15.6: Двовимірні пружні зіткнення

Двовимірне пружне зіткнення в лабораторному опорному кадрі

Розглянемо пружне зіткнення двох частинок, при якому ми нехтуємо будь-якими зовнішніми силами на систему, що складається з двох частинок. Частинка 1 маси$m_{1}$ спочатку рухається зі швидкістю$\overrightarrow{\mathbf{V}}_{1, i}$ і пружно стикається з частинкою 2 маси, яка$m_{2}$ спочатку знаходиться в стані спокою. Ми будемо називати систему відліку, в якій одна частинка знаходиться в стані спокою, «мішенню», як лабораторну систему відліку. Після зіткнення частка 1 рухається зі швидкістю$\overrightarrow{\mathbf{V}}_{1, f}$, а частка 2 рухається зі швидкістю$\overrightarrow{\mathbf{V}}_{2, f}$, (рис. 15.9). Кути$\theta_{1, f}$ і$\theta_{2, f}$ які частинки роблять з позитивним прямим напрямком частинки 1, називаються лабораторними кутами розсіювання.

Малюнок 15.9 Двовимірне зіткнення в лабораторній системі відліку

Взагалі початкова швидкість$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, i}$ частинки 1 відома, і ми хотіли б визначити кінцеві швидкості$\overrightarrow{\mathbf{V}}_{1, f}$ і$\overrightarrow{\mathbf{V}}_{2, f}$, що вимагає знаходження величин і напрямків кожного з цих векторів,$v_{1, f}, v_{2, f}, \theta_{1, f}$ і$\theta_{2, f}$ Ці величини пов'язані двома рівняннями, що описують сталість імпульсу, і одне рівняння, що описує сталість кінетичної енергії. Тому є одна ступінь свободи, яку ми повинні вказати, щоб визначити результат зіткнення. У наступному ми висловимо наші результати з$v_{1, f}, v_{2, f}, \text { and } \theta_{2, f}$ точки зору$v_{1, i} \text { and } \theta_{1, f}$.

