15.6: Двовимірні пружні зіткнення
Двовимірне пружне зіткнення в лабораторному опорному кадрі
Розглянемо пружне зіткнення двох частинок, при якому ми нехтуємо будь-якими зовнішніми силами на систему, що складається з двох частинок. Частинка 1 масиm1 спочатку рухається зі швидкістю→V1,i і пружно стикається з частинкою 2 маси, якаm2 спочатку знаходиться в стані спокою. Ми будемо називати систему відліку, в якій одна частинка знаходиться в стані спокою, «мішенню», як лабораторну систему відліку. Після зіткнення частка 1 рухається зі швидкістю→V1,f, а частка 2 рухається зі швидкістю→V2,f, (рис. 15.9). Кутиθ1,f іθ2,f які частинки роблять з позитивним прямим напрямком частинки 1, називаються лабораторними кутами розсіювання.

Взагалі початкова швидкість→v1,i частинки 1 відома, і ми хотіли б визначити кінцеві швидкості→V1,f і→V2,f, що вимагає знаходження величин і напрямків кожного з цих векторів,v1,f,v2,f,θ1,f іθ2,f Ці величини пов'язані двома рівняннями, що описують сталість імпульсу, і одне рівняння, що описує сталість кінетичної енергії. Тому є одна ступінь свободи, яку ми повинні вказати, щоб визначити результат зіткнення. У наступному ми висловимо наші результати зv1,f,v2,f, and θ2,f точки зоруv1,i and θ1,f.
Компоненти сумарного імпульсу→psysi=m1→v1,i+m2→v2,i\ [\ begin {масив} {l}
p_ {x, i} ^ {\ mathrm {sys}} =m_ {1} v_ {1, i}\\
p_ {y, i} ^ {\ mathrm {sys}} =0
\ end {масив}\ nonumber\] Компоненти імпульсу→psysf=m1→v1,f+m2→v2,f в кінцевому стані задаються\ [\ begin {масив} {l}
p_ {x, f} ^ {\ mathrm {sys}} =m_ {1} v_ {1, f}\ cos\ theta_ {1, f} +m_ {2} v_ {2, f}\ cos\ theta_ {2, f}\\
p_ {y, f} ^ {\ mathrm {sys}} =m_ {1} v_ {1, f}\ sin\ theta_ {1, f} -m_ {2} v_ {2, f}\ sin\ theta_ {2, f}
\ end {array}\ nonumber\] Немає ніяких зовнішніх сил, що діють на систему, тому кожна складова сумарного імпульсу залишається постійною при зіткненні,psssx,i=pssx,fpssy,i=psysy,f рівняння (15.6.3) і (15.6.4) стаютьm1v1,i=m1v1,fcosθ1,f+m2v2,fcosθ2,f,0=m1v1,fsinθ1,f−m2v2,fsinθ2,f. Зіткнення є пружним, і тому кінетична енергія системи постійнаKsysi=Ksysf Використовуючи задану інформацію, Рівняння (15.6.7) стає12m1v21,i=12m1v21,f+12m2v22,f Переписати вирази в рівняннях (15.6.5) і (15.6.6) якm2v2,fcosθ2,f=m1(v1,i−v1,fcosθ1,f)m2v2,fsinθ2,f=m1v1,fsinθ1,f квадрат кожного з виразів у рівняннях (15.6.9) і (15.6.10 ), скласти їх разом і використовувати ідентичність, щоcos2θ+sin2θ=1 дає рівнянняv22,f=m21m22(v21,i−2v1,iv1,fcosθ1,f+v21,f) підстановки (15.6.11) в Рівняння (15.6.8) дає12m1,i=12m1v21,f+12m21m2(v21,i−2v1,iv1,fcosθ1,f+v21,f) Рівняння (15.6.12) спрощує0=(1+m1m2)v21,f−m1m22v1,iv1,fcosθ1,f−(1−m1m2)v21,i нехайα=m1/m2 тоді рівняння (15.6.13) може бути записано як0=(1+α)v21,f−2αv1,iv1,fcosθ1,f−(1−α)v21,i Рішення цього квадратного рівняння є задаєтьсяv1,f=αv1,icosθ1,f±(α2v21,icos2θ1,f+(1−α)v21,i)1/2(1+α) розділенням виразів у рівнянні (15.6.9), що даєv2,fsinθ2,fv2,fcosθ2,f=v1,fsinθ1,fv1,i−v1,fcosθ1,f рівняння (15.6.16) спрощуєtanθ2,f=v1,fsinθ1,fv1,i−v1,fcosθ1,f
