15.2: Опорні кадри та відносні швидкості

Згадаймо наше визначення відносних інерційних систем відліку. \(\overrightarrow{\mathbf{R}}\)Дозволяти вектор від початку кадру\(S\) до початку відліку кадру S′. Позначають вектор положення\(j^{\text {th }}\) частинки щодо походження опорного кадру\(S\) по\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}\) і аналогічно, позначають вектор положення частинки щодо початку відліку кадру\(S^{\prime}\) по\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}^{\prime}\) (рис. 15.1).

Малюнок 15.1 Вектор положення\(j^{\text {th }}\) частинки в двох опорних кадрах.

Вектори положення пов'язані відносною\[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}^{\prime}+\overrightarrow{\mathbf{R}} \nonumber \] швидкістю (називайте це швидкістю прискорення) між двома опорними кадрами задається\[\overrightarrow{\mathbf{V}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{R}}}{d t} \nonumber \] Припустимо, що швидкість прискорення між двома опорними кадрами є постійною. Тоді відносне прискорення між двома опорними кадрами дорівнює нулю,\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{V}}}{d t}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \] Коли рівняння (15.2.3) задовольняється, опорні кадри\(S\) і S′ називаються відносно інерційними системами відліку. Припустимо,\(j^{\text {th }}\) частка на малюнку 15.1 рухається; тоді спостерігачі в різних системах відліку будуть вимірювати різні швидкості. Позначають швидкість\(j^{\text {th }}\) частинки в кадрі\(S\) по\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{j}=d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{j} / d t\), і швидкість тієї ж частинки в кадрі S′ по\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{j}^{\prime}=d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}^{\prime} / d t\). Беручи похідну, швидкості частинок у двох різних системах відліку пов'язані відповідно до\[\overrightarrow{\mathbf{v}}_{j}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{j}^{\prime}+\overrightarrow{\mathbf{V}} \nonumber \]

Відносні швидкості

Розглянемо дві частинки мас\(m_{1}\) і\(m_{2}\) взаємодіють за допомогою деякої сили (рис. 15.2).

Малюнок 15.2 Дві взаємодіючі частинки

Виберіть систему координат (рис. 15.3), в якій вектор положення тіла 1 задається,\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\) а вектор положення тіла 2 задається\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\). Відносне положення тіла 1 щодо тіла 2 задається\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\)

Малюнок 15.3 Система координат для двох тіл.

В ході взаємодії тіло 1 зміщується на\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\) і тіло 2 зміщується\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\) таким чином відносне зміщення двох тіл під час взаємодії задається\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}=d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\). Відносна швидкість між частинками дорівнює\[ \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1,2}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}}{d t}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}}{d t}-\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}}{d t}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2} \nonumber \]

Тепер ми покажемо, що відносна швидкість між двома частинками не залежить від вибору системи відліку за умови, що опорні кадри є відносно інерційними. Відносну швидкість\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{12}^{\prime}\) у відліковому кадрі S′ можна визначити за допомогою Equation 12 (15.2.4) для вираження Рівняння (15.2.5) через швидкості в системі відліку S′,\[\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1,2}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}=\left(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}+\overrightarrow{\mathbf{V}}\right)-\left(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime}+\overrightarrow{\mathbf{V}}\right)=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1,2}^{\prime} \nonumber \] і дорівнює відносній швидкості в кадрі S.

Для двочастинкової взаємодії відносна швидкість між двома векторами не залежить від вибору відносно інерційних систем відліку

Опорний кадр центру маси

\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{c m}\)Дозволяти вектор від початку кадру\(S\) до центру маси системи частинок, точку, яку ми виберемо як початок опорного кадру\(S_{cm}\), називається центром маси опорного кадру. Позначають вектор положення\(j^{\text {th}}\) частинки щодо походження системи відліку\(S\) по\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}\) і аналогічно, позначають положення\(j^{\text {th }}\) вектора частинки щодо походження системи відліку\(S_{cm}\) по\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}^{\prime}\). (Малюнок 15.4)

Малюнок 15.4 Вектор положення\(j^{\text {th }}\) частинки в системі відліку центру маси.

Вектор положення\(j^{\text {th }}\) частинки в кадрі центру маси потім задається\[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{j}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{cm} \nonumber \] Швидкість\(j^{\text {th }}\) частинки в системі відліку центру маси потім задається.\[\overrightarrow{\mathbf{v}}_{j}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{j}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{cm} \nonumber \] Існує багато проблем зіткнення, в яких опорний кадр центру маси є найбільш зручним опорний кадр для аналізу зіткнення.