Компоненти сумарного імпульсу

$$\overrightarrow{\mathbf{p}}_{i}^{\mathrm{sys}}=m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, i}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2, i} \nonumber$$ \ [\ begin {масив} {l}
p_ {x, i} ^ {\ mathrm {sys}} =m_ {1} v_ {1, i}\\
p_ {y, i} ^ {\ mathrm {sys}} =0
\ end {масив}\ nonumber\] Компоненти імпульсу $$\overrightarrow{\mathbf{p}}_{f}^{\mathrm{sys}}=m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, f}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2, f} \nonumber$$ в кінцевому стані задаються\ [\ begin {масив} {l}
p_ {x, f} ^ {\ mathrm {sys}} =m_ {1} v_ {1, f}\ cos\ theta_ {1, f} +m_ {2} v_ {2, f}\ cos\ theta_ {2, f}\\
p_ {y, f} ^ {\ mathrm {sys}} =m_ {1} v_ {1, f}\ sin\ theta_ {1, f} -m_ {2} v_ {2, f}\ sin\ theta_ {2, f}
\ end {array}\ nonumber\] Немає ніяких зовнішніх сил, що діють на систему, тому кожна складова сумарного імпульсу залишається постійною при зіткненні, $$p_{x, i}^{\mathrm{sss}}=p_{x, f}^{\mathrm{ss}} \nonumber$$ $$p_{y, i}^{\mathrm{ss}}=p_{y, f}^{\mathrm{sys}} \nonumber$$ рівняння (15.6.3) і (15.6.4) стають $$m_{1} v_{1, i}=m_{1} v_{1, f} \cos \theta_{1, f}+m_{2} v_{2, f} \cos \theta_{2, f} \nonumber$$ , $$0=m_{1} v_{1, f} \sin \theta_{1, f}-m_{2} v_{2, f} \sin \theta_{2, f} \nonumber$$ . Зіткнення є пружним, і тому кінетична енергія системи постійна $$K_{i}^{\mathrm{sys}}=K_{f}^{\mathrm{sys}} \nonumber$$ Використовуючи задану інформацію, Рівняння (15.6.7) стає $$\frac{1}{2} m_{1} v_{1, i}^{2}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1, f}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2, f}^{2} \nonumber$$ Переписати вирази в рівняннях (15.6.5) і (15.6.6) як $$m_{2} v_{2, f} \cos \theta_{2, f}=m_{1}\left(v_{1, i}-v_{1, f} \cos \theta_{1, f}\right) \nonumber$$ $$m_{2} v_{2, f} \sin \theta_{2, f}=m_{1} v_{1, f} \sin \theta_{1, f} \nonumber$$ квадрат кожного з виразів у рівняннях (15.6.9) і (15.6.10 ), скласти їх разом і використовувати ідентичність, що $$\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1 \nonumber$$ дає рівняння $$v_{2, f}^{2}=\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}\left(v_{1, i}^{2}-2 v_{1, i} v_{1, f} \cos \theta_{1, f}+v_{1, f}^{2}\right) \nonumber$$ підстановки (15.6.11) в Рівняння (15.6.8) дає $$\frac{1}{2} m_{1, i}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1, f}^{2}+\frac{1}{2} \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}}\left(v_{1, i}^{2}-2 v_{1, i} v_{1, f} \cos \theta_{1, f}+v_{1, f}^{2}\right) \nonumber$$ Рівняння (15.6.12) спрощує $$0=\left(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right) v_{1, f}^{2}-\frac{m_{1}}{m_{2}} 2 v_{1, i} v_{1, f} \cos \theta_{1, f}-\left(1-\frac{m_{1}}{m_{2}}\right) v_{1, i}^{2} \nonumber$$ нехай$\alpha=m_{1} / m_{2}$ тоді рівняння (15.6.13) може бути записано як $$0=(1+\alpha) v_{1, f}^{2}-2 \alpha v_{1, i} v_{1, f} \cos \theta_{1, f}-(1-\alpha) v_{1, i}^{2} \nonumber$$ Рішення цього квадратного рівняння є задається $$v_{1, f}=\frac{\alpha v_{1, i} \cos \theta_{1, f} \pm\left(\alpha^{2} v_{1, i}^{2} \cos ^{2} \theta_{1, f}+(1-\alpha) v_{1, i}^{2}\right)^{1 / 2}}{(1+\alpha)} \nonumber$$ розділенням виразів у рівнянні (15.6.9), що дає $$\frac{v_{2, f} \sin \theta_{2, f}}{v_{2, f} \cos \theta_{2, f}}=\frac{v_{1, f} \sin \theta_{1, f}}{v_{1, i}-v_{1, f} \cos \theta_{1, f}} \nonumber$$ рівняння (15.6.16) спрощує $$\tan \theta_{2, f}=\frac{v_{1, f} \sin \theta_{1, f}}{v_{1, i}-v_{1, f} \cos \theta_{1, f}} \nonumber$$

Зв'язок між кутами розсіювання в Рівнянні (15.6.17) не залежить від мас стикаються частинок. Таким чином, кут розсіювання для частинки 2 дорівнює Тепер

$$\theta_{2, f}=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{1, f} \sin \theta_{1, f}}{v_{1, i}-v_{1, f} \cos \theta_{1, f}}\right) \nonumber$$ ми можемо використовувати Рівняння (15.6.10), щоб знайти вираз для кінцевої швидкості частинки 1 $$v_{2, f}=\frac{v_{1, f} \sin \theta_{1, f}}{\alpha \sin \theta_{2, f}} \nonumber$$

Приклад 15.5 Пружне двовимірне зіткнення однакових частинок

Малюнок 15.10 Схема потоку імпульсу для двовимірного пружного зіткнення

Об'єкт 1 з масою спочатку рухається зі швидкістю = 3,0$\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ і пружно стикається з об'єктом 2, який має однакову масу$m_{2}=m_{1}$, і спочатку знаходиться в стані спокою. Після зіткнення об'єкт 1 рухається з невідомою$v_{1, f}$ швидкістю під кутом$\theta_{1, f}$, щодо свого початкового напрямку руху і об'єкт 2 рухається з невідомою швидкістю$v_{2, f}$, під невідомим кутом$\theta_{2, f}$, f (як показано на малюнку 15.10). Знайдіть кінцеві швидкості кожного з об'єктів і кут$\theta_{2, f}$.