Зв'язок між кутами розсіювання в Рівнянні (15.6.17) не залежить від мас стикаються частинок. Таким чином, кут розсіювання для частинки 2 дорівнює Теперθ2,f=tan−1(v1,fsinθ1,fv1,i−v1,fcosθ1,f) ми можемо використовувати Рівняння (15.6.10), щоб знайти вираз для кінцевої швидкості частинки 1v2,f=v1,fsinθ1,fαsinθ2,f
Приклад 15.5 Пружне двовимірне зіткнення однакових частинок

Об'єкт 1 з масою спочатку рухається зі швидкістю = 3,0m⋅s−1 і пружно стикається з об'єктом 2, який має однакову масуm2=m1, і спочатку знаходиться в стані спокою. Після зіткнення об'єкт 1 рухається з невідомоюv1,f швидкістю під кутомθ1,f, щодо свого початкового напрямку руху і об'єкт 2 рухається з невідомою швидкістюv2,f, під невідомим кутомθ2,f, f (як показано на малюнку 15.10). Знайдіть кінцеві швидкості кожного з об'єктів і кутθ2,f.
Рішення
Тому що маси рівні,α=1. Нам це даноv1,i=3.0m⋅s−1. Нам дано, щоv1,i=3.0m⋅s−1 іθ1,f=30∘. Отже, рівняння (15.5.14) зводиться доv1,f=v1,icosθ1,f=(3.0m⋅s−1)cos30∘=2.6m⋅s−1
Підстановка рівняння (15.6.20) у рівнянні (15.6.17) дає\ [
\ почати {вирівняний}\ theta_ {2, f} &=\ тан ^ {-1}\ лівий (\ frac {v_ {1, f}\ sin\ theta_ {1, f}} {v_ {1, i} -v_ {1, f}\ праворуч)\\
\ theta_ {2, f} &=\ tan ^ {-1}\ ліворуч (\ frac {\ left (2.6\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч)\ sin\ ліворуч (30^ {\ circ}\ праворуч)} {3.0\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1} -\ лівий (2.6\ mathrm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}\ праворуч)\ cos\ лівий (30^ {\ circ}\ праворуч)}\ праворуч)\\
&60 = ^ {\ circ}
\ end {aligned}\ nonumber\] Наведені вище результати дляv1,f іθ2,f можуть бути замінені на будь-який з виразів у Рівнянні (15.6.9), або Рівняння (15.6.11), щоб знайтиv2,f=1.5m⋅s−1. Рівняння (15.6.11) також має рішенняv2,f=0, яке відповідало б падаючою частинці, яка повністю пропускає ціль.
Перш ніж йти далі, те,θ1,f+θ2,f=90∘ що тобто предмети відходять від точки зіткнення під прямим кутом, не випадково. Векторна деривація представлена в прикладі 15.6. Цей результат ми можемо побачити алгебраїчно з наведеного вище результату. Заміна рівняння (15.6.20)v1,f=v1,icosθ1,f у Рівняння (15.6.17) даєtanθ2,f=cosθ1,fsinθ1,f1−cosθ21,f=cotθ1,f=tan(90∘−θ1,f) показ тогоθ1,f+θ2,f=90∘, що кутиθ1,f іθ2,f є доповненнями.