Розглянемо систему, що складається з двох частинок, яку ми будемо називати часткою 1 і часткою 2. Ми можемо використовувати Рівняння (15.2.8) для визначення швидкостей частинок 1 і 2 в центрі маси,\[\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{c m}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}-\frac{m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1,}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}\right)=\frac{\mu}{m_{1}} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1,2} \nonumber \] де\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{12}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}\) відносна швидкість частинки 1 по відношенню до частинки 2. Аналогічний результат має для частинки 2:\[\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{c m}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}-\frac{m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}\right)=-\frac{\mu}{m_{2}} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1,2} \nonumber \] імпульс системи, орієнтир центру маси дорівнює нулю, як ми очікуємо,\[m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}+m_{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime}=\mu \overrightarrow{\mathbf{v}}_{12}-\mu \overrightarrow{\mathbf{v}}_{12}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Кінетична енергія в системі відліку центру маси

Кінетична енергія в центрі системи відліку мас задається\[K_{c m}=\frac{1}{2} m_{1} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}+\frac{1}{2} m_{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime} \nonumber \] ми тепер використовуємо рівняння (15.2.9) і (15.2.10) для перезапису кінетичної енергії через відносну швидкість\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{12}^{\prime}=\overrightarrow{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}-\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}^{\prime}\),\ [K_ {c m} =\ frac {1} {2} m_ {1}\ left (\ frac {\ mu} {m_ {1}}\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1,2}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ frac {\ mu } {m_ {1}}\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1,2}\ праворуч) +\ frac {1} {2} m_ {2}\ ліворуч (-\ frac {\ mu} {m_ {2}}\ переправа стрілка {\ mathbf {v}}} _ {1,2}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (-\ frac {\ mu} {m_ {2}}\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1,2}\ право) =\ frac {1} {2}\ mu^ {2}\ переправа {\ mathbf {v}} _ {1,2}\ cdot\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ 2}\ лівий (\ розрив {1} {m _ {1}} +\ frac {1} {m_ {2}}\ право) =\ frac {1} {2}\ mu v_ {1,2} ^ {2}
\ nonumber\] де ми використовували той факт, що ми визначили зменшену масу шляхом\[\frac{1}{\mu} \equiv \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \nonumber \]

Зміна кінетичної енергії та відносно інерційних систем відліку

Кінетична енергія двох частинок у системі відліку\(S\) задається\[K_{S}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \nonumber \] ми можемо взяти скалярний добуток Рівняння (15.2.8), щоб переписати рівняння (15.2.15) як

\ [\ почати {масив} {l}
K_ {S} =\ frac {1} {2} m_ {1}\ лівий (\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {1} ^ {\ правий} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {c m}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1} ^ {\ прайм} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {c m}\ праворуч) +\ frac {1} {2} m_ {2}\ ліворуч (\ переправа стрілка {\ mathbf {v}}} _ {2} ^ {\ прайм} +\ стрілка направо {\ mathbf {v}} _ {c m}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2} ^ {\ прайм} +\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {c m}\ праворуч)\\
=\ frac {1} {2} m_ {1} _ {1} ^ {\ прайм 2} +\ розрив {1} {2} m_ {2} v_ {2} ^ {\ правий 2} +\ розрив {1} {2}\ лівий (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч) v_ {c m} ^ {2} +\ лівий (m_ {1}\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {1} ^ {\ прайм} +m_ {2}\ переправа стрілка {\ mathbf {v}} _ {2} ^ {\ правий}\ правий)\ cdot\ overrightarrow {\ mathbf {v}} _ {c m}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Останній член дорівнює нулю в зв'язку з тим, що імпульс системи в центрі системи відліку маси дорівнює нулю (Рівняння (15.2.11)). Тому рівняння (15.2.16) стає

\[ K_{S}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{\prime 2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{\prime 2}+\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{c m}^{2} \nonumber \]

Перші два члени відповідають кінетичній енергії в центрі кадру мас, таким чином кінетичні енергії в двох системах відліку пов'язані

\[K_{S}=K_{c m}+\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{c m}^{2} \nonumber \]

Тепер ми використовуємо рівняння (15.2.13), щоб переписати рівняння (15.2.18) як

\[K_{S}=\frac{1}{2} \mu \nu_{1,2}^{2}+\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{c m}^{2} \nonumber \]

Незважаючи на те, що кінетична енергія є величиною, залежною від системи відліку, оскільки другий член у Рівнянні (15.2.19) є постійною, зміна кінетичної енергії в будь-якій системі відліку дорівнює

\[\Delta K=\frac{1}{2} \mu\left(\left(v_{1,2}^{2}\right)_{f}-\left(v_{1,2}^{2}\right)_{i}\right) \nonumber \]

Це узагальнює будь-які дві відносно інерційні системи відліку, оскільки відносна швидкість є незалежною від системи відліку величиною,

зміна кінетичної енергії не залежить від вибору відносно інерційних систем відліку.

Ми показали в додатку 13А, що коли дві частинки мас\(m_{1}\) і\(m_{2}\) взаємодіють, робота, виконана силою взаємодії, дорівнює\[W=\frac{1}{2} \mu\left(\left(v_{1,2}^{2}\right)_{f}-\left(v_{1,2}^{2}\right)_{i}\right) \nonumber \] Отже, ми явно перевірили, що для нашої двочастинкової системи\[W=\Delta K_{s y s} \nonumber \]