)} є перші моменти маси по відношенню до\( y-z, z-x \) and \( x-y \) planes respectively.

У будь-якому випадку ми можемо використовувати\(\bf{ r}_{1}, r_{2}, r_{3} \) векторні позначення і припустити, що це вектори положення відносно \( m_{1}, m_{2}, m_{3} \)початку, а центр маси - це точка, вектор положення якої\(\bf\overline{r}\) is defined by

\[\overline{r} = \frac{ \sum m_{i}\bf{r_{i}} }{M}\label{eq:1.1.3} \]

У цьому випадку сума є векторною сумою і\( \sum m_{i} \bf{r_{i}} \) векторною величиною, є першим моментом маси по відношенню до походження. Його скалярні складові в двовимірному випадку - це моменти щодо осей; у тривимірному випадку вони є моментами щодо площин.

Багато ранніх книг, а деякі сучасні використовують термін «центр ваги». Строго центр ваги - це точка, положення якої визначається відношенням першого моменту ваги до загальної ваги. Це буде ідентично центру мас за умови, що сила гравітаційного поля\( g\) (or gravitational acceleration) is the same throughout the space in which the masses are situated. This is usually the case, though it need not necessarily be so in some contexts.

Для плоскої геометричної фігури, центроїд або центр площі, є точкою, положення якої визначається як відношення першого моменту площі до загальної площі. Це буде те саме, що і положення центру маси плоской пластини однакового розміру і форми за умови, що пластинка має рівномірну поверхневу щільність.

Обчислення положення центру маси різних фігур можна розглядати як просто математичну вправу. Однак центри ваги, маси та площі мають важливе застосування при вивченні механіки.

Наприклад, більшість студентів в той чи інший час робили проблеми в статичній рівновазі, такі як сходи, притулені до стіни. У них будуть слухняно намальовані вектори, що вказують сили на сходи біля землі і біля стіни, і вектор, що вказує на вагу сходів. Вони намалювали це як єдину стрілку в центрі ваги сходів так, ніби всю вагу сходів можна було б «вважати, що діє» в центрі ваги. У якому сенсі ми можемо взяти цю свободу і «вважати всю вагу так, ніби вона зосереджена в центрі ваги»? Насправді сходи складаються з безлічі точкових мас (атомів) по всій її довжині. Однією з умов рівноваги є відсутність чистого крутного моменту на сходах. Визначення центру ваги таке, що сума моментів ваг всіх атомів про підставу сходів дорівнює загальній вазі, що умножується на горизонтальну відстань до центру ваги, і саме в цьому сенсі вся вага «може вважатися діяти» там. До речі, у цьому прикладі «центр ваги» є правильним терміном для використання. Відмінність була б важливою, якби сходи знаходилися в неоднорідному гравітаційному полі.

У динаміці сумарний лінійний імпульс системи частинок дорівнює загальній масі, що перевищує швидкість центру маси. Це може бути «очевидним», але це вимагає формального доказу, хоча і такого, що дуже швидко випливає з визначення центру маси.

Так само кінетична енергія твердого тіла в двох\( \frac{1}{2} MV^{2} + \frac{1}{2}I \omega^{2} \) where \( M\) is the total mass, \( V\) the speed of the centre of mass, \( I\) the rotational inertia and \( \omega\) вимірах дорівнює кутовій швидкості, як навколо центру маси. Знову ж таки, це вимагає формального доказу, але в будь-якому випадку він надає нам ще один приклад, щоб показати, що розрахунок позицій центрів мас - це більше, ніж просто математична вправа, що робить роботу і що воно має певне фізичне значення.

Якщо вертикальна поверхня занурена під воду (наприклад, стіну греблі), то можна показати, що загальна гідростатична сила на вертикальній поверхні дорівнює площі, що перевищує тиск на центроїді. Для цього потрібні докази (легко виведені з визначення центроїда та елементарних гідростатичних принципів), але це ще один приклад фізичного застосування знання положення центроїда.