Приклад 15.6 Двовимірне пружне зіткнення між частинками однакової маси
Показати, що частинки рівної маси виникають внаслідок двовимірного пружного зіткнення під прямим кутом шляхом явного використання того факту, що імпульс є векторною величиною.

Рішення
Виберіть опорну рамку, в якій частка 2 спочатку знаходиться в стані спокою (рис. 15.11). Немає зовнішніх сил, що діють на два об'єкти під час зіткнення (сили зіткнення всі внутрішні), тому імпульс постійний,→psysi=→psysf який стаєm1→v1,i=m1→v1,f+m1→v2,f рівнянням (15.6.24) спрощує→v1,i=→v1,f+→v2,f згадати векторну ідентичність, що квадрат швидкості задається точковим добутком →v⋅→v=v2. Маючи на увазі цю ідентичність, ми беремо точковий добуток кожної сторони рівняння (15.6.25) з собою,\ [\ begin {вирівняний}
\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1, i}\ cdot\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1, i} &=\ left (\ overrightarrow {\ mathbf {v}}} _ {1, f} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ стрілка переходу {\ mathbf {v}} _ {1, f} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f}\ праворуч)\\
&=\ переправа {\ mathbf {v}} _ {1, f}\ cdot\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1, f} +2\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1, f}\ cdot\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2, f}\ cdot\ стрілка переправа {\ mathbf {v}} _ {2, f}
\ end {aligned}\ nonumber\] Це стаєv21,i=v21,f+2→v1,f⋅→v2,f+v22,f Нагадаємо, що кінетична енергія однакова до і після пружного зіткнення, а маси двох об'єктів рівні, тому сталість енергії, (Рівняння (15.4.2)) спрощуєv21,i=v21,f+v22,f порівняння рівняння (15.6.27) до Рівняння (15.6.28) ми бачимо, що→v1,f⋅→v2,f=0 крапковий добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, коли два вектори знаходяться під прямим кутом один до одного, що виправдовує наше твердження, що частинки зіткнення виникають під прямим кутом один до одного.
Приклад 15.7 Двовимірне зіткнення між частинками нерівної маси
Частинка 1 масиm1, спочатку рухається в позитивному напрямку x (праворуч на малюнку нижче) зі швидкістюv1,i стикається з частинкою 2 маси,m2=m1/3 яка спочатку рухається в протилежному напрямку (рис. 15.12) з невідомою швидкістюv2,i. Припустимо, що сумарна зовнішня сила, що діє на частинки, дорівнює нулю. Не варто вважати, що зіткнення еластичне. Після зіткнення частка 1 рухається зі швидкістюv1,f=v1,i/2 в негативному напрямку y. Після зіткнення частка 2 рухається з невідомоюv2,f швидкістю підθ2,f=45∘ кутом по відношенню до позитивного напрямку х. (i) Визначити початкову швидкістьv2i частинки 2 і кінцеву швидкістьv2,f частинки 2 в перерахунку наV1,i. (ii) Чи є зіткнення еластичним?

Рішення
Ми вибираємо в якості нашої системи дві частинки. Нам це даноv1,f=v1,i/2. Ми застосовуємо дві умови імпульсу,m1v1,i−(m1/3)v2,i=(m1/3)v2,f(√2/2)0=m1v1,f−(m1/3)v2,f(√2/2) Розв'язуємо рівняння (15.5.31) дляv2,f:v2,f=3√2v1,f=3√22v1,i Замінюємо рівняння (15.6.32) у рівняння (15.6.30) і вирішуємо дляv2,iv2,i=(3/2)v1,i Початкова кінетична енергія тодіKi=12m1v21,i+12(m1/3)v22,i=78m1v21,i Кінцева кінетична енергіяKf=12m1v21,f+12m2v22,f=18m1v21,i+34m1v21,i=78m1v21,i Порівняння нашої результати, ми бачимо, що кінетична енергія постійна, тому зіткнення пружне.