Рішення

Тому що маси рівні,$\alpha=1$. Нам це дано$v_{1, i}=3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$. Нам дано, що$v_{1, i}=3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ і$\theta_{1, f}=30^{\circ}$. Отже, рівняння (15.5.14) зводиться до

$$v_{1, f}=v_{1, i} \cos \theta_{1, f}=\left(3.0 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right) \cos 30^{\circ}=2.6 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber$$

Підстановка рівняння (15.6.20) у рівнянні (15.6.17) дає\ [
\ почати {вирівняний}\ theta_ {2, f} &=\ тан ^ {-1}\ лівий (\ frac {v_ {1, f}\ sin\ theta_ {1, f}} {v_ {1, i} -v_ {1, f}\ праворуч)\\
\ theta_ {2, f} &=\ tan ^ {-1}\ ліворуч (\ frac {\ left (2.6\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч)\ sin\ ліворуч (30^ {\ circ}\ праворуч)} {3.0\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1} -\ лівий (2.6\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч)\ cos\ лівий (30^ {\ circ}\ праворуч)}\ праворуч)\\
&60 = ^ {\ circ}
\ end {aligned}\ nonumber\] Наведені вище результати для$v_{1, f}$ і$\theta_{2, f}$ можуть бути замінені на будь-який з виразів у Рівнянні (15.6.9), або Рівняння (15.6.11), щоб знайти$v_{2, f}=1.5 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$. Рівняння (15.6.11) також має рішення$v_{2, f} = 0$, яке відповідало б падаючою частинці, яка повністю пропускає ціль.

Перш ніж йти далі, те,$\theta_{1, f}+\theta_{2, f}=90^{\circ}$ що тобто предмети відходять від точки зіткнення під прямим кутом, не випадково. Векторна деривація представлена в прикладі 15.6. Цей результат ми можемо побачити алгебраїчно з наведеного вище результату. Заміна рівняння (15.6.20)$v_{1, f}=v_{1, i} \cos \theta_{1, f}$ у Рівняння (15.6.17) дає

$$\tan \theta_{2, f}=\frac{\cos \theta_{1, f} \sin \theta_{1, f}}{1-\cos \theta_{1, f}^{2}}=\cot \theta_{1, f}=\tan \left(90^{\circ}-\theta_{1, f}\right) \nonumber$$ показ того$\theta_{1, f}+\theta_{2, f}=90^{\circ}$, що кути$\theta_{1, f}$ і$\theta_{2, f}$ є доповненнями.

Приклад 15.6 Двовимірне пружне зіткнення між частинками однакової маси

Показати, що частинки рівної маси виникають внаслідок двовимірного пружного зіткнення під прямим кутом шляхом явного використання того факту, що імпульс є векторною величиною.

Малюнок 15.11 Пружне розсіювання однакових частинок

Рішення

Виберіть опорну рамку, в якій частка 2 спочатку знаходиться в стані спокою (рис. 15.11). Немає зовнішніх сил, що діють на два об'єкти під час зіткнення (сили зіткнення всі внутрішні), тому імпульс постійний,

$$\overrightarrow{\mathbf{p}}_{i}^{\mathrm{sys}}=\overrightarrow{\mathbf{p}}_{f}^{\mathrm{sys}} \nonumber$$ який стає $$m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, i}=m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, f}+m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2, f} \nonumber$$ рівнянням (15.6.24) спрощує $$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, i}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, f}+\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2, f} \nonumber$$ згадати векторну ідентичність, що квадрат швидкості задається точковим добутком $\overrightarrow{\mathbf{v}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=v^{2}$. Маючи на увазі цю ідентичність, ми беремо точковий добуток кожної сторони рівняння (15.6.25) з собою,\ [\ begin {вирівняний}
\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1, i}\ cdot\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1, i} &=\ left (\ overrightarrow {\ mathbf {v}}} _ {1, f} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ стрілка переходу {\ mathbf {v}} _ {1, f} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f}\ праворуч)\\
&=\ переправа {\ mathbf {v}} _ {1, f}\ cdot\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1, f} +2\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1, f}\ cdot\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f}\ cdot\ стрілка переправа {\ mathbf {v}} _ {2, f}
\ end {aligned}\ nonumber\] Це стає $$v_{1, i}^{2}=v_{1, f}^{2}+2 \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, f} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2, f}+v_{2, f}^{2} \nonumber$$ Нагадаємо, що кінетична енергія однакова до і після пружного зіткнення, а маси двох об'єктів рівні, тому сталість енергії, (Рівняння (15.4.2)) спрощує $$v_{1, i}^{2}=v_{1, f}^{2}+v_{2, f}^{2} \nonumber$$ порівняння рівняння (15.6.27) до Рівняння (15.6.28) ми бачимо, що $$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1, f} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2, f}=0 \nonumber$$ крапковий добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, коли два вектори знаходяться під прямим кутом один до одного, що виправдовує наше твердження, що частинки зіткнення виникають під прямим кутом один до одного.

Приклад 15.7 Двовимірне зіткнення між частинками нерівної маси

Частинка 1 маси$m_{1}$, спочатку рухається в позитивному напрямку x (праворуч на малюнку нижче) зі швидкістю$v_{1, i}$ стикається з частинкою 2 маси,$m_{2}=m_{1} / 3$ яка спочатку рухається в протилежному напрямку (рис. 15.12) з невідомою швидкістю$v_{2, i}$. Припустимо, що сумарна зовнішня сила, що діє на частинки, дорівнює нулю. Не варто вважати, що зіткнення еластичне. Після зіткнення частка 1 рухається зі швидкістю$v_{1, f}=v_{1, i} / 2$ в негативному напрямку y. Після зіткнення частка 2 рухається з невідомою$v_{2, f}$ швидкістю під$\theta_{2, f}=45^{\circ}$ кутом по відношенню до позитивного напрямку х. (i) Визначити початкову швидкість$v_{2 i}$ частинки 2 і кінцеву швидкість$v_{2, f}$ частинки 2 в перерахунку на$\mathcal{V}_{1, i}$. (ii) Чи є зіткнення еластичним?

Малюнок 15.12 Двовимірне зіткнення між частинками нерівної маси

Рішення

Ми вибираємо в якості нашої системи дві частинки. Нам це дано$v_{1, f}=v_{1, i} / 2$. Ми застосовуємо дві умови імпульсу,

$$m_{1} v_{1, i}-\left(m_{1} / 3\right) v_{2, i}=\left(m_{1} / 3\right) v_{2, f}(\sqrt{2} / 2) \nonumber$$ $$0=m_{1} v_{1, f}-\left(m_{1} / 3\right) v_{2, f}(\sqrt{2} / 2) \nonumber$$ Розв'язуємо рівняння (15.5.31) для$v_{2, f}$: $$v_{2, f}=3 \sqrt{2} v_{1, f}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} v_{1, i} \nonumber$$ Замінюємо рівняння (15.6.32) у рівняння (15.6.30) і вирішуємо для$v_{2, i}$ $$v_{2, i}=(3 / 2) v_{1, i} \nonumber$$ Початкова кінетична енергія тоді $$K_{i}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1, i}^{2}+\frac{1}{2}\left(m_{1} / 3\right) v_{2, i}^{2}=\frac{7}{8} m_{1} v_{1, i}^{2} \nonumber$$ Кінцева кінетична енергія $$K_{f}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1, f}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2, f}^{2}=\frac{1}{8} m_{1} v_{1, i}^{2}+\frac{3}{4} m_{1} v_{1, i}^{2}=\frac{7}{8} m_{1} v_{1, i}^{2} \nonumber$$ Порівняння нашої результати, ми бачимо, що кінетична енергія постійна, тому зіткнення пружне.